中考数学抛物线与三角形面积专题复习

《中考数学抛物线与三角形面积专题复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、抛物线与三角形面积　　抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。　　一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：　　（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：　　SΔ=

2、x1-x2

3、·

4、

5、=··

6、

7、　　（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为：　　SΔ=·

8、x1-x2

9、·

10、c

11、＝··

12、c

13、

14、　　（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。　　二、　1．求内接于抛物线的三角形面积。　　例1．已知抛物线的顶点C（2，），它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求ΔABC的面积。　　解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1,x2=3,　　∴AB=

15、x2-x1

16、=

17、3-1

18、=2.　　∴SΔABC=×2×=.　　例2．已知二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。　　解：如图1，S四边形ACBD=SΔABC+SΔABD　　=××

19、

20、+××

21、2

22、

23、=.　　例3．如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。　　解：由　　得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的坐标为（0，3）如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB=＝2，BC=＝3，AC=＝。　　∵AC2+BC2=AB2，　　∴ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900，　　∴SΔABC=AC·BC=××3=3。　　2．求抛物线的解析式　　例4．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，其对称轴为直线x=-2，顶点为M，且SΔAMB=8，求它的解析式。　　解：∵对称轴为直线x=

24、-2,　　∴-=-2,∴b=4,　　∴y=x2+4x+c,　　∵SΔAMB=··

25、

26、=·

27、

28、=8，　　∴c=0,∴y=x2+4x.　　例5．设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若AC=　　∠ACB=90°，SΔACB=150，求二次函数的解析式。　　解：如图3，∵SΔACB=AC·BC，　　即150=×C，∴BC=15，　　∴AB===25，　　又∵OC⊥AB，∴SΔACB=AB·OC　　即150=×25·OC，∴OC=12，故C点坐标为（0，12），　　∴AO==16，OB=AB-AO=25-16=9，　　∴点A为（-16，0），点B为（9

29、，0），　　∵二次函数的图像过A、B、C三点，　　∴解得，　　∴所求解析式为：y=-x2-x+12.　　3．求抛物线解析式中字母系数的值。　　例6．已知抛物线y=x2-mx+m-2,　　(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点；　　(2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4，求m的值。　　解：　　(1)Δ=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,　　∴不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。　　(2)SΔ=··

30、c

31、=··

32、m-2

33、=4.　　即(m-2)4+4(m-2)2-3　　解得m=6或m=-2.　　例7．设O和B为

34、抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，O为原点，M为抛物线的顶点，当ΔOMB为等腰直角三角形时，求k的值。　　解：如图4，作MN⊥x轴于N点，∵ΔOMB为等腰直角三角形，∴MN=OB，　　即

35、

36、=·，　　∴k1=0,k2=-.　　又∵抛物线与x轴有两个相异交点，　　∴Δ=(-2)2-4×(-3)k=4+12k>0.　　∴k>-，故取k=0。