中考数学辅导之—圆和圆的位置关系

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1、中考数学辅导之—圆和圆的位置关系一、教材简析本单元主要研究圆和圆的位置关系，内容主要包括两个圆各种不同位置关系的概念；相交、相切两圆的性质以及两个圆的公切线。其中两个圆不同位置关系的概念及相交、相切时的性质是本单元的重点。同学们在学习过程中要注意与前面所学的圆的有关知识的联系。当一条直线与两个圆相切时，这条直线就是这两个圆的公切线，而对于每一个圆来说，这条直线都是他们的切线。因此，研究两圆的公切线问题，就是圆的切线的判定和性质在两个相关的圆中的应用。由圆的轴对称性可以推出，任意两个圆组成的图形，一定是以连心线为轴

2、的对称图形。两圆相交、相切的性质，都是由这个对称性得到的。所以在学习这一单元时，要随时复习巩固前面所学知识，并逐步学会运用这些知识来解决两圆位置关系中的新问题。本单元学习过程中，涉及实际应用的问题较多，有计算题，也有作图题，要学会把实际问题抽象成数学问题，在关于两圆公切线长的计算中，要学会把它转化为解直角三角形的问题。二、基本内容及应注意的问题1、圆和圆的位置关系的分类，既考虑了数(两圆公共点的个数)，又考虑了形(两圆的相对位置)，两圆的五种位置关系按公共点的个数(0，1，2)可分为三类：(1)没有公共点相离外离

3、内含(包括同心)；(2)有1个公共点相切外切内切；(3)有2个公共点相交2、与点和圆、直线和圆的位置关系相类似，两圆的位置关系(形的关系)与两圆的半径、圆心距的大小(数量关系)有关。(1)两圆外离d＞R＋r(2)两圆外切d＝R＋r(3)两圆相交R－r＜d＜R＋r(R≥r)(4)两圆内切d＝R－r(R＞r)(5)两圆内含d＜R－r(R＞r)这个结论是双向的，“”是由两圆位置的关系，得到两圆半径与圆心距之间特定的数量关系，这是两圆位置关系的性质，利用这些性质可以把形的问题转化为数的问题来解决；“”是根据两圆半径与圆心

4、距之间的某种数量关系来判定两圆的位置关系，从而把判定形的问题，转向为数的问题来解决。这在解决两圆的位置关系的问题时特别方便。应当注意的是，判定两圆相交时，必须具备R－r＜d＜R＋r的条件。这是因为只有当d＞R－r时，两圆可能相交、外切或外离；而当d＜R＋r时，两圆可能相交、内切或内含。因此，只有当R－r＜d＜R＋r时才能判定两圆相交。3、两圆的五种位置关系中，重点讨论了两圆相交、相切的性质，在解决两圆的相交问题时，如图(1)，常添连心线、公共弦等辅助线，这样，两圆半径、圆心距、公共弦长的一半就集中到了中，可以利用

5、三角形有关知识加以解决。4、求两圆的内、外公切线长的问题，都是利用直线和圆相切的性质，通过作出过切点的半径，把问题转化为解一个直角三角形。在图(2)、图(3)中，o1o2＝d，⊙o1半径为R，⊙o2的半径为r，则在中：图(2)：图(3)：当两圆外切时，d＝R＋r，此时外公切线长＝5、当两圆相交、外切、外离时，总有两条外公切线，且这两条外公切线长相等。如果两圆相等，那么两条外公切线平行；如果两圆不等，那么两条外公切线相交，且交点在两圆的连心线上。当两圆相切时，常作两圆的公切线为辅助线。三、例题例1、已知两圆的半径R

6、，r(R≥r)是方程的两个根，两圆的圆心距为d，(1)若d＝4，试判定两圆的位置关系；(2)若d＝2，试判定两圆的位置关系；(3)若两圆相交，试确定d的取值范围；(4)若两圆相切，求d的值。解：∵R，r是方程的两根∴R＋r＝3，R·r＝1则，(1)∵d＝4∴d＞R＋r，则两圆外离；(2)∵d＝2∴d＜R－r，则两圆内含；(3)∵两圆相交∴R－r＜d＜R＋r，即：＜d＜3(4)∵两圆相切∴d＝R＋r或d＝R－r，即：d＝3或d＝注意：两圆相切有两种可能(内切或外切)例2：如图(4)，⊙o1与⊙o2相交于A、B，直线

7、Ao1交⊙o1于C，交⊙o2于D，CB的延长线交⊙o2于E，若CD＝10，DE＝6，求⊙o2的长。解：连结AB、AEAC为⊙o1的直径ABCD内接于⊙o2AE为⊙o2的直径o2为AE中点o1为AC中点在中，CD＝10，DE＝6注意：两圆相交时，常添公共弦、连心线等作为辅助线，这些辅助线能把两圆中的角或线段联系起来，起到“桥梁”作用。例3：如图(5)，⊙o1与⊙o2相交于A、B，CE切⊙o1于C，交⊙o2于D、E求证：分析：因，所以只需证，联想到两圆相交时常添的辅助线，再运用弦切角定理及圆内接四边形性质，问题易得证

8、。证：连结ABCD切⊙o1于CBEDA内接于⊙o2注意：如果⊙o1的切线CE与⊙o2也相切于E(D、E重合)，则成立吗？例4：如图(6)，⊙o1与⊙o2内切于A，过A作大圆的弦AD、AE分别交小圆于B、C。求证：分析：要证，只需证，即要证BC∥DE；证明：过点A作⊙o1与⊙o2的公切线AT，则：∵∴BC∥DE∴，即：例5：如图(7)，⊙o1与⊙o2外切于A，BC分别切⊙o