反对称矩阵的若干性质

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1、反对称矩阵的若干性质摘要：讨论了反对称矩阵的若干性质。关键词：矩阵；反对称矩阵；对称矩阵；秩；伴随矩阵。1基本性质定义1设是一个阶方阵，如果则称为反对称矩阵。性质1若是反对称矩阵，则其主对角线上的元素全为零。证明由定义1可知成立。性质2设，为阶反对称矩阵，为常数，为正整数，则：（1），，为反对称矩阵。（2）为对称矩阵的充要条件为。（3）当为奇数时，为反对称矩阵，当为偶数时，为对称矩阵。证明利用对称矩阵与反对称矩阵的定义直接验证即可。性质3设是任一阶矩阵，则必为反对称矩阵。证明因为，所以为反对称矩阵。

2、性质4任何一个阶矩阵，均可唯一表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。证明因为。又因为，所以为对称矩阵。因为，所以为反对称矩阵。性质5设A是奇数阶反对称矩阵，则=0。证明因为===，所以=0。性质6设是阶反对称矩阵，是阶对称矩阵，则是阶反对称矩阵。证明由定义直接验证即可。性质7设为阶实矩阵，则为反对称矩阵的充要条件为对任意维列向量，均有。证明必要性：因为为反对称矩阵，所以,从而。充分性：令，取，其中表示第个分量是1，其余分量为0的元列向量。则5.所以=，。从而为反对称矩阵。性质8设为阶反对称矩阵，为其

3、伴随矩阵，则为偶数时，为反对称矩阵；为奇数时，为对称矩阵。证明由伴随矩阵定义可知，且对任意数，有。又为反对称矩阵，所以，从而，当为奇数时，，即为对称矩阵。从而，当为偶数时，，即为反对称矩阵。性质9设为阶可逆反对称矩阵，则为偶数，且也是反对称矩阵。证明由性质5可知为偶数。因为=，由性质8和性质2可知也是反对称矩阵。２　秩的性质引理1设为阶矩阵，若，则≤。证明设，则。设，则齐次线性方程组的组解可由个向量线性表出。所以≤，所以≤。引理2设为阶矩阵(n≥2)，则。证明因为，所以。所以，当时，；当时，或。5若

4、，则，所以，所以。若，因为，所以由引理1结论可知：≤，所以，所以。所以当时，。引理3　设为阶矩阵(n≥2)，那么秩＝。证明①当时，。由引理2结论可得所以，所以。②当时，至少有一个阶子式不为0，所以≥1。又因为，所以，所以由引理1结论可得：≤。所以≤1，所以。③当时，的所有阶子式全为0，所以，所以。性质10设是阶反对称矩阵，且中有一个阶主子式，但所有含的阶和阶主子式均为0，则秩。证明　　不妨设位于的左上角，记加中第行与第列元素所成的加边行列式为=，其中=，=。考虑以下阶主子矩阵=，其中=，=，=。因为

5、是含的一个阶主子式，所以=0。由引理3可知秩≤1，从而的二阶子式=0，即－=0。又5和是含、的阶主子式，从而＝＝0，所以=0。又反对称矩阵的任一主子矩阵仍为反对称矩阵且，所以为偶数，从而为偶数阶反对称矩阵。由性质8知为反对称矩阵，所以=，因而有=0，=0，所以秩。性质11若为反对称矩阵，且的所有阶与阶主子式均为0，则秩≤。证明　　对用归纳法。当时，则的主对角元素与2阶主子式均为0，则对任何，有=0，即=0，又，所以，从而=0。设时成立，看时。若此时的所有阶主子式也都为0，则由归纳假设有秩≤<。若有一

6、个阶主子式，则由已知的所有含的阶与阶主子式均为0，由性质10可知，秩=，所以时命题成立。性质12设为阶反对称矩阵，且秩，则至少有一个阶主子式不为0。证明　　若，则成立。若，则的所有阶子式全为0，当然的所有阶主子式均为0，若的所有阶主子式全为0，则由性质11知，秩≤，矛盾。从而至少有一个阶主子式不为0。性质13若为反对称矩阵，则秩为偶数。证明　　设秩，由性质12可知必有一个阶主子式不为0，但的任一主子式仍为反对称矩阵，由性质9可知为偶数。3特征值与特征向量的性质性质14反对称实矩阵的特征值为零或纯虚数

7、。证明　　设是的任一特征值，是属于的一个特征向量，则。因为，又，所以，故，所以为纯虚数或零。性质15若实矩阵为反对称矩阵，则可逆。证明　　由性质14可知不是的特征值，所以，所以可逆。性质16设为反对称实矩阵，则相应于5的纯虚数特征值的特征向量，其实部与虚部向量模长相等且相互正交。证明　　设是关于的特征向量，则，所以。由，有。因为为反对称矩阵，由性质7有，所以，又，所以，从而与是正交的向量。又。因为，，所以，因为，所以。参考文献：[1]张海山.反对称矩阵的若干性质.甘肃教育学报.[2]北京大学数学系.

8、高等代数.北京:高等教育出版社.ThepropertiesofAnti-SymmetricMatrixAbstract:Thepaperintendstodiscusssomeimportantpropertiesofanti-symmetricmatrix.Keyword:matrix;anti-symmetricmatrix;symmetricmatrix;rank;adjointmatrix5