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《线性方程组的解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、线性方程组的解法1引言在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax=b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组A
2、x=b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel方法、SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。2主要算法20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。Ax=b(1)的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常
3、迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A=M-N；M为可逆矩阵，线性方程组(1)化为：(M－N)X=b；→MX=NX+b；→X=M-1NX+M-1b得到迭代方法的一般公式：X（k+1）=HX（k）+d（2）其中：H=MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0）一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是:迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H)<1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖<1。2.1Jacobi迭代法若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A
4、=D－(L+U);这里D为A的对角素构成的对角矩阵,为严格下三角阵，U为严格上三角阵。Jacobi迭代的矩阵形式为：X（k+1）=HJX（k）+dJ(3)(3)式中:dJ=D-1b;HJ=I－D-1A,称HJ为Jacobi迭代矩阵.其计算公式为:迭代矩阵HJ的谱半径ρ(H)<1，则对于任意迭代初值X（0），Jacobi迭代法收敛。2.2Gauss-Seidei迭代法对于非奇异方程组，若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零；系数矩阵A的一个分解：A=(D－L)－U(5)Gauss-Seide迭代矩阵形式为:
5、X（k+1）=HGSX(k)+dGS上式中:HGS=(D－L)-1U；dGS=(D－L)-1L称HGS为G-S迭代矩阵。计算公式为：i=1,2,3，…nk=0,1,2，…（6）若A为严格或不可约对角占优矩阵，或A为对称正定阵，则对于任意初值X（0），Gauss-Seide迭代法收敛。2.3SOR(successiveoverrelaxation)迭代法对于非奇异方程组，若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零；系数矩阵A的一个分解：(7)这里D为A的对角素构成的对角矩阵,为严格下三角阵,为严格上三角阵。SO
6、R迭代法的矩阵形式为X（k+1）=HSORX(k)+dSOR式中：HSOR=(D-L)-1[(1-)D+U]dSOR=(D-L)-1b。计算公式为：i=1,2,3，…nk=0,1,2，…（8）然后按相反的次序（i=n，n-1，…1）用向后的SOR方法逐点计算i=n，n-1，…1；k=0,1，…（11）若AX=b中A是正定的,且0﹤﹤2，则SSOR法收敛。2.4消元法消元法是初等数学中求解低阶多元线性方程组的方法．此时线性方组必须是适定方程组.一般是用于二元一次或三元一次方程组．当未知元增多时.计算效率低甚至无法求解.2
7、.5克拉默法则当系数行列式不为零时．适定方程组有惟一解．其解如(12)式所示：xi=Di/Di=1,2，…，n（12）其中D是系数行列式，Di是在系数行列式基础之上结合方程组右边常数形成的新行列式。在此法则中。行列式的计算显得非常重要。用行列式的性质计算行列式最为有效。对于二、三阶行列式可以利用对角线法则计算。克拉默法则克服了消元法计算效率低甚至无法计算多元一次方程组的缺点．但是对于系数行列式等于零以及欠定或者超定方程组的情况，它是无能为力的。事实上，当未知元数过多时(如未知元数≥5)。克拉默法则的计算效率就很低。2.
8、6逆阵乘积法对于适定方程组．可以把它表达成矩阵方程的形式：AX=b解矩阵可以利用逆阵乘积法求出：A-1b=X矩阵运算的实质是把矩阵当作一个“量”来运算。使普通数的运算有很大的简化。但是该方法的前提是A可逆。本质上仍然是系数行列式
9、A
10、≠0．对于阶数比较高的系数矩阵．直接求解逆阵也是比较困难的(利用初等变换可以降低求解难度)。当
11、A
