08_第八节__傅里叶级数

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1、第八节傅里叶级数分布图示★引言★引例★三角函数系的正交性★傅里叶级数的概念★狄利克雷收敛定理★例1★例2★例3★非周期函数的周期延拓★例4★利用傅氏展开式求数项级数的和★正弦级数与余弦级数★例5★例6★函数的奇延拓与偶延拓★例7★例8★内容小结★课堂练习★习题12-8★返回内容要点一、三角级数三角函数系的正交性早在18世纪中叶，丹尼尔.伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和.这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为的函数，都可用一系列

2、以为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即(8.1)其中都是常数.十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数.虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念.傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的.而且，这种影响至今还在发展之中.这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果.二、函数展开成傅里

3、叶级数傅里叶系数(8.5)将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数(8.6)称为函数的傅里叶级数.定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设是周期为的周期函数.如果满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点.则的傅里叶级数收敛，并且(1)当x是的连续点时,级数收敛于；(2)当x是的间断点时,收敛于.狄利克雷收敛定理告诉我们：只要函数在区间上至多只有有限个的第一类间断点，并且不作无限次振动，则函数的傅里叶级数在函数的连续点处收敛于到该点的函数值，在函数的间断点处收敛于

4、该点处的函数的左极限与右极限的算术平均值.由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低得多.三、周期延拓：在区间或外补充的定义，使它拓广成一个周期为的周期函数，这种拓广函数定义域的方法称为周期延拓.四、正弦级数与余弦级数：一般地,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项（例2），但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项（例1）或者只含有常数项和余弦项（例4），导致这种现象的原因与所给函数的奇偶性有关。即：奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数.偶函数的傅里叶级数是只

5、含有余弦项的余弦级数.五、奇延拓与偶延拓奇延拓令则是定义在上的奇函数，将在上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数.再限制在上，就得到的正弦级数展开式.偶延拓令则是定义在上的偶函数，将在上展开成傅里叶级数，所得级数必是余弦级数.再限制在上，就得到的余弦级数展开式.例题选讲函数展开成傅里叶级数例1（E01）将以为周期的函数展开成傅里叶级数.解所以函数的傅里叶级数展开式为注意到函数满足狄利克雷收敛定理的条件.它在点处有第一类间断，在其它点处连续.因此,的傅里叶级数收敛，并且当时收敛于或当时收敛于即的傅

6、里叶级数的和函数为和函数的图形如图所示.故的傅里叶级数展开式为注：如果将本例中的函数理解为矩形波的波形函数，则的展开式表明：矩形波是由一系列不同频率的正弦波的叠加而成的.例2设是周期为的周期函数，它在上的表达式为试将函数展开成傅立叶级数.解先求的傅里叶级数.所以函数的傅里叶级数为并且在上述间断点处级数收敛于在其它点收敛于本身.即的傅里叶级数的和函数和函数的图形如图.故的傅里叶展开式为例4（E03）将函数展开成傅里叶级数.解所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于所给函数

7、的傅氏展开式正弦级数与余弦级数例5（E04）试将函数展开成傅里叶级数.解题设函数满足狄利克雷收敛定理的条件，但作周期延拓后的函数在区间的端点和处不连续.故的傅里叶级数在区间内收敛于和在端点收敛于和函数的图形如图(见系统演示).因是奇函数,故其傅里叶系数于是例6将函数展开成傅里叶级数.解题设函数满足狄利克雷收敛定理的条件，且作周期延拓后的函数在区间上处处连续.故的傅里叶级数在区间上收敛于和和函数的图形如图所示.注意到是偶函数，故其傅里叶系数于是得到所求函数的傅里叶级数奇延拓与偶延拓例7（E05）将函

8、数分别展开成正弦级数和余弦级数.解先求正弦级数.为此对进行奇延拓，则于是再求余弦级数.为此对进行偶延拓，则故例8（E06）应当如何把给定在区间内满足狄利克雷收敛定理且连续的函数延拓到区间内,而使它的傅里叶级数展开式为，解由于展开式中无正弦项,故延拓到内应满足设函数延拓到的部分记为则按题意,有由于是为要上式成立，只要对每一个使即故首先要在内定义一个函数，使它等于然后，再按偶延拓把延拓到不妨将延拓到上的函数仍记为则由上面讨论知课堂练习1.若函数问:与的傅里叶系数、与之间有何关系？2.设