算术平均数与几何平均数(1)

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1、基本不等式（1）一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，cb，那么bb．(对称性)即：a>bbb定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)即a>b，b>ca>c定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．即a>ba+c>b+c推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)即a>b，c>da+c>b+d．定理4：如果

2、a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么acb>0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)推论2若定理5若二、讲解新课：1．重要不等式：如果证明：当所以，，即由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果a,b是正数，那么证明：∵，即显然，当且仅当说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数5ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件三、讲解范例：例1已知x,

3、y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值证明：因为x,y都是正数，所以（1）积xy为定值P时，有上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值（2）和x+y为定值S时，有上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（一正、二定、三等）ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在例2下列不等式中正确的是。；；例

4、3若，则下列不等式中等号不成立的是；；四、课堂练习：1已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果答案：∵a，b，c都是正数5∴a＋b≥2＞0；b＋c≥2＞0；c＋a≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc2已知x、y都是正数，求证：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性

5、质成立的条件)，进行变形答案：∵x，y都是正数，∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0(1)＝2即≥2(2)x＋y≥2＞0；x2＋y2≥2＞0；x3＋y3≥2＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y33求证：（）2≤分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键答案：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2不等式两边同除以4，得≥（）

6、2，即（）2≤五、小结：本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具六、课后作业：(1)“a＋b≥2”是“a∈R＋，b∈R＋”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件5(2)设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是(A)AbBa2＋b2Ｃ2abD(3)设a，b∈R，且a≠b，a＋

7、b＝2，则必有(B)A1≤ab≤Bab＜1＜Cab＜＜1D＜ab＜1(4)已知a，b∈R＋且a＋b＝4，则下列各式恒成立的是(B)AB≥1Ｃ≥2D(5)若a＞b＞0，则下面不等式正确的是(C)ABCD(6)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且p＝logc，q＝，r＝，则p，q，r的大小关系是(D)Ap＞q＞rBp＜q＜rCr＜P＜qDp＜r＜q(7)已知x＞y＞0，xy＝1，求证：≥2证明：∵x＞y＞0，xy＝1∴≥2＝2，即≥2(8)已知a＞2，求证：loga（a－1）·loga（a＋1）＜1证明：∵a＞2∴l

8、oga(a－1)＞0,loga(a＋1)＞0,loga(a－1)≠loga(a＋1)∴loga（a－1）·loga（a＋1）＜［］2＝［loga（a2－1）］2＜（logaa2）2＝1即loga（a－1）·loga（a＋1）＜1(9)已知a，b∈R，证明：log