XB4_4线性方程组解的结构.ppt

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1、§4线性方程组的解的结构一.齐次线性方程组解的结构二.非齐次线性方程组解的结构线性方程组理论包括:齐次线性方程组解的结构1.解的存在唯一性条件(上章已解决)2.求解方法(1)初等变换法(上章)(2)克拉默法则(第一章,仅对A为方阵适用)3.解的结构(本章)非齐次线性方程组解的结构(理论意义大于计算意义)一.齐次线性方程组解的结构性质1.(1)写成向量方程:(2)的解称为解向量.(2)性质2.记方程(2)的所有解之集为S,设S的一个最大无关组为()则(2)的通解为称()为齐次方程组(1)的基础解系.基础解系的求法:初等变换法无妨设(P96)利用通解利用特解得等价方程组:(3)得通解:

2、即为(1)的基础解系.取:得:基础解系的另一求法:定理7.例1.求下述齐次线性方程组的基础解系与通解:由上述讨论可得由此定理可见:(1)当R(A)=n时,无基础解系.(2)当R(A)=r

3、(P101例14)齐次线性方程组证:“”显然成立.“”设则它们也与设解集S的秩为t,则因此根据P85定理2的推论,证毕(据定理7)例4.(P101例15)证明证:设A为mn矩阵,则则所以可见方程组因此思路:证明同解二.非齐次线性方程组解的结构性质3.(4)写成向量方程:(5)性质4.是(5)的解推论:的通解为例5.求解方程组(P102例16)提示:法1.取写出通解.法2.得等价方程组再求对应齐次方程组的基础解系写出所求通解.讨论.给定方程(1)已知其中A为m4矩阵,R(A)=3,求其通解.(2)已知求通解.(3)当m=3时,能否用A的列向量线性表示?答:注意到故能用A的列向量线性表

4、示.的基础解系含4–3=1个解向量小结基础解系—S的最大无关组的通解为通解:齐次方程通解非齐次方程特解作业:P110~P11122(3);25;33;34(习题课)24;26;29;30;3526题改错备用题设A为34矩阵,秩(A)=2,是方程组的三个特解,则它的通解为分析:对应齐次方程组基础解系含个解向量,4–2=2线性无关