高中数学 1.1.2 余弦定理教案 新人教A版必修.doc

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1、余弦定理教学分析一、教学导图二、教学目标1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。三、教学重难点教学重点：余弦定理的发现、证明过程

2、及其基本应用。教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。教学设计一、温故引新特例激疑1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。正弦定理的内容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：，其中为三角形外接圆的直径。说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数，使。2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？由，可以解决“已知两角

3、及其一边可以求其他边。”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解三角形问题。3，思考：如图，在中，已知，求即。本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。”的解三角形的问题。本题能否用正弦定理求解？困难：因为角未知,较难求。二、类比探究理性演绎（一）类比探究当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角的对边随着角的变化而变化。当一定，变化时，可以认为是的函数，。当时，（勾股定理），为方便起见，考虑关于的函数，记作，即。当变化时，怎样变化？考虑两种极端情况：当时，则

4、;当时，则;我们比较三种情形的异、同点：当时，则;当时，当时，则相同点:都含有；不同点:的系数不同；猜想：的系数与之间存在什么对应关系呢？。那么就得到了当角为三个特殊角时的公式：，这个公式是不是满足任意三角形呢？凭感觉上述公式应该满足任意三角形，但是我们应该给出严格的证明。（二）理性演绎同学们来考虑，证明恒等式通常采用什么思考方法？这样的结构我们在什么地方遇到过?证明：三、完善知识剖析升华（一）完善知识（1）余弦定理：在中，则：；；（第一种形式）。（2）语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和

5、减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。（3）变形：；；（第二种形式）。（二）剖析升华（1）余弦定理与正弦定理一样，也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.（2）等式含有四个量，从方程的角度看，已知其中三个量，总可以求出第四个量。（3）根据已知量与未知量的性质可以知道，余弦定理可以解决有关三角形的哪些问题呢？利用余弦定理及推论可以解决以下两类三角形的问题：①已知三边求三角形的三个角；②已知两边及其夹角求三角形的其他边与角。这两种类型问题在有解时都只有一个解

6、，把“边、边、边”和“边、角、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式。（4）从余弦定理和余弦函数的性质可知：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；四、例题示范迁移运用（一）例题示范例1：中，，求这个三角形的最大角。解：∵，∴这个三角形的最大角是。所以这个三角形的最大角是。引申：已知三角形三边长为，怎样判断是锐角三角形

7、、直角三角形还是钝角三角形？例2：中，，求及。解：根据余弦定理可知：∴；又∴。思考：你可以用平面几何知识求解本题吗？分析：如图，在，过作于，，则，在中，。例3：如图所示，有两条直线和相交成角，交点是，甲、乙两人同时从点分别沿方向出发，速度分别是，时后两人相距多远(结果精确到)？分析：经过时，甲到达点，乙到达点，问题转化为在中，己知，求的长。解：经过时后，甲到达点，乙到达点，依余弦定理，知：答：时后两人相距约。例4：下图是公元前约年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数的图形。试计算图中线段的长度及的大小(长

8、度精确到，角度精确到)。解：在中，，因为所以在中，因为所以思考：你还能用其他方法求线段的长度及的大小吗？（二）、迁移运用1、在中，，则三角形为(C)A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2、在中，，则。（）3、在中，已知，判断的类型。（钝角三角形）4、平行四边形两条邻边的长分别是它们的夹角是45°,求这个平行四边形的两条对角线长与它的面积.（和，）五、归纳小结反思拓展（一）归纳小结1、余弦定理是任何三角形边角之间存在