高中数学 3．1.2 用二分法求方程的近似解教案精讲 新人教A版必修.doc

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1、3．1.2　用二分法求方程的近似解[读教材·填要点]1．二分法的定义对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)

2、f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若

3、a－b

4、＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．[小问题·大思维]1．能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？提示：不能．看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右两侧函数值异号．2．由二分法的步骤，你认为“精确度”与“精确到”是一回事吗？提示：不是一回事．这里所谓的“精确度”是指区间的长度达到某个规定的数值ε，即

5、a－b

6、<ε.而“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位，如计算1－精确到0.0

7、1，即为0.33.3．当区间(a，b)的长度达到精确度ε，即

8、a－b

9、<ε时，通常如何确定零点的近似值？提示：当区间长度达到精确度时，可取区间内的任何一个数值作为零点．为方便，常取区间的端点a(或b)作为零点．用二分法求函数零点[例1]　求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度为0.1)．[自主解答]　由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.5－2.625(1.5,2)1.750.2344(1.5,1.75)1.625－1.3027(1.6

10、25,1.75)1.6875－0.5618(1.6875,1.75)1.71875－0.1707由于

11、1.75－1.6875

12、＝0.0625<0.1，所以可将1.6875作为函数零点的近似值．——————————————————用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点．当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点．——————————————————————————————————————1．判断函数y＝x3

13、－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度为0.1)．解：因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25－0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125－0.05(1.3125,1.375)1.343750.08由于

14、1.375－1.3125

15、＝0.0625＜0.1，所以函数的一个近似零点为1.3125.用二分法求方程的近似解[例2]　求

16、方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．[自主解答]　设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一实数根，记为x0取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴20⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.4375)>0⇒x0∈(2.375,2.4375)．∵

17、2.375－2.4375

18、＝

19、0.0625<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.————————————————————————————————————————————————————————2．求方程lgx＝2－x的近似解．(精确度为0.1)．解：在同一坐标系中，作出y＝lgx，y＝2－x的图象如图所示，可以发现方程lgx＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．设f(x)＝lgx＋x－2，则f(x)的零点为x0.用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1,2)；f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5,2)；f(1.

20、75)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.75,2)，f