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《高中数学 5.2实数集的基数导学案 北师大版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、实数集的基数阿基里斯追龟说阿基里斯(Achilles)是荷马史诗《伊利亚特》中的英雄，以擅跑闻名．芝诺说阿基里斯永远追不上乌龟．比如，龟在阿基里斯前面的100码，阿基里斯的速度是龟的十倍．当阿基里斯跑到龟的出发点时，龟已前进10码；阿基里斯再追10码，龟又前进了1码；再追1码，龟又前进了十分之一码，这样永远隔着一段距离，总也追不上．你认为这个结论可信吗？1．1873年11月29日________给著名的数学家戴德金的信中提出了这样一个问题：“Z＋和R＋之间是否存在着一个一一对应的关系？”在1873年12月7日他又给戴德金的一封信中，证明了不存在这样的配对，也就
2、是他证明了实数集是________．2．定理1：实数集(0,1)是________．在证明过程中，使用的方法叫做____________．3．定理2：无理数集是________．这就是说，无理数在数量上________有理数．尽管有理数在数轴上处处稠密，但与无理数相比不过是沧海一粟．答案：1．康托 不可数的2．不可数的 康托对角线法3．不可数的 大大超过一、关于康托【例1】1873年12月7日，康托给戴德金的第二封信中证明了( )A．实数与有理数一样多B．正整数与实数一样多C．正整数与有理数一样多D．实数不可数解析：康托给戴德金的第二封信中证明了实数是不可数
3、的．故选D.答案：D1890年康托发现了实数集不可数的第二个证明，第二个证明使用了________法．【例2】第一个证明了实数集不可数的数学家是( )A．康托B．戴德金C．费马D．欧拉答案：A康托在证明实数集是不可数的时，首先证明了与实数集对等的一个集合是不可数的，从而得出实数集是不可数的，这个对等集合是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(0,1)D．[0,1]二、实数集的基数【例3】康托在证明实数集(0,1)是不可数的时，先假设实数集(0,1)是可数的，这样可建立实数集(0,1)与正整数集之间的一一对应关系，如表：1↔0.a11a12a13a14
4、…2↔0.a21a22a23a24…3↔0.a31a32a33a34…4↔0.a41a42a43a44………k↔0.ak1ak2ak3ak4………那么，康托构造了一个什么样的新实数b，使得新实数b不同于序列中的任何一个数的？解：康托构造了一个新实数b：b＝0.b1b2b3b4…(0≤bi≤9，i＝1,2，…)使得b1≠a11，b2≠a22，b3≠a33，…，bk≠akk，…并且bi都不取0和9.这样新实数b就不同于序列中的任何一个数．因为b1≠a11，所以b不同于序列中的第一个数．b2≠a22，所以b不同于序列中的第二个数．同样的方法，b不同于序列中的任何一个
5、数．且b≠0，b≠1，故它不在序列中，但b一定严格位于0与1之间，这样就导出了实数集(0,1)与正整数集一一对应相矛盾，也就证明了实数集(0,1)不可数．康托在研究数论和用三角函数唯一地表示函数等问题过程中，发现了惊人的结果：_____________________________________________________________________________.三、不可数集合【例4】0与1之间满足下述条件的实数：它们的十进制小数表示中只有1,2,3,4,5，而不含其他数字，例如：0.312…，0.543…，0.51235423…，证明：所有这
6、样的实数构成的集合是不可数的．证明：假设所有满足条件的实数构成的集合是可数的，这样我们总可以按照给定的一一对应关系，把满足条件的实数与正整数集之间的对应关系用下表表示：1↔0.a11a12a13…2↔0.a21a22a23…3↔0.a31a32a33………k↔0.ak1ak2ak3……… 现在我们构造一个新的实数b：b＝0.b1b2b3…，其中bi＝显然这样构造的实数满足上述已知条件，但是，由于b1≠a11，所以b不同于序列中的第一个数0.a11a12a13…；由于b2≠a22，所以b不同于序列中的第二个数0.a21a22a23…；同样的方法，数b不同于序列
7、中的任何一个数，这与序列中包含所有满足条件的实数相矛盾，所以所有满足条件的实数构成的集合是不可数的．定义由数字0,1,2,3构成的实数为3进制实数．证明：区间(0,1)内的所有3进制实数构成的集合是不可数的．1．康托的两封书信：1873年11月29日康托给好朋友戴德金写了一封信，提出了一个问题：Z＋和R＋之间是否存在一个一一对应关系？1873年12月7日，他又给戴德金写了一封信，在信中他给出实数集合是不可数的一个证明．在这两封信中，康托给无限的理论奠定了基础．2．康托的对角线法：1890年，康托给出了实数集合不可数的第二个证明．在证明实数集(0,1)不可数时，
8、使用的方法叫做康托对角线法，它是一种非
