高中数学 二证明不等式的基本方法学案 新人教A版必修.doc

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1、学案77　不等式选讲证明不等式的基本方法导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式．自主梳理1．三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c>0，那么_________________________，当且仅当a＝b＝c时等号成立．2．基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当__________________时等号成立．3．二维形式的柯西不

2、等式及推论：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立；≥

3、ac＋bd

4、，当且仅当ad＝bc时等号成立；≥

5、ac

6、＋

7、bd

8、，当且仅当________________时等号成立．4．证明不等式的常用五种方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小．(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种

9、证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．(4)反证法①反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．

10、②反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．(5)放缩法①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．自我检测1．已知M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，则M，N的大小关系为(　　)A．M>NB．Mb≥0，p＝－，q＝，

11、那么(　　)A．p≤qB．p≥qC．pQ4．已知a>b>0，n∈N*，则使不等式a2－n≥成立的n的最大值为(　　)A．4B．8C．10D．165．(2011·南阳月考)已知a，b，c>0，且a＋b>c，设M＝＋，N＝，则M与N的大小关系是__________________________________________________________.探究点一　比较法证明不等式例1　已知

12、a>0，b>0，求证：＋≥＋.变式迁移1　(2011·福建)设不等式

13、2x－1

14、<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．探究点二　用综合法证明不等式例2　设a、b、c均为正数，求证：＋＋≥＋＋.变式迁移2　设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.探究点三　用分析法证明不等式例3　(2011·武汉模拟)已知a>b>0，求证：<－<.变式迁移3　已知a>0，求证：－≥a＋－2.转化与化归思想的应用例　(10分)已知f(x)＝x2＋px＋q.求证：(1)f(1)

15、＋f(3)－2f(2)＝2；(2)

16、f(1)

17、、

18、f(2)

19、、

20、f(3)

21、中至少有一个不小于.多角度审题　已知f(x)，要证f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，只须化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明．求证

22、f(1)

23、、

24、f(2)

25、、

26、f(3)

27、中至少有一个不小于包括：

28、f(1)

29、、

30、f(2)

31、、

32、f(3)

33、中有一个大于等于，其余两个小于；三个中有2个大于等于，另一个小于；三个都大于等于.如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑用反证法证明．【答题模板】证明　(1)f(1)＋f(3)－2

34、f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.[2分](2)假设

35、f(1)

36、、

37、f(2)

38、、

39、f(3)

40、都小于，则

41、f(1)

42、＋2

43、f(2)

44、＋

45、f(3)

46、<2，[4分]而

47、f(1)

48、＋2

49、f(2)

50、＋

51、f(3)

52、≥

53、f(1)＋f(3)－2f(2)

54、＝

55、(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4