高中数学 解三角形练习题3 北师大版必修.doc

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1、江苏省邳州市第二中学高二数学解三角形2一、选择题1．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是(　　)A．等腰三角形　　　　　　B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，又∵b2＝ac，∴(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.答案：D2．△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(　　)A.B.C.或D.或解析：＝，∴sinC＝.∵0°

2、，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝；(2)当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝××1×sin30°＝.答案：D3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2－bc＝a2，且＝，则角C的值为(　　)A．45°B．60°C．90°D．120°解析：由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，∴A＝60°.又＝，∴＝，∴sinB＝sinA＝×＝，∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.答案：C4．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该

3、四边形的面积等于(　　)A.B．5C．6D．7解析：连接BD，在△BCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，BD＝2，S△BCD＝×2×2×sin120°＝.在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，AB＝4，BD＝2，∴S△ABD＝AB·BD＝×4×2＝4，∴四边形ABCD的面积是5.答案：B6．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(　　)A．50mB．50mC．25

4、mD.m解析：由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝50(m)．答案：A二、填空题7．[2011·北京卷]在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sinA＝，则a＝________.解析：由正弦定理有：＝，即＝，得a＝.　答案：8．[2011·福建卷]如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析：在△ABC中，由余弦定理，有cosC＝＝＝，则∠ACB＝30°.在△ACD中，由正弦定理，有＝，∴AD＝＝＝，即AD的长度等于.答案：9．(2011年辽宁省东北育才学校高三一模)定义：＝

5、ad－bc.已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，若＝0，且a＋b＝10，则c的最小值为__________.解析：按定义，(2cosC－1)cosC－2(cosC＋1)＝0,2cos2C－3cosC－2＝0，cosC＝－，cosC＝2(舍)，则c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab≥100－()2＝75当且仅当a＝b＝5时，c的最小值为5.答案：5三、解答题10．(2010年浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－.(1)求sinC

6、的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．解：(1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－及0

7、，而，所以。12．(2010年福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：解法一：(1)设相遇时小艇航

8、行的距离为S海里，则S＝＝＝.故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30，即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30