整数度角的尺规作图.doc

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1、整数度角的尺规作图湖南娄底华达技校黄正洪在平面几何学中，人们不能用尺规作图的方法画出一个的角来，这似乎成了常理，但如果能用非寻常手段来解决这个问题，则很多与此有关的问题都将迎刃而解，因此对这个方向的探索有一定意义。为了实现心中的理想，在避开先贤们走过的弯路的同时，我们考虑到了必须从特殊角的特殊性中来寻找画作的契机，故在这里有必要对特殊角在平面几何学中的重要地位作一梳理。首先要确认的是：常见的特殊角有、、、、等等，后来人们又在尺规五等分圆周的过程中认知了、、、等等也都是特殊角。以上角度其所以被认为特殊，是因为它们都

2、是能用尺规作图的方法画得出来，并且与其有关的函数值也都有其特殊性而定性。前面列举的那些特殊角，在常见常用的一对三角板或其板角的拼凑上幽然傲立，尽享美誉，后面列举的这些特殊角，也只须借助一个黄金分割的特定方程即的功力就可以达到画出的目的，此言下之意即为，以特定方程的有用根为底，以个单位之长为腰，便可以在平面上画出一个等腰三角形，而此等腰三角形的顶角即为，两底角即为。反其序而为之，则知顶角为的等腰三角形与自身底角平分线所形成的相似三角形的边长之比即能造就上述独一无二的一元二次方程。五等分圆周中的尺规之趣正是由此而生，

3、这二者相辅相成，为数学王国的画法乐园增添了光鲜的一笔。说到这里，我相信大家对特殊角的存在有了更为深刻的应象，现在我要说的是：对以上两组特殊角进行简单的加减，并从小到大安排好先后次序就会出现如下既具体又有规律的角度：、、、、、、……无须仔细的推敲，便可认定这组特殊角的通项表达式为。由于特殊角同任意角一样可以不断二分，因而我们又认知了更特殊的角有这些特殊角的等分角，更更特殊的角还有这些被等分角的和差及其倍角。写到这里，我们相信大家对特殊角处世的秘密有了更多的了解。值得注意的是：特殊角的这个通项表达式从未在已问世的资料

4、或期刊中有过露面，故我们可以认定这是一种新的总结和归纳，这种新的总结和归纳的意义在于人们从数学的角度统一了所有特殊角存在的理义。也只有有了这样一种有点别开生面的理义，我们探索整数度角的尺规作图的思绪才得以雾散云开：前面提到的那个“非寻常手段”并不是建立在二维的平面上，而是建立在三维的空间中，在多一个维度的助力下，艰难的探索工作又展现了“风正一帆悬”的美好景象，由于引导苦舟航进的灯塔仍然是无涯学海中的尺和规，故这个空间作图的过程没有超出尺和规的范畴，现在让我们在此共识下来确诊这个角的作图方案，看看是否能经得起理论和

5、实践的考验。因其过程的表述还算清晰，空间的想象亦并不为难，那么如图之示的内容就留给有缘诸君自行画出：（一）、从特殊角中选取适当大小的一个角度，本文选取作为顶角，选取适当长的作为底边，画作等腰三角形。（二）、把等腰三角形放进空间直角坐标系中，使其顶点与原点重合，使其腰与轴重合，使其底边落在水平面上，此说即为把等腰三角形放置在规定位置的水平面上。定义：如此放置的这个等腰三角形为本文的基础三角形，定义：过该三角形顶点的垂直于水平面的轴叫立轴。定义：轴叫水平轴。如此为之则我们研究的对象便在空间直角坐标系中安了一个特殊的家

6、。（三）、根据特殊角的通项表达式而知角是特殊角，我们要用尺规作图的方法画出这个顶角为，为，底边之长为的等腰三角形。此等腰三角形的画法是在平面上预先画作角，次画与该角的角平分线平行且两边相距都为的平行线，然后连接两条平行线与角的两条射线的交点，则所形成的等腰三角形即为所求。现在我们要将此等腰三角形移进空间的特殊的家，其移进的方法是：以基础三角形的底边不动作为三角形的底边，以为圆心，以预先画作的顶角为的等腰三角形的腰为半径，画弧交立轴于，连接和，则等腰三角形已移进了空间的特殊的家（由于证明与相等的过程并不为难，这里省

7、笔且加以认定）。此言下之意为，基础三角形与顶角为的等腰三角形在水平面上同底为而其顶角点与则在立轴上进入了攀升排队。（四）、与以上之（三）的操作过程完全相同。因角也是特殊角，用尺规作图的方法在平面上预先画作一个等腰三角形，使其顶角为，使其底边之长为。我们要将这个等腰三角形移进空间的特殊的家，此言下之意为，以上三个等腰三角形在水平面上同底为而顶角点则与前面的两个顶点一样在立轴上进入了攀升排队。（五）、与以上之（四）的操作过程完全相同。因角也是特殊角，用尺规作图的方法在平面上预先画作一个等腰三角形，使其顶角为，使其底边

8、之长为。我们要将这个等腰三角形移进空间的特殊的家，此言下之意为，以上四个等腰三角形在水平面上同底为而顶角点则与前面的几个顶点一样在立轴上进入了攀升排队。（六）、由于底边相等的等腰三角形顶角越小的其高越长，于是我们看到、、、在立轴上的位置一个比一个高。面对立轴上顶点之攀升，我们的思绪进入了一种特殊的数学想象，这种想象与摄像的原理不完全相同，其操作方法是：我们要把到之间的距离