线性代数第一章习题答案.pdf

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1、习题1.11．计算下列二阶行列式．42cosαsinα（1）；（2）．35sinαcosα42解（1）=20−6=14；35cosαsinα（2）=cos2α−sin2α．sinαcosα2．计算下列三阶行列式．2−330a0111abc（1）127；（2）b0c；（3）abc；（4）aa+ba+b+c．22210−50d0abca2a+b3a+2b+c解（1）原式=2×2×(−5)+1×0×3+(−3)×7×1−3×2×1−(−3)×1×(−5)−2×7×0=−62（2）原式=0⋅0⋅0+b⋅d⋅0+a⋅c⋅0−0⋅

2、0⋅0−a⋅b⋅0−0⋅c⋅d=0；222222（3）原式=bc+ab+ac−ab−ac−bc=(b−a)(c−a)(c−b)；（4）原式=a(a+b)(3a+2b+c)+ac(2a+b)+ab(a+b+c)−ac(a+b)3−a(2a+b)(a+b+c)−ab(3a+2b+c)=a．3．用行列式解下列方程组．⎧3x1+x2+x3=8⎧x+4y=2⎪（1）⎨；（2）⎨x1+x2+x3=6；⎩3x+5y=3⎪x+2x+x=8⎩123⎧x1−2x2−x3=1⎧2x1+3x2=1⎪（3）⎨；（4）⎨3x2+2x3=1．3x−

3、2x=0⎩12⎪3x+x−x=0⎩123142412解（1）D==−7，D==−2，D==−312353533D2D312所以x==，y==．D7D7311811381318（2）D=111=−2，D=611=−2，D=161=−4，D=116=−6；123121821181128DDD123所以x==1，x==2，x==3．123DDD231321（3）D==−13，D==−2，D==−3123−20−230D12D23所以x==，y==．D13D131−2−11−2−1（4）D=032=−8，D=132=−8，13

4、1−101−1111−11−21D=012=8；D=031=22330−1310DDD123所以x==1，x==−1，x==3．123DDD2x1−14．已知f(x)=−x−xx，求f(x)的展开式．12x2x1−1解f(x)=−x−xx12x32=2x⋅(−x)⋅x+(−x)⋅2⋅(−1)+1⋅x⋅1−(−1)⋅(−x)⋅1−1⋅(−x)⋅x−2x⋅x⋅2=−2x−3x+2xab05．设a,b为实数，问a,b为何值时，行列式−ba0=0．−10−1ab02222解−ba0=−a−b=0⇒a=−b⇒a=0,b=0．−1

5、0−1习题1.21．求下列各排列的逆序数．（1）4637251；（2）315426；（3）217986534；（4）13L(2n−1)24L(2n)．解（1）逆序数为14；4637251↓↓↓↓↓↓↓t0020426i（2）逆序数为5；315426↓↓↓↓↓↓t010130i（3）逆序数为19；217986534↓↓↓↓↓↓↓↓↓t010013455in(n−1)（4）逆序数为：2213L2n−124L2n−22n↓↓0↓↓↓↓↓t00L0n−1n−2L10i2．在由1,2,3,4,5,6,7,8,9组

6、成的下述排列中，确定i,j的值，使得（1）215i7j946为奇排列；（2）3972i15j4为偶排列．解（1）i,j为分别3和8；若i=3,j=8，则τ(215378946)=1+1+4+3=9，为奇排列；若i=8,j=3，则τ(215873946)=1+1+3+4+3=12，为偶排列；（2）i,j为分别6和8；若i=6,j=8，则τ(397261584)=1+3+2+5+3+1+5=20，为偶排列；若i=8,j=6，则τ(397281564)=1+3+1+5+3+3+5=21，为奇排列；3．在五阶行列式D=det(

7、a)展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？ij（1）aaaaa；（2）aaaaa；（3）aaaaa；（4）aaaaa．1322344551513213442551321544232153341245解（1）因τ(32451)=5，所以前面带“-”号；（2）因τ(53142)=7，所以前面带“-”号；（3）因τ(53142)+τ(12543)=10，所以前面带“+”号；（4)因τ(25314)+τ(13425)=7，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）aaaa；（2）aa

8、aa；（3）aaaaa；（4）aaaaa．342143121223341441322314554132231255解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于aaaa中的aa都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；122334143414（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；