2020年高考数学二轮微专题突专题21 数列与不等式结合的问题（解析版）.docx

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1、专题21数列与不等式结合的问题一、题型选讲题型一不等式恒成立中的参数的范围，求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．例1、(2019镇江期末）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64.数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2.(1)分别求数列{an}与{bn}的通项公式．(2)若不等式λ…<对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围．(3)已知k∈N*，

2、对于数列{bn}，若在bk与bk＋1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设数列{cn}的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m，使得Tm＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．规范解答(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为a1＝2，a2a4＝a1q·a1q3＝64，解得q＝2，则an＝2n.(1分)当n＝1时，a1b1＝2，则b1＝1；(2分)当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2　①，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)·2n＋2　②，①－②得anbn＝n·2n，则bn＝n.综上，

3、bn＝n.(4分)(2)不等式λ…<对一切正整数n都成立，即λ…<恒成立．因为…>0，当λ≤0时，不等式显然成立．(5分)当λ>0时，不等式等价于…<.设f(n)＝…，则＝＝＝<1.(7分)所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…，所以>f(n)max＝f(1)＝，故λ<，则0<λ<.综上，λ<.(8分)例2、(2019南京、盐城二模）已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2…an)2＝aa.(1)若a1，2a2，3a3成等差数列，求的值；(2)①求证：数列{an}为等比数列；②若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数

4、列{an}的公比q的取值范围．规范解答(1)因为(a1a2)2＝aa3，所以a＝a1a3，因此a1，a2，a3成等比数列．(2分)设公比为t，因为a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，即4×＝1＋3×，于是4t＝1＋3t2，解得t＝1或，所以＝1或.(4分)(2)①因为(a1a2…an)2＝aa，所以(a1a2…anan＋1)2＝aa，两式相除得a＝a1，即a＝a1a，(*)(6分)由(*)，得a＝a1a，(**)(*)(**)两式相除得＝，即a＝aa，所以a＝an＋1an＋3，即a＝anan＋2，n≥2，n∈N*，(8分)由(1)知a＝a1a3，

5、所以a＝anan＋2，n∈N*，因此数列{an}为等比数列．(10分)②当02时，由a1＋a2＋…＋an≤2n－1，得≤2n－1，整理得a1qn≤(q－1)2n＋a1－q＋1.(14分)因为q>2，01，因此n2不满足条件．综上，公比q的取值范围为(0，2]．(16分)例3、(

6、2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{an}的各项均不为零．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{a}的前n项和为Tn，且3S－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.(1)求a1，a2的值；(2)证明：数列{an}是等比数列；(3)若(λ－nan)(λ－nan＋1)<0对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的所有值．(1)对3S－4Sn＋Tn＝0，令n＝1，2得到方程，解得a1，a2的值．(2)3S－4Sn＋Tn＝0中，对n赋值作差，消去Tn，再对n赋值作差，消去Sn，从而得到an＋1＝－an，证得数列{an}是等比数列．(3)先求出an＝n－1，由(λ－nan)(λ－nan＋1

7、)<0恒成立，确定λ＝0适合，再运用反证法证明λ>0和λ<0不成立．规范解答(1)因为3S－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.令n＝1，得3a－4a1＋a＝0，因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得3(1＋a2)2－4(1＋a2)＋(1＋a)＝0，即2a＋a2＝0，因为a2≠0，所以a2＝－.(3分)(2)解法1　因为3S－4Sn＋Tn＝0，　①所以3S－4Sn＋1＋Tn＋1＝0，　②②－①得，3(Sn＋1＋Sn)an＋1－4an＋1＋a＝0，因为an＋1≠0，所以3(Sn＋1＋Sn)－4＋an＋1＝0，　③(5分)所以3(Sn＋Sn－1)－4＋an＝0