2020年高考数学二轮微专题突专题33 定义型问题的探究（解析版）.docx

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1、专题33定义型问题的探究一、题型选讲题型一、与导数有关的定义型问题新定义型问题，读懂题意，，理解题意，将问题合理地转化是解题地关键，与导数有关的问题往往涉及到导数的切线问题、单调性问题、极值点零点等问题。例1、(2019苏州期初调查）若对任意的实数k，b，函数y＝f(x)＋kx＋b与直线y＝kx＋b总相切，则称函数f(x)为“恒切函数”．(1)判断函数f(x)＝x2是否为“恒切函数”；(2)若函数f(x)＝mlnx＋nx(m≠0)是“恒切函数”，求实数m，n满足的关系式；(3)若函数f(x)＝(ex－x－1)ex＋m是“恒切函数”，求证：－

2、出切点(x0，y0)，根据已知条件，建立方程组，求出x0，即可以判断结论．(2)设出切点(x0，y0)，根据直线与曲线相切，切点处的导数值为切线的斜率和切点同时在曲线和直线上，建立方程组，通过变量代换即可得到m，n满足的关系式．(3)解法1设出切点(x0，y0)，建立方程组，易得可以通过研究g(x)＝2ex－x－2，确定零点x0所在的范围，通过代换处理m＝－(ex0－x0－1)ex0＝x0(x0＋2)，就能证得－

3、1)2－，得证＝

4、(x)＝(2ex－x－2)ex，所以所以(10分)考查方程2ex＝x＋2的解，设g(x)＝2ex－x－2.因为g′(x)＝2ex－1，令g′(x)＝0，解得x＝－ln2.所以当x∈(－∞，－ln2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(－ln2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以g(x)min＝g(－ln2)＝ln2－1<0.(12分)1°　当x∈(－∞，－ln2)时，因为g(－2)＝>0，g(－1)＝－1<0.所以g(x)＝2ex－x－2在(－∞，－ln2)上有唯一零点x0∈(－2，－1)．又因为m＝－(ex0－x－1)ex0＝x0(

5、x0＋2)，所以m∈.(14分)2°　当x∈(－ln2，＋∞)时，因为g(0)＝0，所以g(x)＝2ex－x－2在(－ln2，＋∞)上有唯一零点0，所以m＝0.(15分)综上可知－0，μ(x)单调递增；当x∈(－∞，0)时，μ′(x)<0，μ(x)单调递减．所以μ(x)≥μ(0)＝0，所以ex0－x0－1≥0，得m＝－(ex0

6、x0－1)ex0≤0.由2ex0＝x0＋2，得m＝－(ex0－x0－1)ex0＝x0(x0＋2)＝(x0＋1)2－，由2ex0＝x0＋2知x0≠－1，所以m＝(x0＋1)2－>－.综上可知－

7、第一象限．(1)由于f(x)不存在“优点”，即两条切线不存在交点，所以两条切线平行或重合，根据导数的几何意义，得到f′(x)＝f′对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，代入计算，得到a的值．(2)设出A，B两点的坐标，求出f(x)在A，B两点处的切线方程，由两切线方程联立，求得交点的横坐标，再运用基本不等式求得范围．(3)设出A，B两点的坐标，求出f(x)在A，B两点处的切线方程，由两切线方程联立，求得交点的坐标，即“优点”的坐标，再证明横坐标和纵坐标都大于0，即可证得结论．规范解答(1)不妨设A(t，f(t))(0

8、则f′(t)＝；当x>1时，f′(x)＝2ax，则f