2020年高考数学二轮微专题突破30 导数中的证明问题（解析版）.docx

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1、专题30导数中的证明问题一、题型选讲题型一与零点、极值点有关的证明例1、(2019无锡期末）已知函数f(x)＝ex－x2－ax(a>0)．若函数y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证：<.直接证明比较困难，需要利用分析法，通过代数变形，换元等方法将问题转化为熟悉的不等式问题，再通过构造函数，结合常用不等式，利用导数进行证明．规范解答f′(x)＝ex－ax－a，因为x1，x2为f(x)的两个极值点，所以即两式相减，得a＝两式相减，得a＝，(8分)则所证不等式等价0，所以证不等式只需证明：e<→t

2、e－et＋1<0，设φ(t)＝te0≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)单调递减，φ(t)<φ(0)＝0.所以<.本题以导数知识为背景考查了函数，导数与不等式的综合问题．考查学生等价转化思想，代数变形，推理论证能力以及利用数学知识，分析问题，解决问题的能力例2、(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝ax2－bx＋，a，b∈R.当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点是x1和x2(x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2.要证明此不等式，首先要考察x1，x2的范围与a，b的关系，由已知求出f′(

3、x)＝(x＞0)，因此x1，x2是方程g(x)＝2x2－bx＋1＝0的两根，x1x2＝，粗略地估计一下，由于g＝＜0，g(1)＝3－b＜0，因此有x1∈，x2∈(1，＋∞)，由此可知f(x)在[x1，x2]上为减函数，从而有f(x1)－f(x2)＞f－f(1)，这里f－f(1)＝－－ln2＞－ln2，正好可证明题设结论．规范解答证法1因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋，从而f′(x)＝(x＞0)．由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，由根与系数的关系可得x1x2＝.记g(x)＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g＝＜0，g(

4、1)＝3－b＜0，所以x1∈，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2x＋1(i＝1,2)，(12分)所以f(x1)－f(x2)＝(x－x)－(bx1－bx2)＋ln＝－(x－x)＋ln.因为x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝x－－ln(2x)，x2∈(1，＋∞)．(14分)令t＝2x∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－－lnt.因为φ′(t)＝≥0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)上单调递增，所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2.(16分)证法2因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f′(

5、x)＝(x＞0)．由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根．记g(x)＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g＝＜0，g(1)＝3－b＜0，所以x1∈，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在[x1，x2]上为减函数．(12分)所以f(x1)－f(x2)＞f－f(1)＝－＋ln－(1－b)＝－＋－ln2.因为b＞3，所以f(x1)－f(x2)＞－＋－ln2＞－ln2.(16分)解后反思(1)导数法求函数单调区间的一般流程：求定义域→求导数f′(x)→求f′(x)＝0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f′(x)在各个开区间内的符号→得

6、相应开区间上的单调性．(2)在函数中含有参数时，解方程f′(x)＝0时必须对参数进行分类讨论，这里分类讨论的标准要按照不等式的形式正确确定．(3)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)，转化为不等式恒成立问题求解．例3、(2017南通一调）已知函数f(x)＝ax2－x－，a∈R.(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若－1≤a≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点；思路分析(1)这是一个基本题型，通过求导，得极值点，讨论单调性，求得最小值；(2)先通过求导得函数f(x)在(0，＋∞

7、)上单调递减，从而确定至多一个零点，再找到f(1)＝a－1＜0，f＝＞0，通过判定定理证明只有一个零点；规范解答(1)当a＝时，f(x)＝x2－x－.故f′(x)＝x－1－＝，x＞0.(2分)令f′(x)＝0，得x＝2，当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．所以当x＝2时，f(x)有最小值f(2)＝－－ln2.(4分)(2)由f(x)＝ax2－x－，得f′(x)＝2ax－1－＝，x＞0.所以当a≤0时，f′(x)＝＜0，函数f(x)在(0，＋∞)

8、上单调递减，所以当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上最多有一个零点．(6分)因为当－1≤a≤0时，f(1)＝a－1＜0，f＝＞0，所