2020年高考数学二轮微专题突破30 导数中的证明问题（原卷版）.docx

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1、专题30导数中的证明问题一、题型选讲题型一与零点、极值点有关的证明例1、(2019无锡期末）已知函数f(x)＝ex－x2－ax(a>0)．若函数y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证：<.例2、(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝ax2－bx＋，a，b∈R.当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f′(x)的两个零点是x1和x2(x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2.例3、(2017南通一调）已知函数f(x)＝ax2－x－，a∈R.(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若－1≤a≤0，证明：函

2、数f(x)有且只有一个零点；题型二、存在与恒成立问题例4、(2017南京、盐城二模）已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R.(1)若a＝e，函数g(x)＝(2－e)x.①求函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；②若函数F(x)＝的值域为R，求实数m的取值范围．(2)若存在实数x1，x2∈[0,2]，使得f(x1)＝f(x2)，且

3、x1－x2

4、≥1，求证：e－1≤a≤e2－e.例5、(2017无锡期末）已知函数f(x)＝x2＋＋1(m∈R)，g(x)＝ex.(1)当x∈[0,2]时，F(x)＝f(x)－g(x)

5、为单调增函数，求实数m的取值范围；(2)若m∈(－1,0)，设函数G(x)＝，H(x)＝－x＋，求证：对任意x1，x2∈[1,1－m]，G(x1)≤H(x2)恒成立．题型三、证明不等式或最值问题例6、(2018南通、泰州一调）已知函数g(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)有极值，且函数f(x)＝(x＋a)ex的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式；(2)当a>0时，若函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值为M(a)，证明：M(a)<－.例7、(201

6、6苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x－1－a(其中a为参数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)都有f(x)≥0成立，求实数a的取值集合；(3)证明：n

7、函数f(x)＝，g(x)＝ax＋－c(a，b，c∈R)．当a＝1时，设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

8、m－n

9、≥1，使得f(m)＝f(n)，求证：1≤≤e.3、(2018常州期末）已知函数f(x)＝，其中a为

10、常数．若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)<－2.4、(2017镇江期末）已知函数f(x)＝x，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．(1)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；(2)若λ＝，且x≥1，证明：f(x)≤g(x)；5、(2019苏州期初调查）若对任意的实数k，b，函数y＝f(x)＋＋b与直线y＝＋b总相切，则称函数f(x)为“恒切函数”．(1)判断函数f(x)＝x2是否为“恒切函数”；(2)若函数f(x)＝m＋(m≠0)是“恒切函数”，求实数m，n满足的关

11、系式；(3)若函数f(x)＝(ex－x－1)ex＋m是“恒切函数”，求证：－0)．(1)若函数y＝f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；(2)设a＝，g(x)＝f(x)＋b＋1(b∈R，b≠0)，g′(x)是g(x)的导函数．①若对任意的x>0，g′(x)>0，求证：存在x0，使g(x0)<0；②若g(x1)＝g(x2)(x1≠x2)，求证：x1x2<4b2.7、(2017苏北四市一模）设函数f(x)＝－ax2＋ax，a为正实数．(1)

12、当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求证：f≤0；(3)若函数f(x)有且只有1个零点，求a的值．