2018-2019版数学高二同步系列课堂讲义选修4-5北师大版试题：第一章 不等关系与基本不等式1.5 Word版含答案.docx

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1、§5　不等式的应用课后篇巩固探究A组1.若a>0,则2a+1a2的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.22B.332C.1D.3解析:2a+1a2=a+a+1a2≥33a·a·1a2=3,当且仅当a=1a2,即a=1时,取最小值3.答案:D2.函数f(x)=x+4x-1的值域是(　　)A.(-∞,-3]∪[5,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,-5]∪[3,+∞)D.(-∞,-4]∪[4,+∞)解析:当x>0时,x+4x-1≥2x·4x-1=3;当x<0时,x+4x-1=-(-x)+-4x-1≤-5,所以函数值域为(-∞,-5]∪[

2、3,+∞).答案:C3.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为(　　)A.336B.22C.12D.1235解析:因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥332x·22y·23z=332x+2y+3z=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=23时取等号.答案:C4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则1a+1b+1c的最小值为(　　)A.9B.8C.3D.13解析:因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥33abc,所以0

3、127,则1abc≥27,所以1a+1b+1c≥331abc≥3327=9.当且仅当a=b=c=13时等号成立.答案:A5.用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是(　　)A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5解析:设长方体水箱长、宽、高分别为x,y,z,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x·4xy+2y·4xy=xy+8y+8x≥33xy·8x·8y=12,当且仅当x=y=22时等号成立.

4、故要制作容积为4m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12m2,所以A,B排除,而C,D均够用,但D剩较多,故选C.答案:C6.若a,b,c同号,且ba+cb+ac≥k,则k的取值范围是　　　　　. 解析:因为a,b,c同号,所以ba,cb,ac>0,于是ba+cb+ac≥33ba·cb·ac=3,当且仅当a=b=c时等号成立.因此k的取值范围是(-∞,3].答案:(-∞,3]7.若x>3,则函数f(x)=x-2+1x-3的最小值等于　　　　　. 解析:因为x>3,所以x-3>0,所以f(x)=x-2+1x-3=x-3+1x-3+1≥2(x-3)1x

5、-3+1=3,当且仅当x-3=1x-3,即x=4时,函数取最小值3.答案:38.若a>b>0,则a+1(a-b)b的最小值为　　　　　. 解析:因为a>b>0,所以a-b>0,所以a+1(a-b)b=(a-b)+b+1(a-b)b≥33(a-b)·b·1(a-b)b=3,当且仅当a-b=b=1(a-b)b,即a=2,b=1时,取得最小值3.答案:39.某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最

6、低)?解设这种汽车使用n年后报废最合算,这n年中汽车每年的平均费用为y万元,则y=10+0.9n+0.2n+n(n-1)2·0.2n=10n+n10+1≥3,当且仅当10n=n10,即n=10时取等号.故这种汽车使用10年后报废最合算.10.导学号35664026已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+4c2的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.解由平均值不等式,得4a+4b+4c2≥334a·4b·4c2=334a+b+c2(当且仅当a=b=c2时,等号成立).∵a+b+c=1,∴a+b=1-c,∴a+b+c2=c2-c+1=c

7、-122+34.当c=12时,a+b+c2取得最小值34.从而当a=b=14,c=12时,4a+4b+4c2取最小值,最小值为32.B组1.若logxy=-2,则x+y的最小值为(　　)A.3322B.2333C.332D.223解析:由logxy=-2得y=1x2,因此x+y=x+1x2=x2+x2+1x2≥33x2·x2·1x2=3322,当且仅当x=32时,等号成立.答案:A2.若x>0,则f(x)=4-x-12x2的最大值为(　　)A.4-22B.4-2C.不存在D.52解析:∵x>0,∴f(x)=4-x-12x2=4-x2+x2+12x2

8、≤4-33x2·x2·12x2=4-32=52,当且仅当x=1时,等号成立.答案:D3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V