高考数学总复习 基础知识 第四章 第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算 理.doc

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1、第五节　数系的扩充、复数的概念与四则运算1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示形式及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知识梳理一、复数的有关概念1．复数的概念．形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若________，则a＋bi为纯虚数．2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔________(a，b，c，d∈R).3．共轭复数：a＋bi与c

2、＋di共轭⇔________(a，b，c，d∈R)．4．复平面．建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________．5．复数的模．向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作________或________，即

3、z

4、＝

5、a＋bi

6、＝________.6．复数的几何意义．(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.答案：1.实部　虚部　b＝0　

7、b≠0　a＝0且b≠0　2.a＝c且b＝d　3.a＝c，b＝－d　4.x轴　y轴　实数　纯虚数　非纯虚数　5.

8、z

9、　

10、a＋bi

11、　r(a2＋b2)二、复数代数形式的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则1．z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.2．z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.3.＝＝＋i(c＋di≠0)．三、常见运算规律1．i的幂运算：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(其中n∈N)．2．(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.

12、3．(1±i)2＝±2i.4.＝i，＝－i.5．1的立方根是1，－＋i，－－i；－1的立方根是－1，＋i，－i.6．设ω＝－＋i，则ω2＝，1＋ω＋ω2＝0.四、复数运算所满足的运算律1．加法交换律：z1＋z2＝z2＋z1.2．加法结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3．乘法运算律：(1)z1(z2z3)＝(z1z2)z3；(2)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3；(3)(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3.五、复数加减法的几何意义1．复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量，，那么，以OP1，OP2为两边作平行四边形OP1

13、SP2，对角线OS表示的向量就是z1＋z2的和所对应的向量．2．复数减法的几何意义：两个复数的差z1－z2与连接向量，的终点，并指向被减数的向量对应．六、几个重要的结论1．

14、z1＋z2

15、2＋

16、z1－z2

17、2＝2(

18、z1

19、2＋

20、z2

21、2)．2．z·＝

22、z

23、2＝

24、

25、2.3．若z为虚数，则

26、z

27、2≠z2.基础自测1．(2013·潮州二模)设i为虚数单位，则复数等于(　　)A.＋i　　　B．－＋iC.－iD．－－i解析：＝＝＝＋i.故选A.答案：A2．(2013·广州一模)已知＝1＋bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a＋bi＝(　　)A．1＋2i　B．2＋IC

28、．2－I　D．1－2i解析：由＝1＋bi，即＋i＝1＋bi，得a＝2，b＝1.故选B.答案：B3．设i为虚数单位，则1－i＋i2－i3＋i4－…＋i20＝________.解析：根据in(n∈N*)的周期性知，－i＋i2－i3＋i4＝－i5＋i6－i7＋i8＝…＝0，∴1－i＋i2－i3＋i4－…＋i20＝1.答案：14．若(1－2i)i＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝________.解析：由(1－2i)i＝i－2i2＝2＋i＝a＋bi，根据复数相等的条件可得a＝2，b＝1，∴ab＝2.答案：21．(2013·江西卷)已知集合M＝{1,2，

29、zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　)A．－2i　　　　B．2iC．－4i　　D．4i解析：由M∩N＝{4}得zi＝4，z＝＝－4i.答案：C2．(2013·天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.解析：由(a＋i)(1＋i)＝bi得a－1＋(a＋1)i＝bi，∴∴∴a＋bi＝1＋2i.答案：1＋2i1．(2013·梅州二模)复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)A．1－i　　　　B．1＋i　　　　C.＋i　　　　D.－i解析：因为复数z＝＝＝＋i.所以＝－i.

30、故选D.答案：D2．(2013·江门一模)在复平面内