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《隐函数存在定理及隐函数组定理的一个证明方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第!"卷湖北师范学院学报（自然科学版）#$%&!"第’期($)*+,%$-.)/012$*3,%4+150*6178（2,7)*,%9:10+:0）2$&’，!;;"隐函数存在定理及隐函数组定理的一个证明方法江秉华（湖北师范学院数学系，湖北黄石<=>";;!）摘要：利用不动点定理证明隐函数存在定理及隐函数组定理。关键词：完备度量空间；压缩映射；不动点中图分类号：?’@=&’<<文献标识码：A<<文章编号：’;;BC!@’=（!;;"）;’C;;D@C;><<在数学分析中，隐函数存在定理及隐函数组定理是两个很重要的定理，在教学中这两个定理的证明是难点，而教材中给出的证明比较复杂，学生
2、不易理解，这里给出一个比较易于接受的证明。’<隐函数存在定理及其证明?!<<定理<设!："E"&"，#E$:"E"是%（&;，’;）’"E"的一个邻域，设!及在#E$内连续，?’?!又设（!&;，’;）F;，（&;，’;）%;则@（&;，’;）的一个邻域，#;E$;:#E$以及唯一的连续函数!：#;?’&$;满足（!&，!（&））F;，且!（&;）F’;，&’#;(证明<设)［&;G*，&;H*］表示定义在闭区间［&;G*，&;H*］上，取值在"上的连续函数空间，!’)［&;G*，&;H*］G’?!令+：!&+!，（+!）（&）5!（&）G(?（’&;，’;）)（!&，!（&）），
3、&’［&;G*，&;H*］，!，"’)［&;G*，&;H*］，规定<<（#!，"）F3,I｛J!（&）G"（&）J｝记,（&）F!（&）G"（&）(J&G&;JK*G’G’?!?!<<（#+!，+"）F3,I!（&）G(（&;，’;）)（!&，!（&））G"（&）H(（&;，’;）)（!&，"（&））J&G&;JK*?’?’G’?!F3,I!（&）G"（&）G(（&;，’;）)［（!&，!（&））G（!&，"（&））］J&G&;JK*?’GG?!L由微分中值定理，（!&，!（&））G（!&，"（&））F(&，’（)!（&）G"（&））其中’F$!（&）H（’G$）E?’GG?（"（
4、&）），;K$K’，又(&，’)在（&;，’;）处连续，所以@%M;，当J&G&;J+%，J’G’;J+%时?!G?!?!’?!(&，’)G（&;，’;）K（&;，’;）(?’?’!?’G’G’G?-?-?-?-N;K*K%时，有（#+!，+"）+3,I(（I;，8;）)（I;，8;）G(（I;，8;）)(I，8)JO（I）JJIGI;J+*?8?8?8?8’+3,IJO（&）J（’）J&G&;J+*!收稿日期：!;;=—’’—!;作者简介：江秉华（’BP=—<），男，湖北蕲春人，高级讲师。·D@·今取!5{!’"［#!"$，#!#$］!（#!）$%!，%&’(!（#）"%!(+$
5、}，则!是在"［#!"$，#!#$］中是闭的，从而是一(#"#!(+$个完备的度量空间。（)）式表明&是!上的压缩映射，下面再证&：!&!就行了。注意到由（)）式有"))?’（"&!，%!）+（"&!，&%!）#（"&%!，%!）+"（!，%!）#%&’(（#!，%!）)（’#，%!）又由’的连续性，*(#"#!(+$?%存在#+!，当!,$,#时，有")")?’?’$%&’(（#!，%!）)（’#，%!）$%&’(（#!，%!）)（（’#，%!）"（’#!，%!））,（*）(#"#!(+$?%(#"#!(+$?%*")?’因此当!,$,%-.（#，$）时，由（)）（*）有"（&!
6、，%!）,$，此外还有（&!）（#!）$%!#(?（%#!，%!）)/（’#!，!（#!））$%!，所以&是!&!上压缩映射，又（!，"）是完备的度量空间，由0&.12不动点定理，存")?’在唯一!’!使&!$!，即(?（%#!，%!）)（’#，!（#））$!，#’［#!"$，#!#$］从而（’#，!（#））$!，#’［#!"$，#!#$］，由!（#）’!知，!在［#!"$，#!#$］上连续及!（#!）$%!和!（#）’［%!"$，%!#$］(!"隐函数组定理及其证明******?’33定理：设’：)/)，*/+:)/)是（#!，%!）’)/)的一个邻域，设’及在*/+内连续，又?
7、%?’设（’#!，%!）$!，[456(?%)（]#!，%!）%!，则@（#!，%!）的一个邻域*!/+!:*/+以及唯一的连续函数!：*!&+!满足（’#，!（#））$!，#!’*!其中æ?’)3?’)ö?’ç?%)?%*÷’)**333$ç÷，3’$()，3’,$)/)&)，3’（,#，%）$’（,#)，#*，%)，%*），,$)，*(?%ç?’*?’*÷’*，è?%)?%*ø")"*证明："［-（#!，$），)*］，表示定义在闭球-（#!，$）上，取值在)上的向
