高中数学必修1抽象函数练习题教师版.doc

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1、抽象函数练习题教师版1.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=,2.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x

2、)+x-1.而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5,又f(x+1)≤f(x)+1，所以g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.3.f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则（4，.。2000.(,原式=16)5、对任意整数函数满足：，若，则CA.-1B.1C

3、.19D.436、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（）（B）A.2005B.2C.1D.07，设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0

4、)≠0矛盾,所以f(x)>0.8，设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,,求f(x)的解析式。解:----（2）---（3）9，已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，代入比较系数得:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。10，已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为（D）A．B．C．D．解：易知T=2，当时,

5、,∴;当时,∴.故选D。11，解:，12，已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（Ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式。13，函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0，（1）求的值；（2）对任意的，，都有f(x1)+2

6、，都有成立，必有都成立.当时，,显然不成立．当时，，解得∴的取值范围是．14，设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。证明：设R上x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定)。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>

7、0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由，故f(x)>0，从而f(x2)>f(x1).即f(x)在R上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）15，已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数；（2）解不等式解：（1）设，则∵，∴，∴，即，∴∴在上是增函数（2），∴，∵是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，∴0≠，解得：16，已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)

8、>0.求证：f(x)是单调递增函数；证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x