南昌大学一维随机变量及其分布课件.ppt

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1、2.分布函数的性质1.随机变量分布函数的概念(单调不减性)一、复习1离散型随机变量的分布两点分布均匀分布二项分布泊松分布二项分布泊松分布两点分布退化分布234一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布三、小结第2.3节　连续型随机变量及其概率密度5连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.6性质证明一、概率密度的概念与性质1.定义71证明

2、xxf0)(8同时得以下计算公式对f(x)的进一步理解:9(4)若x是f(x)的连续点，则：=f(x)连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续10注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即证明由此可得连续型随机变量的概率与区间的开闭无关11设X为连续型随机变量，X=a是不可能事件,则有若X为离散型随机变量,注意连续型离散型12例1：设X的概率密度解：下求分布函数F(x)本题的分布函数是不是分段函数呢?如果是,应该分几段?（2）利用注意积分限的变化所以或所以F(,)是分段函数,共两段解题16171819例220

3、故有解(1)因为X是连续型随机变量,212223练一练（2)求X的密度函数二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布概率密度函数图形25由上式求得X的分布函数:若X～U[a,b],[c,c+l][a,b],有:P(c≤X≤c+l)26即X落在(a,b)内任何长为l的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.(均匀性)均匀分布常见于下列情形：比如:在数值计算中，由于四舍五入,小数点后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.27解则有实根的概率为例328例4某公共汽车

4、站从上午7时起，每15分钟发一趟车，已知某乘客在7：00到7：30任一时刻到达车站，求他候车时间少于5分钟的概率.解:由题意，乘客到达车站的时间X~U(0,30)，P{候车时间少于5分钟}题设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.X的分布密度函数为设A表示“对X的观测值大于3的次数”,解即A={X>3}.30因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则312.指数分布32应用与背景分布函数指数分布有着重要应用，如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中

5、的服务时间等都可用指数分布来描述.33例5设某种灯泡的使用寿命为X，其概率密度为求(1)此种灯泡使用寿命超过100小时的概率.(2)任取5只产品,求有2只寿命大于100小时的概率.答：(1)e-1(2)例6设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.X的分布函数为解3536指数分布的重要性质:“无记忆性”元件在使用t时间后无损坏,用指数分布来计算,其

6、寿命与新的时候相同.指数分布的这一性质在可靠性理论以及排队论中有着很好的应用。3738题顾客在某银行窗口等待服务的时间X服从参数为1/5的指数分布，X的计时单位为分钟。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数。求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率。39其中,(>0)为常数,则称X服从参数为,的正态分布，记为.显然，f(x)≥0，且可以证明参数的意义将在后面的章节中给出(三)正态分布正态分布的分布函数为:若随机变量X的概率密度为显然，f(x)≥

7、0,且正态分布的f(x)及F(x)的图形:图10xf(x)图2F(x)0x正态分布的概率密度函数f(x)的性质(1)曲线关于直线x=对称.(2)当x=时，f(x)取得最大值;(3)在x=处曲线有拐点，且以x轴为渐近线;Of(x)x(4)对固定的,改变的值,图形沿x轴平移;(5)对固定的,改变,越小,图形越尖,X落在附近的概率越大.正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;高考的考试成绩；高度经济学中的股票价格、产品的销量电子元器件的信号噪声、电压、电流；等等，都服

8、从或近似服从正态分布.一般来说，一个随机变量如果是大量相互独立的偶然因素之和，而每个因素的个别影响在总的影响中所起的作用都很微小，那么这个随机变量就会服从或近似服从正态分布。正态分布的应用与背景标准正态分布当=0,=1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).其概率密度与分布函数