2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》.docx

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1、2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》【题型一】：基本不等式的理解【题型二】：利用基本不等式求最值【题型三】：基本不等式应用【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用【题型一】：基本不等式的理解【例1】.，，给出下列推导，其中正确的有（填序号）.（1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.【解析】（1）；（2）（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.（3）∵，∴，（当且仅当即时取等号）∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即【总结升华】在用基本不等

2、式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.【变式训练】：【变式1】给出下面四个推导过程：①∵，∴；②∵，∴；7③∵，，∴；④∵，，∴.其中正确的推导为（）A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.【变式2】下列命题正确的是（）A.函数的最小值为2.　　B.函数

3、的最小值为2C.函数最大值为D.函数的最小值为2【答案】C【解析】A选项中，∵，∴当时由基本不等式；当时.∴选项A错误.B选项中，∵的最小值为2（当且仅当时，成立）但是，∴这是不可能的.∴选项B错误.C选项中，∵，∴，故选项C正确。【题型二】：利用基本不等式求最值7【例2】．设，则的最小值是A．1B．2C．3D．4【解析】当且仅当即时取等号.【答案】D【变式训练】：【变式1】若,求的最大值.【解析】因为,所以,由基本不等式得:,（当且仅当即时,取等号）故当时,取得最大值.【变式2】已知，求的最大值.【解析】∵

4、，∴，∴（当且仅当，即时，等号成立）∴（当且仅当，即时，等号成立）故当时，的最大值为4.【例3】.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是7A．B．4C．D．5【解析】∵,，∴【答案】选C【变式训练】：【变式1】若,,且,求的最小值.【解析】∵,，∴（当且仅当即，时，等号成立）∴（当且仅当，时，等号成立）故当，时，的最小值为64.【变式2】已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。【解析】∵，∴∵x＞0，y＞0，∴（当且仅当，即y=3x时，取等号）又，∴x=4，y=12∴当x=4，y=12时，x+y取

5、最小值16。【题型三】：基本不等式应用【例4】.设,,求证：7【证明】成立【变式训练】：【变式1】已知，求证:【解析】（当且仅当即,等号成立）.【例5】已知，且.(1)若则的值为.(2)求证：【解析】(1)由题意可得带入计算可得(2)由题意和基本不等式可得，，7【变式训练】：【变式】已知函数的定义域为R.(1)求实数m的取值范围.(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值.【解析】(1)因为函数的定义域为R,恒成立设函数则m不大于的最小值即的最小值为4，(2)由(1)知n=4当且仅当时，

6、即时取等号.的最小值为【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用【例6】.某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为,则拆改成新墙的旧墙为，于是还需要建造新墙的长为设建造新墙需用元，建

7、造围墙的总造价为元，7则（当且仅当即时，等号成立）故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.【变式训练】：【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？【解析】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，则（当且仅当x=8时取“=”）此时每人最少交80元.7