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1、要点梳理1.双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2（
2、F1F2
3、=2c＞0）的距离之差的绝对值为常数2a（2a＜2c），则点P的轨迹叫.这两个定点叫双曲线的，两焦点间的距离叫.集合P={M
4、
5、
6、MF1
7、-
8、MF2
9、
10、=2a}，
11、F1F2
12、=2c，其中a、c为常数且a＞0,c＞0：§9.6双曲线基础知识自主学习双曲线焦距（1）当时，P点的轨迹是；（2）当时，P点的轨迹是；（3）当时，P点不存在.a＜ca=ca＞c焦点双曲线两条射线2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1（-a,0）,A2(a,0)顶
13、点坐标：A1（0,-a）,A2(0,a)渐近线离心率实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长
14、A1A2
15、=2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长
16、B1B2
17、=2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.a、b、c的关系基础自测1.双曲线方程：那么k的范围是（）A.k＞5B.2＜k＜5C.-2＜k＜2D.-2＜k＜2或k＞5解析由题意知（
18、k
19、-2）（5-k）＜0，解得-2＜k＜2或k＞5.D2.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A.B.C.D.解析由题知c=4,且=2,∴a=2,∴b2=c2-a2=12,∴双曲线方程为A3.过双曲线x2
20、-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若
21、PQ
22、=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是（）A.28B.14-8C.14+8D.8解析
23、PF2
24、+
25、PQ
26、+
27、QF2
28、=（2a+
29、PF1
30、）+
31、PQ
32、+（2a+
33、QF1
34、）=4a+2
35、PQ
36、=8+14.C4.（2009·安徽理，3）下列曲线中离心率为的是（）A.B.C.D.解析∵e=,∴e2=.即∴故B选项正确.B5.若m＞0,点在双曲线上，则点P到该双曲线左焦点的距离为.解析在双曲线上,且m＞0,代入双曲线方程解得m=3,双曲线左焦点F1(-3,0),故
37、PF1
38、=题型一双曲线的定义【例1】已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2
39、=2外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解.思维启迪题型分类深度剖析解设动圆M的半径为r，则由已知
40、MC1
41、=r+，
42、MC2
43、=r-，∴
44、MC1
45、-
46、MC2
47、=2.又C1（-4，0），C2（4，0），∴
48、C1C2
49、=8，∴2＜
50、C1C2
51、.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(-4，0)、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.∵a=，c=4，∴b2=c2-a2=14，∴点M的轨迹方程是=1（x≥）.探究提高求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程
52、，这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性.知能迁移1已知点P是双曲线=1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则
53、F1M
54、·
55、F2M
56、=.解析根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等,
57、F1M
58、-
59、F2M
60、=
61、PF1
62、-
63、PF2
64、=2a，又
65、F1M
66、+
67、F2M
68、=2c，解得
69、F1M
70、=a+c，
71、F2M
72、=c-a，从而
73、F1M
74、·
75、F2M
76、=c2-a2=b2.答案b2题型二双曲线的标
77、准方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.（1）若双曲线经过P（,2）,求双曲线方程；（2）若双曲线的焦距是2，求双曲线方程；（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.用定义法或待定系数法求方程.解方法一由双曲线的渐近线方程y=±x，可设双曲线方程为思维启迪（1）∵双曲线过点P（，2），故所求双曲线方程为（2）若＞0，则a2=9,b2=4.c2=a2+b2=13.由题设2c=2,∴=1,所求双曲线方程为若＜0，则a2=-4,b2=-9,c2=a2+b2=-13.由2c=2,∴=-1,所求双曲线方程为所求双曲线方程为（3）若＞0，则a2=9,由题设2a=6,∴=1.所求双曲线方
78、程为若＜0，则a2=-4,由题设2a=6,∴=-，所求双曲线方程为故所求双曲线方程为方法二（1）由双曲线渐近线的方程y=±x,可设双曲线方程为（mn＞0）.∵双曲线过点P（，2），∴m＜0,n＜0.又渐近线斜率k=±,故所求双曲线方程为（2）设双曲线方程为∵c2=a2+b2，∴13=a2+b2,由渐近线斜率得∴所求双曲线方程为（3）由（2）所设方程故所求双曲线方程为探究提高待定系数法是求曲线方程最常用的方法之
