正项级数敛散性的判别方法.doc

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1、正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家GregoryJ（1638—1675

2、）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。2正项级数敛散性判别法2.1判别敛散性的简单方法由级

3、数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数收敛有。取特殊的，可得推论：若级数收敛，则。2.2比较判别法定理一（比较判别法的极限形式）：设和为两个正项级数，且有，于是（1）若，则与同时收敛或同时发散。（2）若，则当收敛时，可得收敛。（3）若，则当发散时，可得发散。正项级数敛散性的判别法在高等数学课本中所涉及的主要有：比较判别法、比值判别法和根植判别法。由于比值法与根值法的固定模式，其使用较为方便。但比较判别法在应用时，由于需要对原有级数进行适当的放缩，选择与之比较的对象级数，学生学习时都感到难度较人。2.2.1当所求级数的通项中出现关于的有理式时，将借助无穷小量(无穷大量)

4、阶的概念来分析比较判别法的使用，进而给出如何选择比较对象的快捷方法。由于时，级数必发散。从而，只需考虑时，正项级数的敛散性判别。借助“无穷小量阶的比较”，即无穷小量趋丁零速度的比较这一概念，上述的（1）、（2）、（3）可以等价理解为（1）当，即与是同阶无穷小量（）时，与同敛散。（2）当且收敛，即是较的高阶无穷小量（）时，必有收敛。（3）若且发散，即是较的低阶无穷小量（）时，可得发散。这表明正项级数收敛与否最终取决于其通项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。因此可以通过无穷小量(或者无穷大量)阶的比较，简化的通项或对进行适当放缩，进而利用已知级数的敛散性来判别的敛散。例1、判

5、别级数和的敛散性。分析：在实际题目中，常见的无穷大量有，等。其发散的速度：在时，。从而，（1）。结合比较判别法的使用。故（1）中的比较对象的的取值应保证，即。（2）中的比较对象的的取值应保证，即。解：（1）可取，有。又收敛，则由比较判别法可知也收敛。（2）可取，有。又收敛，则由比较判别法可知也收敛。使用正项级数比较判别法时需要熟记P-级数以及等比级数的敛散性，再结合本文给出的利用阶的概念对级数通项进行放缩的方法．便能较快捷地选定常用作比较对象的P-级数或等比级数的具体形式，准确判别出正项级数的敛散性。[1]同样，我们可以利用等价无穷小来判断正项级数的敛散性，仍需熟记P-级

6、数的敛散性。[2]2.2.2当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象。例2：判别级数的敛散性。分析：考虑当时，，则，而是公比的收敛级数，故原级数收敛。2.3根值判别法以及两个推广定理一（根值判别法的极限形式）：有正项级数，若，则（1）当时，级数收敛。（2）当时，级数发散。2.3.1一般的情况例1：判别级数的敛散性。解：由于，根据柯西判别法的推论，可得级数收敛。2.3.2根值判别法推广，若将判别极限更改为或，则相应结果在一定条件下将比原判别方法更为精细，且应用范围也有所推广。引理一：如果，则级数收敛当且仅当级数收敛。[3]引理二：设与为两个正项

7、级数，且存在正整数，当时，不等式成立，则若级数收敛必有级数收敛；若级数发散必有级数发散。定理二：设为正项级数，为大于1的自然数。若级数通项满足，则当时级数收敛；当级数发散；而当时，级数的敛散性不能判定。[4]定理三：设为正项级数，为大于1的自然数。如果其中，则当时级数收敛；当级数发散；而当时，级数的敛散性不能判定。[4]定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细。定理的应用不再详细举例，比如对级数及，值或根值判别法不能判别其敛散性，但用本文的定理二或定理三其敛散性即可判别。2.4达朗贝尔判别法(比值判别法)及其推广定理三（比值