高阶导数隐函数求导法则ppt课件.ppt

《高阶导数隐函数求导法则ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第2章一元函数微分学高等数学A2.1导数及微分2.1.9高阶导数2.1.10隐函数的求导法则2.1导数及微分2.1.9高阶导数高阶导数定义与记号简单函数高阶导数的习例1-5高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则习例6-82.1.10隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数的求导数习例9-14内容小结课堂思考与练习导数及微分间接法直接法一、高阶导数的定义与记号问题:变速直线运动的加速度.定义:即记号与求导过程:类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数.记为称二阶、三阶…n阶导数为高阶导数.y

2、=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数.记为y=f(x)的n-1阶导数的导数叫做n阶导数.注意：(2)高阶导数是在低一阶导数的基础上定义的，故求高阶导数得先求出各低阶导数.(3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导数,即一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数f(x)在区间I上有直到n阶的导数f(n)(x),且f(n)(x)仍是连续的(此时低于n阶的导数均连续),则称f(x)在区间I上n阶连续可导,记为如果f(x)在区间I上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数f(x)是无穷次连续可导的,记为说明：二、简单函数

3、高阶导数的习例1.直接法由低阶向高阶逐步求高阶导数.例4解:练习:1.y=(ax+b)n的高阶导数当k≥n+1时，y(k)=0解：当1≤k≤n时解:注意：求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)解：解思考:例4类似地，有Soeasy2.间接法利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例5例6例7求2.间接法求高阶导数例5解利用公式例6解例7求解由于故三、高阶导数的运算法则定理1：如果u=u(x),v=v(x)都在点x处具有n阶导数,则公式(2)称为L

4、eibniz(莱布尼兹)公式.注意:求高阶导数的方法可归纳为三种方法1(直接法):即利用高阶导数的定义，再由不完全归纳法得出结论.方法3:即利用高阶导数的运算法则来得结论.方法2(间接法):即利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.四、高阶导数的运算法则习例例9例10解：例9解例10解解：注意，y',y''是y对x的导数，而导数.由复合函数及反函数的求导法则，得是求x对y的五、隐函数的求导法则定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.值

5、得注意的是：在求导过程中，若x为自变量，则y是x的函数，关于y的其他形式都是复合函数.如果由方程F(x,y)=0确定隐函数y=f(x)可导，则将y=f(x)代入方程中，得到F(x,f(x))0对上式两边关于x求导：然后，从这个式子中解出y，就得到隐函数的导数。隐函数求导法则:六、隐函数的求导数习例解:方程两边对x求导得,求二阶导数有两个方法:方法1.方法2.解:所求切线方程为显然通过原点.内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式1.高阶导数的求法2.隐函数求导法则直接对

6、方程两边求导思考题：习题2.1第1题（10）到（12）思考题参考答案课堂练习：习题2.1第19题到第22题练习参考答案1.设连续，且，求.可导不一定存在故用定义求解练习题2已知任意阶可导,且时提示:则当3.证明f(x)=arcsinx满足下式证：对上式关于x求导n次：故即4.设求解:即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得