第六章_函数插值ppt课件.ppt

《第六章_函数插值ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章函数插值6.1代数插值设已知某个函数关系y=f(x)在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数y=f(x)的一种简单的近似表达式以便于计算点的函数值，或计算函数的一阶、二阶导数值。(6.1)选取多项式Pn(x)，使得（6.2）作为f(x)的近似。满足关系（6.2）的函数Pn(x)为f(x)的一个插值函数，x0,x1,…,xn为插值节点，关系（6.2）为插值原则。这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值设x0

2、多项式的存在唯一性：设所要构造的插值多项式为：由插值条件得到如下线性代数方程组：此方程组的系数行列式为范得蒙行列式！当时，D0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一确定。定理(唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。6.2拉格朗日（Lagrange)插值1．线性插值x0x1(x0,y0)(x1,y1)P1(x)f(x)可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。x0x1x2p2(x)f(x)f(x)2．抛物插值因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。要求：无重合节点，即3．拉

3、格朗日插值公式设连续函数y=f（x）在[a,b]上对给定n+1个不同结点：x0,x1,…,xn分别取函数值y0,y1,…,yn其中yi=f(xi)i=0,1,2,…,n试构造一个次数不超过n的插值多项式使之满足条件i=0,1,2,…,n求n次多项式lk(x)k=0,1,…,n则i=0,1,2,…,n即Pn(x)满足插值条件（6.2）根据lk(x)的表达式，xk以外所有的结点都是lk(x)的根，又由lk(xk)=1，得：因此令从而得n阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：4插值余项在[a,b]内存在,考察截

4、断误差设节点，且f满足条件,存在使得。且推广：若使得使得罗尔定理:若在［］连续，在充分光滑，注：通常不能确定x,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。6.3牛顿插值Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)都需重新算过。1．差商的定义定义1：设有函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的x0,x1,…,xn（即在ij时，xixj）的值f(xi),称为f(x)在点xi,xi处的

5、一阶差商，并记作f[xi,xj]，又称为f(x)在点xi,xj,xk处的二阶差商称为f(x)在点x0,x1,…,xn处的n阶差商。f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]xn+1f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]差商可列表计算：xiyi一阶差商二阶差商n阶差商……由差商定义可知

6、：高阶差商是两个低一阶差商的差商。x0x1x2xn-1xn2牛顿插值公式12…………n1(xx0),2……(xx0)…(xxn1)n1Nn(x)Rn(x)ai=f[x0,…,xi]牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，只要再增加一项就行了，即有递推式:由插值的唯一性可知Nn(x)Ln(x)，故其余项也相同，即差商与导数的关系公式6.4差分及其性质，等距节点插值公式1．微商的离散化引入符号向前差分向后差分中心差分一阶差商当h充分小或当xj充分靠近xi时，有在几何图形上，这三种差商分别表示弦

7、AB、AC和BC的斜率。将这三条弦线与过点A的切线相比较，从图形上可以看出，一般地说，弦BC的斜率更接近于切线斜率f’(a)。等距节点公式向前差分iiifff-=+1ikikikikffff1111)(-+---==向后差分111----=ikikikfffi1iifff-=中心差分其中当节点等距分布时:（k个差分因子）差分的重要性质：性质3：若f(x)是m次多项式，则是性质1：常数的差分等于零性质2：差分算子为线性算子次多项式，且性质4：这个性质类比于性质5：（类比于分部积分法则）

8、性质6：当节点xk是等距时，差分差商存在着关系：差分值可由函数值算出：=-+-=Dnjjknjknfjnf0)1(其中=-+--=njnjkjnknfjnf0)1(牛顿公式牛顿前差公式牛顿后差公式将节点顺序倒置：设，则)()()(000xfkthtxNxNknknn=+==设，则)()1()()(0nknkknnnxfkthtxNxN--=+==注：一般当x靠近x0时用前插，靠近xn时用后插，