资源描述：
《插值法概述ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、插值法插值法插值法的一般理论Lagrange插值Newton插值分段低次插值Hermite插值、样条插值实际问题期望试验数据观测数据期望内在规律期望函数关系一、数学的期望插值法概述实验数据是否存在内在规律?实验数据的内在规律是什么?实验数据的内在规律是否有函数解析式?反映内在规律的解析式是什么?二、数学的苦恼数学的苦恼实例1标准正态分布函数(x)求(1.014)查函数表三、插值引例插值引例实例2机械加工xy机翼下轮廓线求机翼下轮廓线上一点的近似数值该点的值是多少?插值引例求任一插值点处的函数值或无解析形式,节点可视为由产生，表达式复杂,或未知。已知n+1个
2、节点其中互不相同，不妨设四、插值问题的提法插值问题的提法构造一个(相对简单的)函数通过全部节点,即再用计算插值，即五、求解插值问题的基本思路求解插值问题的基本思路插值的基本原理常见的插值方法拉格朗日插值，分段线性插值，三次样条插值牛顿插值Hermite插值插值多项式:存在性、唯一性、收敛性误差估计六、本章主要内容主要内容七、插值法的一般定义插值法的一般定义插值法的一般定义定理1证明设有n+1个互不相同的节点则存在唯一的多项式：使得构造方程组一般插值多项式的原理令：方程组的矩阵形式如下：所以方程组（4）有唯一解。证毕此定理说明只要n+1个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一存
3、在的。一般插值多项式的原理我们的问题是如何确定进而求得事实上，方程组的解a0,a1,…an存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,…n),Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是此方程组是病态方程组,当阶数n越高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x)的方法----用程序和Lagrange插值、Newton插值等。一般插值多项式的原理第一节Lagrange插值法插值法Lagrange插值法的一般理论Lagrange插值基函数Lagrange插值余项和误差估计Lagrange插值多项式的构造已知n+1个节点其中互不相同，不妨设的插值多项式一、Lagrange插值多项式的构造Lagran
4、ge插值多项式的构造线性插值基函数称为线性插值多项式Lagrange插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造基函数的图形Lagrange插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造拉格朗日(Lagrange)插值多项式二、拉格朗日(Lagrange)插值优点:结构紧凑,理论分析方便缺点:改变一个节点则全部的插值基函数都改变,即节点增加,基函数失效Lagrange插值三、拉格朗日插值的余项与误差估计定理2证明Lagrange插值余项与误差估计Lagrange插值余项与误差估计证毕更有特别地,当n=1时,线性插值余项为:Lagrange插值余项与误差
5、估计当n=2时,抛物插值的余项为:误差估计Lagrange插值余项与误差估计注意1、此结论适合所有插值多项式。证明过程并未涉及插值多项式的形式。2、形式上与泰勒余项很相象，但Taylor多项式要求在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式要求在n+1个不同点上函数值相等。Lagrange插值余项与误差估计例1解Lagrange插值余项与误差估计Lagrange插值余项与误差估计这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差为Lagrange插值余项与误差估计其中于是Lagrange插值余项与误差估计将[0,/2]n等分，用g(x)=cos(x)产
6、生n+1个节点，作Ln(x)（取n=1,2),计算cos(/6)。若n=1,则(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/2,0),例2解cos(/6)=0.6667Lagrange插值余项与误差估计cos(/6)=L2(/6)=0.8508精确值：cos(/6)=0.8660Lagrange插值余项与误差估计Runge现象:四、拉格朗日插值多项式的振荡x0=0;x1=1.5;x2=5.1;y0=-1;y1=4.25;y2=35.21;m[0]=(x-x1)(x-x2)/((x0-x1)(x0-x2));m[1]=(x-x0)(x-x2)/((x1-x0)(x1-x2));
7、m[2]=(x-x0)(x-x1)/((x2-x0)(x2-x1));L[x_,n_]:=y0*m[0]+y1*m[1]+y2*m[2]L[x,n]Simplify[%]//NLagrange程序1因式分解形式的化简或展开Lagrange插值多项式的振荡x[0]=1;x[1]=10;x[2]=11;x[3]=15;x[4]=16;w[x]=Product[x-x[i],{i,0,4}];l0x=w[x]/(D[w[x],
