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《第9章 多元函数微分法及其应用ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章 多元函数微分法及其应用11.设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.第六节偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面2考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为3得曲线在M处的切线方程切线的方向向量称为曲线的切向量：法平面：过M点且与切线垂直的平面,4解例1所以在该点处的切向量为所求切线方程为法平面方程为即52.设空间曲线方程为法平面方程为切线方程为6切线方程为法平面方程为3.设空间曲线方程为7例2解将所给方程的两边对x求导并移项，得解得8所求切线方程为法平面方程为由此得切向量即91.曲面方程为在曲面上任取一条通过点M的曲线二、曲面的切平面与法线1
2、0两边关于t求导,得所以的切向量,上式表明它与向量垂直.11这个平面称为曲面在该点的切平面,切平面方程为法线方程为12例3解所求切平面方程为即所求法线方程为13曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令2.曲面方程为14切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为全微分的几何意义15例4解切平面方程为法线方程为16解设为曲面上的切点,依题意，切平面方程平行于已知平面，得例5因为是曲面上的切点，所求切点为满足曲面方程17切平面方程(1)切平面方程(2)18练习：P45习题8-62.4.5.6.8.10.19第七节方向导数与梯度一、方向导数20当沿着l趋于P时，是否存在？定
3、义若极限21证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到定理存在,且有22故有方向导数23解例1所求方向导数24解例225故26解例3单位化27三元函数的方向导数28解令例4故29二、梯度gradient30其中31在几何上表示一个曲面,曲面被平面截得曲线所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量32等高线的画法播放33例如,34三元函数的梯度例5解所以35练习：P51习题8-71.3.5.8.10.36第八节多元函数的极值及其求法播放37一、多元函数的极值及最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.38(1)(2)(3)例1例２例３39多元函数取得
4、极值的条件（称驻点）驻点极值点注意：定理1（必要条件）40问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理2（充分条件）负定正定41例4解42求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.多元函数的最值43解例5先求函数在D内的驻点，解方程组44为最小值.45若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.例6解46令47用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？二、条件极值拉格朗日乘数法实际问题中,目标函
5、数的自变量除了受到定义域的限制外,往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.例7解即表面积最小.代入目标函数,化为无条件极值问题：xyz48内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小.这种做法的缺点：1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；2.有时解出隐函数困难甚至不可能.49拉格朗日乘数法令引入拉格朗日函数50则构造拉格朗日函数为令51用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？例7解由实际问题,即为最小值点.52例8解解得唯一驻点即做成正三角形时面积最大.53三角形中,以正三角形面积为最大:四边形中,以正方形面积为最大：54例9解
6、此椭圆的中心显然是坐标原点,因此问题即求下的最大值和最小值.作拉格朗日函数55由5657练习：P61习题8-81.3.5.7.8.10.58等高线的画法59等高线的画法60等高线的画法61等高线的画法62等高线的画法63等高线的画法64等高线的画法65等高线的画法66等高线的画法67第八节多元函数的极值及其求法68第八节多元函数的极值及其求法69第八节多元函数的极值及其求法70第八节多元函数的极值及其求法71第八节多元函数的极值及其求法72第八节多元函数的极值及其求法73第八节多元函数的极值及其求法74第八节多元函数的极值及其求法75第八节多元函数的极值及其求法76解切线方程法平面方
7、程例177解令切平面方程法线方程78设切点依题意知法向量为切点满足曲面和平面方程则解79解答思考题80故沿任意方向的方向导数均存在且相等.沿任意方向的方向导数81
