高等数学二第一章多元函数微分学ppt课件.ppt

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1、说明:1.由于R2,R3中的点与向量一一对应.因此在无特别声明时,总用X,Y等表R2,R3中的点(向量).用x,y,z,a,b,c等表实数.2.由于有多种乘积使用记号"·",因此,阅读教材时,应注意区别"·a","A·P","XB"的含意.对"+"也类似.以后在表述时不再区分这两个概念.一、多元函数的概念以前我们接触到的函数y=f(x)有一个特点,就是只有一个自变量,函数y是随着这一个自变量的变化而变化的.我们称为一元函数.如y=sinx,y=x2+3cosx等.§1－1多元函数的概念所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数.函数y随多个自变量

2、的变化而变化.圆柱体体积V=r2h体积V随r,h的变化而变化.一对数(r,h),就有唯一的一个V与之对应.或者说,任给长方体体积V=xyzV随x,y,z的变化而变化.一组数(x,y,z),就有唯一的一个V与之对应.或者说,任给这些都是多元函数的例子.有一个自变量的称为一元函数,有二个自变量的称为二元函数.有三个自变量的称为三元函数,…,有n个自变量的称为n元函数.二元以上的函数统称为多元函数.与一元函数类似,我们有二元函数定义设D是xy平面上的一个点集,即DR2,若对任意的点X=(x,y)DR2,按照某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应

3、,则称f是定义在D上的二元实值函数,记作f:DR,X=(x,y)z.习惯上,称z=f(X)=f(x,y)为二元函数,另外,称x,y为自变量,z为因变量.比如z=sinx+cosy,z=3x2+ey.称z为点X=(x,y)在f下的像,记作f(X)或f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也称作X=(x,y)所对应的函数值.称D为函数f的定义域.D在f下的像集f(D)={f(X)

4、XD}称为f的值域.注1一般说来,自变量x,y都是独立变化的.它们只受到(x,y)D的限制.f(x,y)的表达式,算f(x0,y0)的方法与一元函数类似.另外,若给出

5、了如f(X)=f(x,y)=3x+y2,X0=(1,1)则f(X0)=f(1,1)=3·1+12=4f(x+y,siny)=3(x+y)+sin2y注2特别,若定义域D是xy面上一条曲线.D:y=g(x).g事实上,xD上的点f(x,g(x))=(x,y)z.f=f(x,g(x))成为一元函数.则二元函数z=f(x,y)注3任何一个一元函数都可扩充为一个二元函数.事实上,z=f(x)=f(x)+0·y只须将z作为一元函数的定义域DR扩充为R2中点集即可.注2,注3说明二元函数是一元函数的推广,而一元函数则是二元函数的特殊情形.二元函数是定义在xy

6、平面某点集上的函数,而一元函数是定义在xy面上一条直线(x轴)上的二元函数.类似的,有n元函数定义.设DRn,若对任意的X=(x1,x2,…,xn)DRn,按某个对应规则f,总有唯一确定的实数z与之对应,则称f是定义在D上的n元实值函数.记作f:DR,X=(x1,x2,…,xn)z.并记z=f(X),或z=f(x1,x2,…,xn).定义解：与一元函数类似.就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.例1求z=ln(x+y)的定义域D,并画出D的图形.x+y>0.故定义域D={(x,y)

7、x+y>0}画直线y1=–x.由于D中点(x,y)的纵

8、坐标y要大于直线y1=–x上点的纵坐标y1,故D表示直线y1=–x上方点的集合.(不包括边界y1=–x上的点)为画D的图形,由x+y>0,得y>–x=(y1).x+y=0xyo如图y>–xD(不包括直线x+y=0)例2解:故故D表示到原点距离不超过1的点的集合.即,D为单位圆盘(包括边界).xyox2+y2=1(包括圆周)D例3解:D={(x,y)

9、y2y2(=x1)知,D在曲线x1=y2的右侧.由x<1(=x1)知,D在直线x1=1的左侧.如图1xyoy2=x二、平面区域1.邻域:以点X0=(x0,y0)为中心,以为半径的圆内部点的

10、全体称为X0的邻域.即记Û(X0,)=U(X0,){X0},称为X0的去心邻域.如图X0X0U(X0,)Û(X0,)当不关心邻域半径时,简记为U(X0)和Û(X0).2.内点:E的全体内点所成集合称为E的内部,记为E0.D={(x,y)

11、x2+y21}如图记EC=R2E称为E的余集.若X0是EC的内点,则称X0为E的外点.设E是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若存在邻域U(X0,)E,则称X0为E的内点.xyox2+y2=111D易知,圆内部的每一点都是D的内点.圆外的每一点都是D的外点.但圆周上的点不是D的内点,也不是

12、D的外点.x+y=0xy0如图D又如z=ln(x+y)的定义域D={(x,y)

13、x+y>0}易