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1、.西北工业大学数值分析习题集第一章绪论1.设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.n2.设x的相对误差为2％,求x的相对误差.3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****x11.1021,x20.031,x3385.6,x456.430,x571.0.4.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:************(i)x1x2x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.5
2、.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6.设Y028,按递推公式1YnYn1783100(n=1,2,⋯)计算到Y100.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算Y100将有多大误差?27.求方程x56x10的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).1dx2N1x8.当N充分大时,怎样求?29.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?12Sgt10.设2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时
3、S的绝对误差增加,而相对误差却减小.11.序列{yn}满足递推关系yn10yn11(n=1,2,⋯),若y021.41(三位有效数字),计算到y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?6f(21)12.计算,取21.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?131,(322),,99702.63(21)(322)2f(x)ln(xx1)13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式22ln(xx1)ln(xx1)计算,求对数时误差有多大?;..1010x110
4、x210;x1x22.14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠?1sabsinc,0c15.已知三角形面积2其中c为弧度,2,且测量a,b,c的误差分别为a,b,c.证明面积的误差s满足sabc.sabc第二章插值法1.根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2n1x0x0Lx0LLLLLVn(x)Vn(x0,x1,L,xn1,x)2n1xn1xn1Lxn12n1xxLx证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,L,xn1,且Vn(x)Vn1(x0,x1,L,xn1)(xx0)L(xxn
5、1).2.当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式.3.给出f(x)=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值.x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444.给出cosx,0°≤x≤90°的函数表,步长h=1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界.xxkhxmaxxxl2(x)k0,k=0,1,2,3,求03.5.设x
6、j6.设为互异节点(j=0,1,⋯,n),求证:nkkxjlj(x)x(k0,1,L,n);j0i)nk(xjx)lj(x)k1,2,L,n).ii)j0122maxf(x)(ba)maxf(x).7.设f(x)Ca,b且f(a)f(b)0,求证axb8axbxx8.在4x4上给出f(x)e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截6断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少?n44yn2yn及yn9.若,求.10.如果f(x)是m次多项式,记f(x)f(xh)f(x),证明f(x)的k阶
7、差分kmlf(x)(0km)是mk次多项式,并且f(x)0(l为正整数).(fkgk)fkgkgk1fk11.证明.;..n1n1fkgkfngnf0g0gk1fk.12.证明k0k0n12yjyny0.j013.证明n1n14.若f(x)a0a1xLan1xanx有n个不同实根x1,x2,L,xn,证明knxj0,0kn2;1an,kn1.j1f(xj)15.证明n阶均差有下列性质:F(x)cf(x)Fx0,x1,L,xncfx0,x1,L,xni)若,则;F(x)f(x)g(x)Fx0,x1,L,
8、xnfx0,x1,L,xngx0,x1,L,xnii)若,则.01701874f(x)xx3x1f2,2,L,2及f2,2,L,216.,求.17.证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22R3(x)f()(xxk)(xxk1)/4!,(xk,xk1)并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)P(k1)并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.P(x)19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以
