2021届新高考数学解答题挑战满分专项训练1.3 数列-常规型（解析版）.docx

《2021届新高考数学解答题挑战满分专项训练1.3 数列-常规型（解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题1.3数列-常规型（1）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2．若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．（2）数列求和的常用方法：①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；③对于结构，利用分组求和法；④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和．（3）数列求和的常用方法：（设数列是等差数列，是等比数列）①公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；②错位相减法：数列的前项和

2、应用错位相减法；③裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；④分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；⑤倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．（4）裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．（5）数列求和的方法技巧①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．③分组求和：

3、用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．1．已知数列的前项和为．（1）证明：数列为等比数列，并求出．（2）求数列的前项和．【试题来源】山东省潍坊市2021届高三一模考试【答案】（1）证明见解析；；（2）．【分析】（1）根据递推关系及等比数列的定义证明；（2）由（1）可得，根据关系求解通项，根据等比数列求和公式计算即可．【解析】（1）由已知，整理得，所以，令，得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；（2）由（1）知，，当时，，当时，，所以所以所以．2．已知分别是等差数列和等比数列，，且．（1）若成等差数列，求的通项公式；（2）当时，证明：．【试题来源】浙江省超级全能

4、生2021届高三下学期3月联考【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）设数列的公差为的公比为，然后根据条件建立方程组求解即可；（2），，然后分、证明即可．【解析】（1）设数列的公差为的公比为由题可得，即，化简得，解得或，因为，即，所以，所以；（2）证明：由已知可得，因为，所以，所以．当时，．因为，所以有；当时，，所以有．综上所述，当，且时，．3．设为数列的前项和，已知，对任意，都有．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为．①求；②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【试题来源】黑龙江省实验中学2020-2021学年高三下学期2月月考试题（线上）【答案】（1）；（

5、2）①；②．【分析】（1）由递推公式，可得时，，两式相减，进而可得结果．（2）①，用裂项相消法可得结果．②由函数的单调性可得时，取最小值，进而可得结果．【解析】（1）因为，当时，，两式相减，得，即，所以当时，，所以．因为，所以．（2）因为，令，，所以．①所以．②因为在上是递减函数，所以在上是递增的，所以当时，取最小值．所以原不等式恒成立可得4．设数列满足，且，．（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和．【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第六次复习检测【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由，变形为，即可证明；（2）由等比数列的通项公式可得，于是，因此

6、，再利用“裂项求和”即可得出．【解析】（1）因为，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列．（2）因为是首项为，公比为3的等比数列．所以，所以，所以，所以，所以．5．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=an+1-1．（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足2bn+1+Sn+1=2bn+2an，证明数列{an+bn}为等差数列，并求其公差．【试题来源】安徽省江南十校2021届高三下学期3月一模联考【答案】（1）；（2）证明见解析，公差为．【分析】（1）根据Sn=an+1-1，利用数列通项与前n项和的关系求解．（2）由Sn=an+1-1，得．与2bn+1+S

7、n+1=2bn+2an，化简得到求解．【解析】（1）当时，由Sn=an+1-1，得，两式相减得即因为所以．综上是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由Sn=an+1-1，得，又2bn+1+Sn+1=2bn+2an，所以即，所以是以为公差的等差数列．6．已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项．（1）求的通项公式；（2）设数列满足，且的前项和为，求证．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨第三中学2020-2021学年高三下学期第一次模拟【答案】