2021年高考新数学解答题挑战满分专项训练2.9 导数-极值、最值问题（理）解析版.docx

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1、专题2.9导数-极值、最值问题1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是，且在x0左侧与右侧的符号不同．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．2．利用导数求解函数最值的思路（1）若所给的闭区间不含参数，则只需对求导，并求在区间内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（2）若所给的区间含有参数，则需对求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．3．用导数求函数的单调区间或判断函数的

2、单调性问题时应注意如下几方面：（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用．4．对于极值点偏移问题，处理类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：（1）求导确定的单调性，得到的范围；（2）构造函数，求导后可得恒正或恒负；（3）得到与的大小关系后，将置换为；（4）根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论．1．设函数f(x)＝

3、[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线与x轴平行，求a；（2）若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．【试题来源】【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义分层训练【答案】（1）1；（2）．【分析】（1）利用导数的几何意义可得，即可得答案；（2）利用极值的定义对分、两种情况进行讨论．【解析】（1）因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以，，由题设知，即(1－a)e＝0，解得a＝1，此时f（1）＝3e≠0．所以a的值为1；（2）若，则当时，；当时，所以f(x

4、)在x＝2处取得极小值；若，则当时，，ax－1≤x－1<0，所以，所以2不是f(x)的极小值点，综上可知，a的取值范围是．2．已知函数，，是的导函数．（1）若，求函数的最小值；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．【试题来源】甘肃省2021届第二次高考诊断【答案】（1）；（2）．【分析】（1）当时求出，设，利用的单调性可得答案；（2）设，利用的单调性求得最小值，由已知只需可得答案．【解析】（1）当时，的定义域为，故，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，有最小值，所以．（2）因，设，则，由（1）可知的最小值是，要使在上单调递增

5、，只需，所以，故的取值范围为．【名师点睛】本题考查了求函数的最小值及求参数的取值范围的问题，解题的关键点是利用导数判断函数的单调性求最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力．3．已知函数，．（1）证明：；（2）若时，恒成立，求实数a的取值范围；（3）求的最小值．【试题来源】湖南省长郡十五校2021届高三下学期第二次联考【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1．【分析】（1）由条件转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明恒成立；（2）不等式转化为，根据（1）可知时，不等式成立，当时，不成立，即不等式不恒成立，即可得结论；（3）先求，再设函数，

6、利用导数，判断函数的单调性，求函数的最小值．【解析】（1）因为，所以证明即证明即证明．设，所以，所以时，单调递增；时，单调递减．所以，所以即成立．（2）时，即，由（1）知，当时，成立，当时，显然时不成立，综上，．（3）．设，，所以在上单调递增，因为，，所以存在使，且时即，递减；时即，递增，所以，因为，所以，所以，所以，因为在是单调递增，所以，所以，所以．【名师点睛】本题考查利用导数证明不等式，以及求函数的最小值，本题的关键是第三问再求得函数的最小值是，利用求得．4．已知函数，，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）设函数，当

7、时，求在区间上的最小值．【试题来源】北京市通州区2021届高三年级一模【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在内单调递减，在内单调递增；（3）．【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程即可；（2）求导判断导函数的正负进而得到原函数的单调性；（3）利用导数判断原函数的单调性，最后求出最小值．【解析】（1）因为，所以．所以，．所以曲线在点处的切线方程为．（2）因为，定义域为，所以．①当时，．所以在上单调递增．②当时，令，得，所以当时，与在上的变化情况如下：极小值所以在内单调递减，在内单调递增．由①②可知，当时，在上单调递增．当时，在内

8、单调递减，在内单调递增（3）因为，所以，所以．令，所以．所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增．所以．因为，所以．所以在区间上单调递增．所以．所以当