第三章-线性方程组的解法上-1.ppt

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1、1在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性方程组。这些方程组的系数矩阵大致分为两种：(1)低阶稠密矩阵（通常阶数≤150）(2)大型稀疏矩阵（即矩阵阶数高且零元素较多）3.1引例及问题综述3.1.1引例P161引例1:电路问题（电网络)3.1.2问题综述线性方程组2克莱姆（Cramer）法则：如果，则方程组有唯一解用这种方法解一个n元方程组,要算n+1个n阶行列式的值，总共需要(n+1)n!(n-1)次乘法。当n较大时，计算量相当惊人。如：n=20时，(n+1)n!(n-1)≈9.7*1020工作量太大，不适用在计算机上求解

2、高维方程组。4直接法就是经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解某些大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。线性方程组的数值解法一般分为直接法和迭代法两类。5迭代法基本思想与解一元非线性方程的迭代法类似。从任意给定的初始近似解向量出发，按照某种方法逐步生成近似解序列，使解序列的极限为方程组的解。迭代法就是用某种极限过程去逐步逼

3、近线性方程组精确解的方法，可以用有限步运算算出具有指定精确度的近似解。迭代法主要有：雅可比（Jacobi)迭代法；高斯-赛德尔（Gauss-Seidel)迭代法。迭代法具有需要计算机的存贮单元较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛性及收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。63.2线性方程组的直接解法有3种方程的解可以直接求出：①n次运算②(n＋1)n/2次乘除运算对角矩阵下三角矩阵回代过程③(n＋1)n/2次乘除运算消元法就是对方程组做些等价的变换

4、，变为我们已知的3种类型之一，而后求根上三角矩阵回代过程8对方程组，作如下的变换，解不变①交换两个方程的次序②一个方程的两边同时乘以一个非0的数③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程对应的对增广矩阵(A,b)，作如下的变换，解不变①交换矩阵的两行②某一行乘以一个非0的数③某一个乘以一个非0数，加到另一行（同解变换）（矩阵的初等行变换）93.2.1高斯消去法的基本思想高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由它改进、变形得到的选主元素消去法、三角分解法仍然是目前计算机上常用的有效方法。思路首先将A化为上三角阵，再回代求解

5、。=10例1用高斯消去法解方程组解第1步：将方程（1）乘上（-3/2）加到方程（2）上去，将方程（1）乘上（-1/2）加到方程（3）上去，则得到与原方程组等价的方程组3.2.1高斯消去法的基本思想（续）P163（消元x1）11其中方程（4），（5）已消去了未知数x1。第2步：将方程（4）乘上2加到方程（5），消去（5）式中未知数x2，得到与原方程组等价的三角形方程组3.2.1高斯消去法的基本思想（续）（消元x2）123.2.1高斯消去法的基本思想（续）最后由上述方程组，用回代的方法，即可求得原方程组的解。x3=0，x2=1，x1=-1/

6、2这种求解过程，称为具有回代的高斯消去法。13用高斯消去法解方程组的基本思想是用矩阵行的初等变换将系数矩阵A约化为具有简单形式的矩阵（如：上三角阵），而三角形方程组是很容易解的——（回代）3.2.1高斯消去法的基本思想（续）增广矩阵14通常把这种按照先消元，再回代两个步骤求解线性方程组的方法称为高斯（Gauss)消去法。3.2.2高斯消去法的算法构造设有n个未知数的线性方程组(3.1)15引进记号(3.1)可用矩阵形式表示(3.2)为了讨论方便，记，假设A为非奇异矩阵（即设det(A)≠0）。3.2.2高斯消去法的算法构造（续）满秩矩阵

7、，有唯一解16第1步（k=1）：设计算乘数：用mi1乘上第一个方程，加到第i（i=2，…，n）个方程上去（即施行行的初等变换Ri←Ri+mi1*R1，i=2，…，n），消去第2个方程～第n个方程的未知数x1，得到等价方程组3.2.2高斯消去法的算法构造（续）(1)消元过程17记为:A(2)x=b(2)；其中3.2.2高斯消去法的算法构造（续）183.2.2高斯消去法的算法构造（续）第2步（k=2）：对线性方程组(3.3)中的第2，3，…，n个方程组成的n-1元方程组做类似于第1步的处理，消去除第一个方程之外的变元x2，得到第2步消元后的

8、线性方程组19式中20第k步：（k=1，2，…，n-1）继续上述消去过程，设第1步～第k-1步计算已经完成，得到与原方程组等价的方程组记为A(k)x=b(k)；现进行第k步消元计算，设，计算乘数用（mik）