03第三章 线性方程组的解法.ppt

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1、理论上:只要,就可用克莱姆法则求出唯一解,第三章线性方程组的解法设有即其中实际上:当n较大时,1.计算量太大;2.舍入误差太大.两种算法:1.精确法,2.迭代法.§3.1引言1※附录一用克莱姆法则的计算量计算n个未知数线性方程组需:1.计算n+1个n阶行列式每个行列式展开式有n!项每一项有n个数相乘,要进行n-1次乘法乘法次数:(n+1)n!(n-1)2.n=20时乘法次数:S=21×20!×193.用每秒能进行一亿次乘除运算的计算机需用:S/100000000/60/60/24/365≈307815(年

2、)≈30(万年)2§3.2消去法一.简单消去法（2）（1）设令3其中其中（3）4设其中（4）5（5）若，则得6※附录二用消去法的计算量1.消去过程除法次数:乘法次数:2.回代过程乘除次数:3.n=20时总次数7<1>数值太大，造成溢出停机。在简单的消去法中，若二、主元消去法<2>舍入误差太大。8回代取四位小数计算，用简单消去法准确解为例（1）（2）9换一种方法消去(3)(4)回代与准确值接近10讨论其原因：两者相减即先求出的有舍入误差时，后求出的有舍入误差实际解为设准确解为11主元消去法—按取系数绝对值最

3、大的元素（称为主元）作为该步消去的元素。例（略）12§3.3矩阵的LU分解其中若已知——单位下三角阵其中——主对角线元素不为0的上三角阵13此时记则转化为14[定理]设有若A的各阶主子方阵的行列式不为0，即15设二、LU分解法16根据上表求L和U，求法如下表表（P.43）按矩阵乘法规则有下表例1.将进行LU分解（下略）17三、用LU分解法求解方程组例2.利用LU分解求解方程组四、用LU分解求行列式

4、A

5、的值紧凑格式将A进行LU分解A=LU18§3.4迭代法准确解为将（1）改写为写成迭代式则有k012345

6、6…01.62.122.0241.99281.998562.000432…0-1.3-1.06-0.982-0.9964-1.00108-1.000216…趋于准确解。一.方法介绍（1）例119若将（1）改写为写成迭代式k0123…08.66737.335-109.126…04.0000-17.668-84.358…不趋于准确解。20即改写为二、迭代收敛的条件设有AX=b（2）21或写成其中将改成迭代式即（4）22取初始值，代入（4）可得若存在.则称迭代过程收敛，即为（3）的解，其中否则称迭代发散。23[

7、定理1]则迭代公式，对任意初始值和都是收敛的。[定理2]则迭代公式，对任意初始值和都是收敛的。[定理3]则误差的估计：常用事后误差估计法只要若若设24例2用迭代法求解（精确到五位小数）（下略）25如何将，化为收敛的形式？1、设A是严格的对角线占优阵可将方程写成例：（P.76）三、方程组的变形必有262.A的主对角线元素其余则都很小,可将方程改写为因为都非常小，有可能使，从而迭代过程收敛.例：（P.77）27§3.5塞德尔迭代法迭代法称为塞德尔迭代法，也称为异步迭代法。[定理1]若或则塞德尔迭代法对任意的初

8、始值和都是收敛的。28