2021届新高考数学题核心考点预测第17讲 零点问题（解析版）.docx

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1、第17讲零点问题高考预测一：三次函数零点问题1．已知函数（1）若函数在处取得极值2，求，的值；（2）求试讨论的单调性；（3）若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值．【解析】解：（1），，若函数在处取得极值2，则，解得：；（2），时，令，解得：或，在递增，在，递减，在递增，时，，在递增，时，令，解得：或，在递增，在递减，在，递增；（3）由（2）得：函数有2个极值，分别是：，，则函数有3个零点等价于，或，又，时，或时，，设（a），函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好

2、是，上，（a），在，，上，（a）均恒成立，从而，且，故；此时，，有3个零点，则有2个异于的不等实根，△，且，解得：，综上：．2．已知函数．（1）当为何值时，轴为曲线的切线，（2）用，表示，中的最大值，设函数，，当时，讨论零点的个数．【解析】解：（1）设曲线与轴相切与点，，则，即，，当时，轴为曲线的切线．（2）令，，则，，，由，得，当时，，为增函数；当，时，为减函数，，，①当，即时，有一个零点；②当，即时，有两个零点；③当，即时，有三个零点；④当，即时，有两个零点；⑤当，即时，有一个零点，综上，或时，有

3、一个零点；当或时，有两个零点；当，有三个零点．高考预测二：含超越函数的零点问题3．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解析】证明：（1）的定义域为，，，令，则在恒成立，在上为减函数，又，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；当时，单调递增，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性

4、可知，当，时，单调递减，，单调递增；当时，单调递减，，单调递减．当，时，，，于是，单调递减，其中，．于是可得下表：000单调递减0单调递增大于0单调递减大于0单调递减小于0结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，当，时，，则恒成立，因此函数在，上无零点．综上，有且仅有2个零点．4．已知函数．（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线．【解析】解析：（1）函数．定义域为：，，；，且，在和上

5、单调递增，①在区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，，，，在有且仅有一个零点，②在区间，区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，又（e），，（e），在上有且仅有一个零点，故在定义域内有且仅有两个零点；（2）是的一个零点，则有，曲线，则有；由直线的点斜式可得曲线的切线方程，曲线在点，处的切线方程为：，即：，将代入，即有：，而曲线的切线中，在点，处的切线方程为：，将代入化简，即：，故曲线在点，处的切线也是曲线的切线．故得证．5．已知函数．是自然对数的底数，（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；

6、（2）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．【解析】解：（1）的定义域为所以在，上单调递增．又，所以在区间有唯一零点，即，又，所以在区间有唯一零点．综上所述，有且仅有两个零点．（2）因为，所以点在曲线上．由题设所以直线的斜率．因为曲线在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线的切线．6．已知函数．（1）若函数在处取得极值，求曲线在点，（2）处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．【解析】解：（1）

7、，，由已知有（1），即，所以（经验证成立），切点为，故切线方程为：；（2）的定义域为，，若，则当时，，故在上单调递增，若，则当；当，故在上单调递增，在上单调递减；综上：时，在上单调递增，时，在上单调递增，在上单调递减；（3）证明：，，因为在上递增，在递减，所以在上递增，又，故存在唯一使得，所以在上递减，在，上递增，又，所以在，内存在唯一根，由，得：，又，故是在上的唯一零点，综上，函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．7．已知函数，为常数），且为的一个极值点．（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）

8、若的图象与轴有且只有3个交点，求的取值范围．【解析】解：（1），，又是的一个极值点（2），则．（2）函数的定义域为．由（1）知．．由可得或，由可得．函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，．（3）由（2）可知函数在单调递增，在，单调递减，在单调递增．且当或时，．的极大值为，的极小值为（2）．当充分接近0时，．当充分大时，．要使的图象与轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需（2），即，解得：．8．已知函数，．（Ⅰ）求在区间，上的最大值；（Ⅱ）是否存在实数，使