2021_2022学年新教材高中数学第一章集合的概念1.5.1全称量词与存在量词课后训练巩固提升含解析新人教A版必修第一册.docx

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1、优选1.5.1全称量词与存在量词课后训练巩固提升1.下列命题是全称量词命题的个数是()①任意两个有理数之间都有另一个有理数;②有些无理数的平方也是无理数;③对顶角相等.A.0B.1C.2D.3解析:命题①含有全称量词,而命题③可以叙述为“所有的对顶角都相等”.故有2个全称量词命题.答案:C2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是()A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2D.∀a,b∈R,a

2、2+b2+2ab=(a+b)2解析:全称量词命题含有量词“∀”,故排除A,B,又等式a2+b2+2ab=(a+b)2对全体实数都成立.故选D.-5-/5优选答案:D3.下列命题不是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的是()A.有一个x∈R,使得x2>3成立B.对有些x∈R,x2>3成立C.任选一个x∈R,都有x2>3成立D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立答案:C4.下列命题中,既是真命题又是存在量词命题的是()A.∃x∈R,x2=xB.存在实数x,使x2+1=0C.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0D.

3、菱形的两条对角线相等解析:C,D是全称量词命题,A,B是存在量词命题,由于x2+1=0无解,故B为假命题,对于A,当x=1时,x2=x成立.答案:A5.若存在x∈R,使x2+2x+a<0,则实数a的取值X围是()A.a<1B.a≤1C.-10,解得a<1,故实数a的取值X围是a<1.答案:A6.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表示为. 答案:∃x<0,(1+x)(1-9x)

4、>07.给出下列四个命题:①∀x∈R,x2+2>0;②∀x∈N,x4≥1;③∃x∈Z,x3<1;④∃x∈Q,x2=3.其中是真命题的是.(填序号) 解析:①因为∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0.所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.②因为0∈N,当x=0时,x4≥1不成立.所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.③因为-1∈Z,当x=-1时,x3<1成立.-5-/5优选所以命题“∃x∈Z,x3<1”是真命题.④因为使x2=3成立的数只有±3,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平

5、方等于3.所以命题“∃x∈Q,x2=3”是假命题.答案:①③8.若命题“∃x∈R,使得x2+2x-3m=0”为真命题,则实数m的取值X围是. 解析:由题意知Δ=4-4×(-3m)=4+12m≥0,解得m≥-13.答案:m≥-139.用符号“∀”或“∃”表示下列命题,并判断真假:(1)实数的平方大于或等于0;(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立;(3)勾股定理.解:(1)是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.∀x∈R,x2≥0.是真命题.(2)∃x∈R,y∈R,2x-y+1<0,是真命题.如x=0,y=2时

6、,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.-5-/5优选(3)是全称量词命题,所有直角三角形都满足勾股定理,即∀Rt△ABC,a,b为直角边长,c为斜边长,a2+b2=c2,是真命题.10.已知命题p:∀x∈R,x2-2x+a≥0,命题q:∃x∈R,x2+x+2a-1=0,若p为真命题,q为假命题,某某数a的取值X围.解:x2-2x+a=(x-1)2+a-1,若p是真命题,则a-1≥0,即a≥1.若q为假命题,则Δ=1-4×(2a-1)=5-8a<0,即a>58.故a≥1.所以实数a的取值X围为a≥1.-5-/5