流形与微分几何初步 - 梅加强

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1、流形与几何初步梅加强著⃝c2006-2010前言i前言“流形”是英文单词Manifold的中文译名,它源于德文术语Mannigfaltigkeit,最早出现在Riemann1851年的博士论文中,用来表示某种属性所能取到的所有值.Poincar´e在发明代数拓扑时实际上已经研究了流形的许多具体例子,但流形的内在定义是Weyl1912年在其关于黎曼曲面的著作中给出的,黎曼曲面即是2维的定向流形.现在被人们所广泛采用的微分流形的定义是Whitney1936年提出的,Whitney的工作大大加深了人们对于流形的认识,基于流形的近代几何学、拓扑学等由此迅速发展起来.本书是在作者多年讲课讲稿的基础

2、上修改而成，书中并附有许多习题，它们是本书的不可或缺的补充。目录前言i第一章微分流形11.1流形的定义和例子.............................11.2子流形....................................91.3单位分解..................................181.4切空间和切映射..............................251.5Sard定理及应用..............................331.6Lie群初步................................

3、.43第二章流形上的微积分532.1切丛和切向量场..............................532.2可积性定理及应用.............................652.3向量丛和纤维丛..............................742.4张量丛....................................842.5微分形式..................................932.6带边流形..................................1092.7Stokes积分公式............

4、..................114第三章流形的几何1233.1度量回顾..................................1233.2联络.....................................1303.3曲率.....................................1423.4联络和曲率的计算.............................1513.4.1活动标架法.............................1513.4.2正规坐标..............................1563.5子

5、流形几何.................................1623.5.1第二基本形式............................1623.5.2活动标架法.............................1643.5.3极小子流形.............................1673.5.4黎曼淹没..............................1753.6齐性空间..................................1803.6.1Lie群和不变度量.........................180iii

6、iv目录3.6.2齐性空间..............................1843.6.3对称空间..............................1883.7Gauss-Bonnet公式.............................1963.8Chern-Weil理论..............................196第四章流形与上同调1974.1Poincar´e引理................................1974.2同伦不变性.................................1974.3Hodg

7、e定理.................................1974.4进一步的例子................................1974.5示性类和指标公式.............................1974.6层的上同调.................................197第五章流形上的椭圆算子1995.1Sobolev空间......................