《流形与微分几何初步 - 梅加强》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
流形与几何初步梅加强著⃝c2006-2010 前言i前言“流形”是英文单词Manifold的中文译名,它源于德文术语Mannigfaltigkeit,最早出现在Riemann1851年的博士论文中,用来表示某种属性所能取到的所有值.Poincar´e在发明代数拓扑时实际上已经研究了流形的许多具体例子,但流形的内在定义是Weyl1912年在其关于黎曼曲面的著作中给出的,黎曼曲面即是2维的定向流形.现在被人们所广泛采用的微分流形的定义是Whitney1936年提出的,Whitney的工作大大加深了人们对于流形的认识,基于流形的近代几何学、拓扑学等由此迅速发展起来.本书是在作者多年讲课讲稿的基础上修改而成，书中并附有许多习题，它们是本书的不可或缺的补充。 目录前言i第一章微分流形11.1流形的定义和例子.............................11.2子流形....................................91.3单位分解..................................181.4切空间和切映射..............................251.5Sard定理及应用..............................331.6Lie群初步.................................43第二章流形上的微积分532.1切丛和切向量场..............................532.2可积性定理及应用.............................652.3向量丛和纤维丛..............................742.4张量丛....................................842.5微分形式..................................932.6带边流形..................................1092.7Stokes积分公式..............................114第三章流形的几何1233.1度量回顾..................................1233.2联络.....................................1303.3曲率.....................................1423.4联络和曲率的计算.............................1513.4.1活动标架法.............................1513.4.2正规坐标..............................1563.5子流形几何.................................1623.5.1第二基本形式............................1623.5.2活动标架法.............................1643.5.3极小子流形.............................1673.5.4黎曼淹没..............................1753.6齐性空间..................................1803.6.1Lie群和不变度量.........................180iii iv目录3.6.2齐性空间..............................1843.6.3对称空间..............................1883.7Gauss-Bonnet公式.............................1963.8Chern-Weil理论..............................196第四章流形与上同调1974.1Poincar´e引理................................1974.2同伦不变性.................................1974.3Hodge定理.................................1974.4进一步的例子................................1974.5示性类和指标公式.............................1974.6层的上同调.................................197第五章流形上的椭圆算子1995.1Sobolev空间................................1995.2Laplace算子................................1995.3Hodge定理的证明.............................1995.4向量丛上的椭圆算子...........................1995.5Dirac算子.................................1995.6Atiyah-Singer指标公式..........................199附录201附录A.....................................201附录B.....................................201附录C.....................................201参考文献203 第一章微分流形本章给出微分流形的定义,研究流形之间的映射及其线性化.我们列举了许多具体的微分流形的例子,并将Lie群作为重要的例子加以介绍.x1.1流形的定义和例子流形是一种特殊的拓扑空间,是欧氏空间中曲线,曲面的推广.在微积分中,我们曾研究过曲线的弧长,曲面的面积等问题.在古典微分几何中,我们进一步研究了曲线和曲面的“弯曲”性质,发展出了重要的曲率概念.Gauss发现,曲面的曲率实际上只依赖于曲面的第一基本形式,这为将曲面从欧氏空间中抽象出来进行研究提供了很好的动机.此外,Gauss-Bonnet定理将几何量(曲率)和拓扑量联系在一起,从而为用几何手段研究拓扑问题提供了启发.现代微分几何和拓扑学的主要研究对象就是流形.回忆一下,所谓拓扑空间是指一个配对pX,τq,其中X为一个集合,τ也是一个集合,其元素都是X中的子集,并且满足以下条件:p1qH,XPτ;p2qτ中有限个元素之交仍属于τ;p3qτ中任意多个元素之并仍属于τ.这样的τ称为X上的一个拓扑,τ中的元素称为开集.拓扑空间是点集拓扑学或一般拓扑学的主要研究对象,人们研究连续性质以及在连续变换下保持不变的性质.为了研究微分性质,必须对拓扑空间加进一步的限制.在点集拓扑中,具有可数拓扑基的拓扑空间称为A2的,具有Hausdorff性质的拓扑空间称为T2的.定义1.1.1(Cr流形).设M是具有A,T性质的拓扑空间.如果存在M22的开覆盖tUu以及相应的连续映射族φ:UÑRn,使得ααP ααp1qφ:UÑφpUqĂRn为从U到欧氏空间开集φpUq上的同胚;αααααααp2q当UαXUβ‰H时,如下的转换映射φ˝φ´1:φpUXUqÑφpUXUqβαααββαβ为Crprě1q映射,则称M为Cr流形.我们称tUαu或tpUα,φαqu为M的局部坐标覆盖,pUα,φαq为一个局部坐标系,U为局部坐标邻域,φ为局部坐标映射.设pPU,记xippq为φppq的第iαααα个欧氏坐标,xi:UÑR为第i个坐标函数,有时也称txiu“tx1,x2,¨¨¨,xnu为αp附近的局部坐标.定义中的n称为流形M的维数,记为n“dimM,为了强调流形的维数,有时也把M记为Mn.1 2第一章微分流形我们就流形的概念作一些解释:•如果所有的转换映射都只是C0(连续)的,则称M为拓扑流形.当1ďră8时,称M为Cr微分流形.如果转换映射都是无限次可微的,则称M为C8流形或光滑流形.当转换映射都是实解析(记为Cω)时,称M为实解析流形.•设U为M上的开集,φ:UÑRn为连续映射,且φ的像为开集,φ到其像上是同胚.如果φ和φ之间的转换映射均为Cr的,则称pU,φq和局部坐标覆α盖tU,φu是Cr相容的.利用选择公理容易证明,对于任何一个局部坐标覆αα盖tpUα,φαqu,均存在一个包含它的“最大”的局部坐标覆盖D,使得任何与D均Cr相容的局部坐标系pU,φq都含于D之中.我们把这样的D称为拓扑流形M的一个Cr微分构造或微分结构.•存在这样的拓扑流形的例子,该拓扑流形上不存在任何相容的微分构造;另一方面,可以证明(这是微分拓扑学的内容),给定一个Crprě1q微分构造,一定存在一个相容的C8微分构造.为了方便起见,在没有明确说明的情况下,下面的微分流形是指光滑流形.例1.1.1.欧氏空间及其开集.在Rn上取恒同映射id:RnÑRn,则Rn成为微分流形,恒同映射是其(整体)坐标.显然,Rn中的开集也都是n维微分流形;一般地,微分流形的开子集也继承了微分结构成为微分流形.我们把上面所定义的Rn上的微分结构称为标准微分结构.需要注意的是,除了标准的微分结构以外,还存在和标准微分结构不相容的其它微分结构.例如,考虑R1上如下的映射φ:R1ÑR1,φpuq“u3,@uPR1.显然φ为同胚,因此它定义了R1上的一个微分结构,它和标准的微分结构不相容(为什么?).例1.1.2.单位圆周S1.记S1“tpx,yqPR2|x2`y2“1u“teiθ|θPr0,2πsu,则S1为R2的子拓扑空间.令U“teiθ|θPp0,2πqu,U“teiη|ηPpπ,3πqu,11 §1.1流形的定义和例子3则U“S1´tp1,0qu,U“S1´tp´1,0qu,因此S1“UYU.分别在U和U上121212定义映射如下φ:UÑp0,2πqĂR111eiθÞÑθ,φ:UÑpπ,3πqĂR122eiηÞÑη,则φ1和φ2均为同胚,且转换映射´1φ2˝φ1:p0,πqYpπ,2πqÑpπ,2πqYp2π,3πq为$&θ`2π,θPp0,πq,´1φ2˝φ1pθq“%θ,θPpπ,2πq.同理可计算φ˝φ´1,它们均为光滑映射,因此S1为光滑流形.12可以证明,在分类的意义下,R1和S1是仅有的两个连通1维流形.为了给流形分类,我们先引入可微映射的概念.定义1.1.2(Ck映射).设f:MÑN为两个Cr微分流形之间的连续映射,如果任给pPM,以及q“fppqPN附近的任一局部坐标系pV,ψq,均存在p附近的局部坐标系pU,φq,使得fpUqĂV,且f在这两个局部坐标系下的局部表示ψ˝f˝φ´1:φpUqÑψpVq为Ckpkďrq映射,则称f为流形M,N之间的Ck映射.Ck映射的全体记为CkpM,Nq.显然,Ck映射的复合仍为Ck映射.注意,Ck映射的定义虽然用到局部坐标系,但由于流形定义中要求转换映射都是Cr的,故实际上映射的Ck性质不依赖于局部坐标系的选取.我们在以后定义其它对象的时候,如果用局部坐标系来定义,则读者需注意验证该定义是否与局部坐标的选取无关.定义1.1.3(微分同胚).设M,N为Cr微分流形,f:MÑN为同胚映射.如果f及其逆映射f´1均为Cr映射,则称f为Cr微分同胚,或简称微分同胚.当我们不加申明的时候,光滑流形之间的微分同胚指的是光滑的微分同胚.我们不区分微分同胚的流形.特别地,在同一个拓扑流形上,如果两个微分结构定义 4第一章微分流形出的微分流形是微分同胚的,则我们称这两个微分结构等价,我们不区分等价的微分结构.作为习题,读者可证明上面第一例中R1上的两个微分结构是等价的.一般地,Moise等证明了维数不超过3的拓扑流形上存在惟一的一个微分结构.后来,Milnor发现在7维球面上存在不同于标准微分结构的微分结构,这个结果当时在数学界引起了不小的轰动.进一步的研究表明在7维球面上一共存在28个不同的微分结构,它们组成一个有限循环群.人们也早就发现,除了R4以外,欧氏空间上的微分结构都是惟一的.后来,由于Freedman和Donaldson等人的工作,人们发现在4维欧氏空间上甚至存在不可数多个不同的微分结构.设tpUα,φαqu为微分流形M的局部坐标覆盖.用分量表示转换映射如下φ˝φ´1pxq“py1,y2,¨¨¨,ynq,βα其中x“px,x,¨¨¨,xqPφpUXUq,yi是关于xj的函数p1ďi,jďnq.记转12nααβ换映射φ˝φ´1的Jacobian为βα´i¯´1ByJpφβ˝φαq“j,BxnˆnJacobian的行列式记为Bpy1,y2,¨¨¨,ynqdetJpφ˝φ´1qppq“pφppqq,pPUXU.βαBpx1,x2,¨¨¨,xnqααβ在多元微积分中,曲线和曲面上的第二型积分都涉及重要的概念:“定向”.对于微分流形,我们将从不同的角度来介绍这个重要的概念.定义1.1.4(可定向流形).设M为微分流形,如果存在M的局部坐标覆盖tpU,φqu,使得当UXU‰H时,detJpφ˝φ´1qą0,则称流形M是可定αααP αββα向的,tpUα,φαqu为一个定向坐标覆盖.如果不存在任何定向坐标覆盖,则称流形M是不可定向的.前面两个例子中的欧氏空间和单位圆周都是可定向的微分流形.下面我们再来看一些流形的例子.例1.1.3.n维环面Tn.两个微分流形的乘积仍为微分流形,因此Tn“S1ˆS1ˆ¨¨¨ˆS1(n个S1之积)为n维微分流形,并且是可定向流形,称为n维环面.例1.1.4.n维球面Sn.记nÿ`1Sn“tpx1,x2,¨¨¨,xn`1q|pxiq2“1u.i“1 §1.1流形的定义和例子5Sn为Rn`1中的子拓扑空间.令U“Sn´tp0,0,¨¨¨,´1qu,U“Sn´tp0,0,¨¨¨,1qu.12显然,Sn“UYU.映射φ:UÑRn和φ:UÑRn分别定义如下121122x1x2xnφpx1,x2,¨¨¨,xn`1q“p,,¨¨¨,q,11`xn`11`xn`11`xn`1x1x2xnφpx1,x2,¨¨¨,xn`1q“p,,¨¨¨,q.21´xn`11´xn`11´xn`1容易看出φ和φ均为同胚,并且转换映射φ˝φ´1:Rn´t0uÑRn´t0u为1221y1y2ynφ˝φ´1py1,y2,¨¨¨,ynq“př,ř,¨¨¨,řq.21npyiq2npyiq2npyiq2i“1i“1i“1因此φ˝φ´1为光滑映射,同理φ˝φ´1为光滑映射.这说明,Sn为n维光滑流2112形.不难验证它是可定向的紧致连通流形.例1.1.5.n维实投影空间RPn.记RPn“pRn`1´t0uq{s,其中,等价关系s定义如下x,yPRn`1´t0u,xsyðñ存在非零实数λ使得x“λ¨y.即商空间RPn中的点可以看成经过原点的Rn`1中的直线.记x的等价类为rxs,定义投影映射π:Rn`1´t0uÑRPn为πpxq“rxs.RPn商的拓扑定义为商拓扑,即V为RPn中开集ðñπ´1pVq为Rn`1´t0u中开集.RPn也可以看成Sn的商空间:RPn“Sn{s,其中xsy当且仅当y“´x.容易看出,在商拓扑下,RPn为A和T的.下面22我们说明RPn上有自然的微分流形结构.为此,对k“1,2,¨¨¨,n`1,令U“trxsPRPn|x“px1,x2,¨¨¨,xn`1q,xk‰0u,k 6第一章微分流形nn`1n由等价关系的定义知Uk是定义好的开集,并且RP“YUk.映射φk:UkÑRk“1定义为φprxsq“px1{xk,x2{xk,¨¨¨,xk´1{xk,xk`1{xk,¨¨¨,xn`1{xkq.k由等价关系的定义知φk是定义好的同胚映射.当k‰l时,UkXUl‰H.为了计算转换映射,记xi{xj为ξi,则jφ˝φ´1pξ1,¨¨¨,ξk´1,ξk`1,¨¨¨,ξn`1q“pξ1,¨¨¨,ξl´1,ξl`1,¨¨¨,ξn`1q,lkkkkkllll因为xhxlξh“xh{xl“pq{pq“ξh{ξl,h‰l,k,lxkxkkkxlξk“xk{xl“1{pq“pξlq´1,lxkk故转换映射均为光滑映射,这说明RPn为光滑流形.可以证明,当n为奇数时,RPn为可定向流形;当n为偶数时,RPn为不可定向流形.RPn称为n维实投影空间,当n“2时,也称RP2为实投影平面.例1.1.6.流形的连通和.设M1和M2均为n维微分流形,取p1PM1,p2PM2,分别在M1和M2上取p1附近的局部坐标系pU1,φ1q和p2附近的局部坐标系pU2,φ2q,使得φ1pp1q“φ2pp2q“0,且ÿnφpUq“φpUq“Bp0q“txPRn|pxiq2ă4u.11222i“1记11ÿnAp,2q“txPRn|ăpxiq2ă4u,24i“1并令V“φ´1pAp1,2qq,V“φ´1pAp1,2qq.考虑映射11222211ÿnϕ:Ap,2qÑAp,2q,ϕpxq“xrpxiq2s´1,22i“1´1ϕ为微分同胚,因而映射φ2˝ϕ˝φ1:V1ÑV2也是微分同胚.商空间ž´1´1M1´φ1pB1p0qqM2´φ2pB1p0qq{s22´1是通过粘接映射φ2˝ϕ˝φ1定义的,即´1xPM1,yPM2,xsyðñxPV1,yPV2,y“φ2˝ϕ˝φ1pxq. §1.1流形的定义和例子7通过这个办法我们得到了一个新的微分流形,并且在微分同胚的意义下其微分结构不依赖于坐标邻域的选取,记为M1#M2,称为M1和M2的连通和.不难证明,M#M与M#M微分同胚,Mn#Sn与Mn自身微分同胚.1221特别地,任给gě1,g个2维环面T2的连通和仍为2维紧致连通流形,g个投影平面RP2的连通和也是2维紧致连通流形.可以证明,加上2维球面,这些就是所有的2维紧致连通流形了,有时又称它们为曲面或2维曲面.本节最后我们来介绍什么是流形的定向以及定向和流形连通性的关系.首先有如下简单的引理:引理1.1.1.连通的拓扑流形必为道路连通的.证明.设M为连通的拓扑流形.@pPM,令Cp“tqPM|存在一条道路连接p和qu.因为pPCp,故Cp非空.又由于拓扑流形局部上和欧氏空间同胚,即是局部道路连通的,因此Cp为非空开集.按照定义易见,当p‰q时,要么Cp“Cq,要么CpXCq“H.因此,如果ŤCp‰M,则M´Cp“Cq也是开集,这和M的连通性相矛盾.这说明Cp“M,qRCp@pPM.因此M是道路连通的.设M为微分流形,如果M的两个局部坐标系pUα,φαq,pUβ,φβq满足detJpφ˝φ´1qppqą0,@pPUXU,βααβ则称这两个局部坐标系是同向的.和前面微分结构的定义类似,我们有如下定向的定义.定义1.1.5(定向).设M为可定向微分流形,D为一个定向坐标覆盖.如果任何一个与D中局部坐标系都同向的局部坐标系均包含于D内,则称D为M的一个定向.由选择公理可知,任给M的一个定向坐标覆盖,总存在一个包含此坐标覆盖的“最大”定向坐标覆盖,即定向.定向这个概念很早就被数学家所意识到了,但直到Poincar´e发明代数拓扑的时候才被大家真正认识清楚.在学习多元函数积分的时候我们曾用“左手法则”或“右手法则”来决定定向.代数拓扑学的发展告诉我们,定向实际上是一个拓扑的性质(即流形是否可定向与微分结构无关),它由第一Stiefel-Whitney示性类决定.我们在后面将从另外的角度来重新解释定向这个概念.例1.1.7.Rn上的不同定向. 8第一章微分流形考虑Rn上如下坐标映射ρ:RnÑRn:ρpxq“px1,x2,¨¨¨,xn´1,´xnq,pRn,ρq是Rn的一个定向坐标覆盖,它决定的定向和由恒同映射决定的定向不同.一般地,如果tpUα,φαqu是流形M的一个定向坐标覆盖,则tpUα,ρ˝φαqu也是定向坐标覆盖,它们决定了两个不同的定向.引理1.1.2.连通的可定向微分流形恰好有两个定向.证明.设D为可定向流形M的一个定向.根据上面的讨论,坐标反射ρ决定了另一定向,记为D´.现设D˜为M的另一定向,我们来定义函数f:MÑR.任给pPM,则存在局部坐标系pU,φqPD和pV,ψqPD˜,使得pPUXV.令fppq“detJpψ˝φ´1qppq|detJpψ˝φ´1qppq|´1.由于D和D˜均为定向,故fppq与局部坐标的选取无关,是M上定义好的局部常值函数.如果M是连通的,则f为常值函数,从而f”1或f”´1.当f”1时D˜“D;当f”´1时,D˜“D´.推论1.1.3.设D为流形M的一个定向,pU,φq为M的一个局部坐标系.如果U连通,则要么pU,φqPD,要么pU,φqPD´.习题1.11.如果M,N均为Cr流形,则MˆN也是Cr流形,且dimMˆN“dimM`dimN.2.证明,在本节第一例中,R1上的两个不相容微分构造定义出的微分流形是微分同胚的.3.按照定义说明微分流形的局部坐标映射实际上是从坐标邻域到其像的微分同胚.4.证明,微分同胚的流形具有相同的维数.5.证明微分流形转换映射的Jacobian行列式在定义域内是处处非零的.6.证明,如果流形M,N均可定向,则MˆN也是可定向流形;反之,如果MˆN可定向,则M和N都是可定向的. §1.2子流形97.通过计算转换映射的Jacobian行列式证明n维球面都是可定向的微分流形.8.证明,如果微分流形被两个局部坐标邻域所覆盖,并且它们的交集连通,则该流形必定是可定向的.9.将上一题推广至三个坐标邻域,此时如何判断流形是否可定向?更多的坐标邻域呢?10.证明奇数维的实投影空间是可定向的微分流形,并证明投影平面不可定向.11.证明,可定向微分流形的连通和仍可定向;不可定向情形如何?x1.2子流形前一节我们按照定义列举了微分流形的一些例子.为了得到更多的例子,我们来研究流形之间的映射,其中一个重要的工具就是逆映射定理.我们先看一个简单的例子.例1.2.1.可逆线性映射.考虑线性映射A:RnÑRn.从线性代数我们知道,A可逆ðñdetA‰0ðñA为单射.从微分流形的角度,我们也可以说A是微分同胚当且仅当A是满秩的.2Rn到自身的线性映射可用矩阵表示,矩阵可看成Rn中的元素,因而可以定义范数.如果B:RnÑRn为线性映射,范数}B}ă1,则I´B可逆,其中I为nn单位矩阵.事实上,设pIn´Bqx“0,则}x}“}Bx}ď}B}}x},p1´}B}q}x}ď0.即x“0,In´B为单射,从而为线性同构.定义1.2.1(映射的秩).设f:MÑN为两个微分流形之间的Ck(kě1)映射,pPM,q“fppqPN.分别取p附近的局部坐标系pU,φq以及q附近的局部坐标系pV,ψq,令rankf“rankJpψ˝f˝φ´1qpφppqq,p称为f在p处的秩.请读者自行验证上述映射秩的定义与局部坐标系的选取无关,是定义恰当的量.下面的定理本质上就是多元函数的反函数定理. 10第一章微分流形定理1.2.1(逆映射定理).设f:MnÑNn为微分流形之间的Ckpkě1q映射,且rankpf“n.则存在p的开邻域U和q“fppq的开邻域V,使得f|:UÑV为Ck的微分同胚.U证明.因为要证明的是局部结果,我们不妨假设Mn“Nn“Rn,p“q“0.通过复合一个可逆的线性映射,我们也不妨假设f在原点的Jacobian为单位矩阵,即Jfp0q“In.这时,在原点附近f是恒同映射的小扰动,扰动项可定义为g:RnÑRn,gpxq“fpxq´x,xPRn.由Jgp0q“0知存在ϵą0,使得1}Jgpxq}ď,@xPBϵp0q.2由多元向量值函数的拟微分平均值定理,有1}gpx1q´gpx2q}ď}Jgpξq}}x1´x2}ď}x1´x2},@x1,x2PBϵp0q.2设yPBϵp0q,我们来解方程2fpxq“y,xPBϵp0q.(1.1)这等价于在Bϵp0q中寻求gypxq“x`y´fpxq的不动点.我们利用压缩映像原理来找不动点.首先有ϵ1}gypxq}ď}y}`}gpxq}ă`}x}ďϵ,@xPBϵp0q.(1.2)22这说明gypBϵp0qqĂBϵp0q.映射gy:Bϵp0qÑBϵp0qĂBϵp0q为压缩映射:1}gypx1q´gypx2q}“}gpx2q´gpx1q}ď}x1´x2},@x1,x2PBϵp0q.2从而(1.1)在B¯ϵp0q中有惟一的解,记为xy.由(1.2)知xyPBϵp0q.´1记U“fpBϵp0qqXBϵp0q,V“Bϵp0q.则上面的论述表明,f|U:UÑV为22一一的Ck映射,其逆hpyq“x满足方程yy´gphpyqq“hpyq.(1.3)我们有p1qh:VÑU为连续映射:当y1,y2PV时}hpy1q´hpy2q}ď}y1´y2}`}gphpy1qq´gphpy2qq}1ď}y1´y2}`}hpy1q´hpy2q}.2 §1.2子流形11从而}hpy1q´hpy2q}ď2}y1´y2},即h为Lipschitz连续映射.p2qh:VÑU为可微映射:设y0PV,则对yPV有hpyq´hpy0q“py´y0q´rgphpyqq´gphpy0qqs“py´y0q´Jgphpy0qq¨phpyq´hpy0qq`op}hpyq´hpy0q}q.由p1q就得到rIn`Jgphpy0qqs¨phpyq´hpy0qq“py´y0q`op}y´y0}q,即hpyq´hpyq“rI`Jgphpyqqs´1¨py´yq`op}y´y}q.0n000p3qh:VÑU为Ck映射.事实上,由p2q知Jhpyq“rI`Jgphpyqqs´1“rJfphpyqqs´1,@yPV.n0由f为Ck映射及上式可依次提升h的可微次数,最后就知道h为Ck映射.我们将利用逆映射定理来研究一些特殊映射的局部性态.定义1.2.2(浸入,嵌入和淹没).设f:MmÑNn为微分流形之间的Ckpkě1q映射.如果rankf”m,@pPM,则称f为Ck浸入pimmersionq;如果fp为Ck浸入,且f是从M到其像fpMq上的同胚,则称f为Ck嵌入pembeddingq;如果rankf”n,@pPM,则称f为Ck淹没psubmersionq.p当我们不强调映射的可微次数时,通常简称上述几种映射分别为浸入,嵌入和淹没.下面我们来举几个例子.例1.2.2.不是单射的浸入.考虑映射f:R1ÑR2,fptq“pcost,sintq,tPR1.易验证rankf”1,因此f为光滑浸入.显然,fpR1q“S1,f不是单射,因此不是嵌入.例1.2.3.单浸入,但不是嵌入的例子.考虑映射f:R1ÑR2,t3`tt3´tfptq“p,q,tPR.t4`1t4`1f为单射,且rankf”1.因此f为一个单浸入,但它也不是嵌入,因为fpR1q为R2中的双纽线px2`y2q2“x2´y2,双纽线为紧致子集. 12第一章微分流形例1.2.4.环面的嵌入.考虑映射f:T2“S1ˆS1ÑR3,fpeiθ,eiϕq“ppa`bcosϕqcosθ,pa`bcosϕqsinθ,bsinϕq,θ,ϕPr0,2πs.f为光滑嵌入,其像为R3中的轮胎面.例1.2.5.标准嵌入.设mďn,考虑映射f:RmÑRn,fpx1,x2,¨¨¨,xmq“px1,x2,¨¨¨,xm,0,0,¨¨¨,0q.显然f为光滑嵌入.例1.2.6.标准淹没.设měn,考虑映射f:RmÑRn,fpx1,x2,¨¨¨,xmq“px1,x2,¨¨¨,xnq.显然f为光滑淹没.定理1.2.2(浸入的局部标准型).设f:MmÑNn为微分流形之间的浸入.则对任意pPM,存在p附近的局部坐标系pU,φq以及q“fppq附近的局部坐标系pV,ψq,使得f的局部表示ψ˝f˝φ´1:φpUqÑψpVq形如例1.2.5中的映射,即ψ˝f˝φ´1px1,x2,¨¨¨,xmq“px1,x2,¨¨¨,xm,0,0,¨¨¨,0q.证明.因为要证明的是一个局部的结果,如同逆映射定理的证明那样,不妨设M“Rm,N“Rn,p“0,q“0.用分量形式表示映射f为fpxq“pfpx1,x2,¨¨¨,xmq,fpx1,x2,¨¨¨,xmq,¨¨¨,fpx1,x2,¨¨¨,xmqq.12n由假设,矩阵´¯BfiBxj1ďiďn1ďjďm秩为m.通过调整坐标次序,我们可以假设矩阵´¯BfiBxj1ďiďm1ďjďm在0处非退化.定义映射g:RnÑRn如下gpx1,x2,¨¨¨,xnq“pf,f,¨¨¨,f,f`xm`1,f`xm`2,¨¨¨,f`xnq.12mm`1m`2n §1.2子流形13在0处g的Jacobian形如»´¯fiBfi–Bxj0flmˆm˚In´m11因而在原点处非退化.由逆映射定理,存在原点的开邻域U及V,使得g|U1:UÑ1nV为微分同胚.记g|U1之逆为ψ:VÑU,则pV,ψq为0PR附近的局部坐标系.令U“tpx1,x2,¨¨¨,xmqPRm|px1,x2,¨¨¨,xm,0,0,¨¨¨,0qPU1u,则U为0PRm的局部坐标邻域,于是f|:UÑV有如下局部表示:Uψ˝f:UĂRmÑU1ĂRnpx1,x2,¨¨¨,xmqÞÑψpf,f,¨¨¨,fq“px1,x2,¨¨¨,xm,0,0,¨¨¨,0q.12n这就证明了我们所要的结果.由浸入映射的局部标准型立即得到如下推论推论1.2.3.微分流形之间的浸入映射在局部上必为嵌入.类似地,我们也可以得到淹没的局部标准型.定理1.2.4(淹没的的局部标准型).设f:MmÑNn为微分流形之间的淹没.则对任意pPM,存在p附近的局部坐标系pU,φq以及q“fppq附近的局部坐标系pV,ψq,使得f的局部表示ψ˝f˝φ´1:φpUqÑψpVq是标准的淹没,即ψ˝f˝φ´1px1,x2,¨¨¨,xmq“px1,x2,¨¨¨,xnq.这个定理的证明同样是应用逆映射定理,我们留给读者完成(可参考下面关于常秩映射的内容),这里仅罗列一个可以立即得到的推论.推论1.2.5.微分流形之间的淹没映射必为开映射,即将开集映为开集.定义1.2.3(子流形).设M,N为微分流形,作为集合,MĂN.如果包含映射i:MÑN为浸入,则称M为N的浸入子流形或子流形;如果包含映射i:MÑN为嵌入,则称M为N的正则子流形.我们要特别提醒读者注意的是,浸入子流形的拓扑一般来说不是从母流形诱导而来的,比如在例1.2.2中我们可以视双纽线为平面R2的浸入子流形,但其拓扑不是R2的子拓扑.引理1.2.6.设M,N为微分流形,f:MÑN为单的浸入映射.在fpMq上通过f定义一个微分结构,使得f:MÑfpMq为微分同胚,则fpMq为N的浸入子流形.如果进一步,f为嵌入,则fpMq为N的正则子流形. 14第一章微分流形证明.记i:fpMqÑN为包含映射.考虑复合映射if:MÑfpMqÝÑN,由于f:MÑfpMq为微分同胚,故i:fpMqÑN为单浸入,从而fpMq为浸入子流形.如果f:MÑN为嵌入,则i:fpMqÑN为嵌入,从而fpMq为正则子流形.根据这个引理,当f:MÑN为单浸入时,我们也称M为N的浸入子流形;而当f:MÑN为嵌入时,我们也称M为N的正则子流形.定理1.2.7(正则子流形的结构).微分流形Mm为Nn的正则子流形ðñM为N的子拓扑空间,且对任意pPM,存在N中含有p的局部坐标邻域U和坐标映射tx1,x2,¨¨¨,xnu,使得MXU“tqPU|xipqq“0,m`1ďiďnu.证明.pùñq设M为N的正则子流形,则包含映射i:MÑN为嵌入.由嵌入的定义即知M的流形拓扑和它从N诱导的子拓扑一致.根据浸入的局部标准型,任给pPM,在M和N上分别存在含p的局部坐标邻域pU1,φq和pV1,ψq,使得U1ĂV1,且ψ˝φ´1:φpUqĂRmÑψpVqĂRn11px1,x2,¨¨¨,xmqÞÑpx1,x2,¨¨¨,xm,0,0,¨¨¨,0q.映射ψ用分量表示为ψpqq“px1pqq,x2pqq,¨¨¨,xnpqqq,qPV.令1U1“tqPV|px1pqq,x2pqq,¨¨¨,xmpqqqPφpUquĂV,111因为M为N的子拓扑空间,故我们可取N中含有p的开邻域UĂU1,使得MXUĂU1.我们把V1上的坐标映射限制到U上作为U上的坐标映射.当qPMXU时,qPU.根据U和V的选取,xipqq“0,m`1ďiďn.即111MXUĂtqPU|xipqq“0,m`1ďiďnu.另一方面,设qPU,且xipqq“0,m`1ďiďn.由UĂU1知px1pqq,x2pqq,¨¨¨,xmpqqqPφpUq.1 §1.2子流形15记q1“φ´1px1pqq,x2pqq,¨¨¨,xmpqqqPU,则1ψpq1q“ψ˝φ´1px1pqq,x2pqq,¨¨¨,xmpqqq“px1pqq,x2pqq,¨¨¨,xmpqq,0,0,¨¨¨,0q“px1pqq,x2pqq,¨¨¨,xmpqq,xm`1pqq,xm`2pqq,¨¨¨,xnpqqq“ψpqq.这说明q“q1PUĂM,即1tqPU|xipqq“0,m`1ďiďnuĂMXU.这就得到了欲证等式的证明.pðùq如果M满足题设,则首先在M取子拓扑,其次把MXU上的局部坐标取为N在U上局部坐标的前m个分量,则容易验证M为微分流形,且M到N的包含映射为嵌入.下面的定理给出了一大类正则子流形的构造方法.定理1.2.8(常秩映射).设f:MmÑNn为微分流形之间的光滑映射.如果存在常数l,使得rankpf“l,@pPM,则对每个固定的qPN,q在f下的原像f´1pqq“tpPM|fppq“qu要么为空集,要么为M的正则子流形,其维数为m´l.证明.记S“f´1pqq,设S不是空集,pPS.我们将证明存在p附近在M上的局部坐标系pU,φq以及q附近在N上的局部坐标系pV,ψq,使得φppq“0PRm,ψpqq“0PRn,fpUqĂV,且f的局部表示ψ˝f˝φ´1:φpUqÑψpVq形如ψ˝f˝φ´1px1,x2,¨¨¨,xmq“px1,x2,¨¨¨,xl,gl`1px1,x2,¨¨¨,xlq,¨¨¨,gnpx1,x2,¨¨¨,xlqq.这个等式的证明和前面浸入映射的标准型的证明类似,不妨设M“Rm,N“Rn,p“0PRm,q“0PRn.f用分量表示为fpx1,x2,¨¨¨,xmq“pfpx1,x2,¨¨¨,xmq,¨¨¨,fpx1,x2,¨¨¨,xmqq.1n由假设,矩阵´¯BfiBxj1ďiďn1ďjďm秩为l.通过调整坐标次序,不妨设矩阵´¯BfiBxj1ďiďl1ďjďl 16第一章微分流形在原点非退化.定义映射g:RmÑRm为gpx1,x2,¨¨¨,xmq“pf,f,¨¨¨,f,xl`1,¨¨¨,xmq.12lg在原点处的Jacobian形如»´¯fiBfi˚–Bxjfllˆl0Im´l因而在原点是非退化的.由逆映射定理,存在0PRm的开邻域U和V使得g|U:UÑV为微分同胚,不妨设V为凸邻域,记g|U为φ,则φ为p“0附近的局部坐标映射.在此局部坐标映射下,f的局部表示f˝φ´1形如f˝φ´1px1,x2,¨¨¨,xmq“px1,x2,¨¨¨,xl,gl`1,¨¨¨,gnq,其中gipl`1ďiďnq为px1,x2,¨¨¨,xmq的函数.由rankJpf˝φ´1q|”l知VBgi“0,@l`1ďiďn,l`1ďjďm.Bxj由V为凸域知gi“gipx1,x2,¨¨¨,xlq,l`1ďiďn.从而有SXU“tsPU|fpsq“0u“tsPU|x1psq“¨¨¨“xlpsq“0,gl`1px1psq,¨¨¨,xlpsqq“¨¨¨“gnpx1psq,¨¨¨,xlpsqq“0u“tsPU|x1psq“¨¨¨“xlpsq“0u由正则子流形的结构定理即知S为M的正则子流形,且维数为m´l.注.由定理的证明知,只要在f´1pqq的某个开邻域内rankf为常数就可以说明f´1pqq为正则子流形.因为矩阵在微扰之下秩不会变小,因此当rankf在f´1pqq上恒为n时,rankf在f´1pqq的开邻域内也恒为n,因而f´1pqq是维数为m´n的正则子流形,此时我们称q为f的正则值.为了方便起见,当f´1pqq为空集时也说q为正则值.例1.2.7.二次型决定的超曲面.设A为非退化的n`1阶实对称矩阵,其二次型定义了一个光滑函数φA:nÿ`1φpx1,x2,¨¨¨,xn`1q“axixj,Aiji,j“1当s‰0时,φ´1psq要么为空集,要么为Rn`1中维数为n的正则子流形(超曲面).A例如,n维球面就可以通过取A为单位矩阵得到. §1.2子流形17例1.2.8.特殊线性群SLpn,Rq.22我们将n阶实方阵看成Rn中的点,n阶实方阵全体M等同于Rn,考虑nˆn函数f:MnˆnÑR,fpAq“detA.根据行列式的定义,f为光滑映射.我们来说明rankf在SLpn,Rq“f´1p1q上秩为1.事实上,记Ep1ďi,jďnq为在pi,jq位ij2置为1,其它位置为0的n阶方阵,E可视为Rn中的一个单位向量,沿E求ijij多元函数f的偏导数如下:ˇBfdˇpAq“ˇdetpA`tEijq“Aij,BEijdtt“0其中Aij是矩阵A在pi,jq位置的代数余子式.因此,如果detA‰0,则上述偏导数不全为零.特别地,f在SLpn,Rq上秩为1,因而SLpn,Rq是维数为n2´1的正则子流形.例1.2.9.一类二维曲面.考虑光滑映射F:R3ÑR,Fpx,y,zq“px2`y2q2`z2.显然,当p‰0时,rankF“1.因此当rą0时,S“F´1pr2q为R3中正则子流形.请读者自行验证pr所有的S都和2维球面S2微分同胚.r习题1.21.叙述隐函数定理,并用逆映射定理证明之.2.双纽线能成为R2的正则子流形吗?说明你的理由.3.说明tpx,yqPR2|y2“x2px`1qu为R2的浸入子流形,并画出它的图像.4.设α为正无理数,考虑映射f:R1ÑS1ˆS1,fptq“pei2πt,ei2παtq.证明f为单浸入,且其像在S1ˆS1中稠密;推广这个结果,证明存在单浸入f:R1ÑTn,使得fpR1q在Tn中稠密.5.Sn能否嵌入到Rn中?6.通过把平面上的一个圆周绕某个坐标轴旋转得到2维环面到R3的嵌入.推广这一过程,证明n维环面均可嵌入到Rn`1中.7.证明,Ck映射限制到正则子流形上仍为Ck映射.8.设f:MÑN为微分流形之间的光滑映射,证明f的图像Γf“tpp,qqPMˆN|fppq“qu为乘积流形MˆN的正则子流形. 18第一章微分流形9.设f:MÑM为微分流形到自身的光滑映射,且f˝f“f.证明,如果M连通,则fpMq为M的正则子流形.10.在关于常秩映射的定理中,进一步证明在适当的局部坐标系中,f的局部表示形如px1,x2,¨¨¨,xmqÞÑpx1,x2,¨¨¨,xl,0,0,¨¨¨,0q.这个结果称为秩定理(RankTheorem).11.考虑R3中如下集合tpx,y,zqPR3|ry2`xpx´1qs2`z2“r2u,证明,当rą0充分小时,上面的集合为正则子流形,且微分同胚于T2.一般地,设gą1,令Ppxq“xpx´1q2px´2q2¨¨¨px´g`1q2px´gq,gPg是关于x的次数为2g的多项式.试说明当rą0充分小时,tpx,y,zqPR3|py2`Ppxqq2`z2“r2ug为紧致连通的正则子流形.x1.3单位分解在前一节中,通过研究映射的局部性态我们可以得到微分流形的许多例子,特别是在欧氏空间中可以构造丰富的例子.通过继续研究一类特殊的映射,本节将说明任何抽象的微分流形都可以视为欧氏空间中的正则子流形.我们要用到的工具是所谓的单位分解,即把1这个常值函数分解为若干光滑函数的和,要求这些光滑函数分别只在指定的开集内不为零.我们先从一个例子开始.例1.3.1.一个特殊的光滑函数.考虑一元函数φ:RÑR,$&´1ex,xą0φpxq“%0,xď0.´1这个函数在整个R上都是光滑函数:只要归纳地在0处计算ex的各阶右导数,发现它们均为零即可.从这个例子出发,下面我们来构造一些特殊的光滑函数. §1.3单位分解19引理1.3.1(鼓包函数).p1q在R1上存在光滑函数h:RÑR,使得11hpxq“0,@|x|ě1;hpxqPp0,1s,@xPp´1,1q;hpxq“1,@xPr´,´s.22p2q在Rn上存在光滑函数f:RnÑR,使得1fpxq“0,@}x}ě1;fpxqPp0,1s,@}x}ă1;fpxq“1,@}x}ď.2证明.p1q设φ为第一例中的光滑函数,令g:RÑR为φpxqgpxq“,xPR.φpxq`φp1´xq则g也是光滑函数,且xď0时gpxq“0;0ăxă1时gpxqą0;xě1时gpxq“1.再令g1:RÑR为g1pxq“gp2x`2q,xPR,则g1为光滑函数,且11xď´1时g1pxq“0;´1ăxă´时g1pxqą0;xě´时g1pxq“1.22最后,令h:RÑR为$&g1pxq,xď0hpxq“g1p|x|q“%g1p´xq,xą0则h即为所求光滑函数.p2q令f:RnÑR为fpxq“hp}x}q,xPRn,其中h为p1q中光滑函数,}¨}为Rn中的标准范数.注意到在原点附近f恒为1,故f为整个Rn上的光滑函数,且满足我们的要求.这个引理中的光滑函数的特点是只在某个开邻域上非零,这样的函数有时也称为截断函数.我们回忆一下函数支集的定义:设φpxq为M上的实函数,令suppφ“txPM|φpxq‰0u,称suppφ为函数φ的支集,函数在其支集外为零.下面我们引入单位分解的概念,在此之前我们再回忆一下局部有限这个概念:给定拓扑空间上的子集族tAαu,如果对于拓扑空间中的任意一点,均存在这个点的一个开邻域,使得此开邻域只和有限个Aα有非空交,则称tAαu为局部有限的子集族. 20第一章微分流形定义1.3.1(单位分解).设tUαu为微分流形M的开覆盖.如果存在至多可数的光滑函数族tgi:MÑRu满足以下条件p1q0ďgipxqď1,@xPM;p2q对每一个gi,均存在αpiq,使得suppgiĂUαpiq;p3qtsuppgiu为M上的局部有限子集族;ÿp4qgipxq”1,@xPM.i则称为tgiu为从属于开覆盖tUαu的一个单位分解.下面我们说明微分流形上的单位分解总是存在的.引理1.3.2(穷竭).对于任何微分流形,均存在一列开集Gi,使得G¯i都是紧致的,且ďG¯iĂGi`1,iě1;Gi“M.i证明.如果流形M是紧致的,则没有什么需要证的.一般地,任给xPM,我们取包含x的局部坐标邻域Vx,使得V¯x是紧致的.由于M具有可数的拓扑基,根据点集拓扑学中的Lindel¨of引理,存在至多可数个xi,使得tVxiu为M的开覆盖.下面我们递归地定义开集Gi.首先,令G1“Vx1.假设G1,G2,¨¨¨,Gi均已定Ť义好,则考虑紧致集合G¯i,必定存在I,使得kďiďďG¯iĂVxj,kďijďIŤ令Gi`1“Vxj,不难看出tGiu即为满足要求的一列开集.jďI定理1.3.3(单位分解的存在性).对于微分流形M的任何开覆盖tUαu,均存在从属于它的单位分解.证明.设Gi为上一个引理中的一列开集(穷竭),令Ai“G¯i´Gi´1pG0“Hq.Ai为紧致闭集,且tAiu为M的一个覆盖.固定一个Ai,任给xPAi,选取x的局部坐标系pUx,φxq,使得p1qφxpUxq“B2p0q;p2q存在αpxq,使得UxĂUαpxq;p3qUxXAj“H,@|j´i|ą1.设f为引理1.3.1中定义的Rn上的鼓包函数,定义函数f:MÑR为x$&fpφxppqq,pPUx,fxppq“%0,pPM´Ux. §1.3单位分解21显然f为M上的光滑函数.令V“φ´1pBp0qq,则fppq“1,@pPV.由于Axxx1xxi2是紧致集合,故存在A中的有限个点xi,xi,¨¨¨,xi,使得i12kpiqďAiĂVxi.jjďkpiq根据上面局部坐标邻域的选取我们知道,tsuppfxiu是局部有限的,因此和函数jÿψpxq“fxijjďkpiq´1为M上定义好的光滑函数,并且在M上恒为正.从而tfxiψu为所求的从属于j开覆盖tUαu的单位分解.注.从上面的证明可以看出,我们构造的单位分解中的光滑函数的支集都是紧致的.另外,我们找到的开覆盖tUxi,jďkpiqu是开覆盖tUαu的一个局部有限的j加细(fine).记Γ1“tαpxiq,jďkpiqu,当αPΓ1时,令jÿ´1gα“fxiψ,jαpxiq“αjÿ当αRΓ1时,令g“0.则tgu为M上的光滑函数族,0ďgď1,g“1,且αααααsuppgαĂUα.有时也称tgαu为从属于tUαu的(广义)单位分解.下面来介绍单位分解的一些初步的应用.定理1.3.4(Whitney).任意紧致微分流形Mn均可嵌入到某个欧氏空间RN中.证明.因为M是紧致的,故象证明单位分解的存在性那样,我们可取M的有´1限个局部坐标系tpUi,φiq,1ďiďku,使得φipUiq“B2p0q,且tVi“φipB1p0qqu2为M的开覆盖.如前那样,在M上定义光滑函数fi,使得´1fi|Vi”1,suppfiĂφipB1p0qq.定义F:MÑRknˆRk为Fpxq“pf1pxqφ1pxq,f2pxqφ2pxq,¨¨¨,fkpxqφkpxq,f1,f2,¨¨¨,fkq,其中,通过零延拓,我们将fiφi视为M上的光滑函数.p1qF为单射.事实上,如果Fpxq“Fpyq,则fipxq“fipyq,1ďiďk.设xPVi,则fipxq“1,从而fipyq“fipxq“1,因此由fipxqφipxq“fipyqφipyq知φipxq“φipyq,即x“y. 22第一章微分流形p2qF的Jacobian非退化.事实上,由于在Vi上fi恒为1,故由F的定义即知F在Vi上为嵌入.现在我们得到了从M到RN,N“kpn`1q的一个单的浸入F,由于M为紧致流形,容易知道此时的单浸入F必为嵌入.注.在F的定义中,可以把F的最后k个坐标取为从属于tViu的单位分解,这样可以将M嵌入到kpn`1q´1维欧氏空间中.一般地,如果流形M能被有限个局部坐标邻域覆盖,则根据上面的构造,M可以单浸入到欧氏空间中.事实上,可以证明,任何n维微分流形必定可以被至多n`1个局部坐标邻域所覆盖,因而可以单浸入到欧氏空间中.不过Whitney在1944年就已证明任何n维光滑流形均可嵌入到R2n中.命题1.3.5(光滑延拓).p1q设A为微分流形M上的闭集,如果U为A的开邻域,则存在光滑函数ϕ:MÑR,使得ϕ|A”1,suppϕĂU;p2q设B为M的子集,f:BÑR为实函数.如果对任意xPB,均存在开邻域Ux,以及光滑函数fx:UxÑR,使得fx|BXUx“f|BXUx,则存在B的开邻域V以及光滑函数f˜:VÑR,使得f˜|B“f.证明.p1q考虑M的开覆盖tU,M´Au,设tϕ,ψu为从属于它的单位分解,则由suppψĂM´A知ψ|A“0,从而ϕ|A“1.ϕ就是欲求的函数.p2q考虑V“YUx,tUx,xPBu为V的开覆盖,设tgiu为从属它的单位分解.xPB对每个i取定xiPB,使得suppgiĂUxi.则gifxi可零延拓为V上的光滑函数,令ÿf˜pxq“gipxqfxipxq,xPV.i则f˜即为所求函数.延拓定理中的p2q对于映射也成立,特别地有命题1.3.6.设M为N的闭正则子流形,f:MÑS为光滑映射,则存在N上的光滑映射f˜:NÑS,使得f˜|M“f.证明.根据正则子流形的结构定理,M上的光滑映射总是可以做局部光滑延拓,因而最后可以延拓到N上.设f0,f1:XÑY为拓扑空间X,Y之间的连续映射,如果存在连续映射F:Xˆr0,1sÑY使得Fpx,0q“f0pxq,Fpx,1q“f1pxq,@xPX,则称f0和f1是同伦的,F是f0和f1之间的同伦. §1.3单位分解23命题1.3.7(同伦的光滑化).设f0,f1:MÑN是微分流形之间同伦的光滑映射,则存在光滑映射F:MˆRÑN,使得Fpx,tq“f0pxq,@xPM,tď0;Fpx,tq“f1pxq,@xPM,tě1.证明.略.命题1.3.8(光滑逼近).设f:MÑRk为微分流形M上的连续映射,则任给M上的正连续函数ϵ:MÑR,存在光滑映射g:MÑRk,使得}gpxq´fpxq}ďϵpxq,@xPM.证明.由f,ϵ的连续性知,任给xPM,存在x的开邻域Ux,使得11ϵpyqěϵpxq,@yPUx;}fpyq´fpxq}ďϵpxq,@yPUx.22取从属于开覆盖tUx,xPMu的单位分解tgiu,对每个i,取xiPM,使得suppgiĂU.定义M上的光滑映射g:MÑRk如下xiÿgpxq“gipxqfpxiq,xPM.i则有ÿ}gpxq´fpxq}ďgipxq}fpxiq´fpxq}iÿ“gipxq}fpxiq´fpxq}gipxq‰0ÿ1ďgipxq¨εpxiq2gipxq‰0ÿďgipxq¨εpxq“ϵpxq.gipxq‰0ÿ这里我们用到了gi“1.i命题1.3.9.设f:MÑN为微分流形之间的连续映射,则存在光滑映射g:MÑN,使得g和f同伦.证明.略.对于一个连续映射,如果紧致集的原像仍为紧致的,则称该连续映射是逆紧(proper)的.命题1.3.10(逆紧函数的存在性).微分流形上总存在光滑的逆紧函数. 24第一章微分流形证明.设M为微分流形,取其局部坐标覆盖tUiu,使得U¯i是紧致的.设tgiu为从属于tUiu的广义单位分解,令ρ:MÑR为ÿρpxq“igipxq,xPM.i跟据单位分解的性质,ρ为定义好的光滑函数.如果gipxq“0,iăk,则ÿÿÿρpxq“igipxq“igipxqěkgipxq“k.iiěkiěk这说明ďkďkρ´1r0,ksĂtxPM|gpxq‰0uĂU¯,iii“1i“1即紧致集在ρ的原像下是紧致的.这就证明了光滑逆紧函数的存在性.注.如果ρ:MÑR为逆紧光滑函数,则G“ρ´1p´i,iq组成了M的穷竭.i习题1.31.令f:RÑR为$&1´1ex´bx´a,xPpa,bq,fpxq“%0,xPR´pa,bq.证明f为R上的光滑函数.2.设h是R上我们所得到的鼓包函数.任取一列实数tan,ně0u,令ÿ8hpξxqnnfpxq“anx,xPR,n!n“0ÿn其中ξn“n`|ai|.证明f为光滑函数,且i“0fpnqp0q“a,ně0.n3.设tAαu为M上局部有限子集族,则tA¯αu也是局部有限的,并且ďďAα“A¯α.αα4.设A,B为M上的闭集,且AXB“H,则存在光滑函数f:MÑR,使得f|A”1,f|B”0. §1.4切空间和切映射255.设A为M上的闭集,则存在光滑函数f:MÑR,使得txPM|fpxq“0u“A.6.设tUαu为M上局部有限的开覆盖,ϵαą0,@α.则对任意连续映射f:MÑRk,存在光滑映射f˜:MÑRk使得}f˜pxq´fpxq}ăϵα,@xPUα.7.设f:MÑN为单浸入,如果f是逆紧的,则f为嵌入.8.设微分流形M可以单浸入到欧氏空间中,则M一定也可以嵌入到欧氏空间中.9.证明,连通的微分流形必有连通的穷竭族,即穷竭中的开集可以取为连通的.x1.4切空间和切映射研究映射的一个办法就是对其做线性化,这就是微分的思想.在此之前,我们还得对空间进行线性化.对于微分流形,线性化以后的对象就是切空间,这是一个和流形本身维数相等的向量空间.我们先从切向量的定义开始.定义1.4.1(切向量).记C8pMq为微分流形M上光滑函数的全体组成的向量空间.设pPM,如果线性映射X:C8pMqÑR满足以下条件pXpfgq“fppqXg`gppqXf,@f,gPC8pMq,ppp则称Xp为M在p处的切向量.切向量的全体组成的向量空间称为p处的切空间,记为TpM.根据定义,切向量作用在常值函数上为零.切向量作用在函数上就如同多元函数沿一个方向求方向导数.我们知道,一个函数在某一点的导数只跟它在这一点附近的值有关.对于切向量的作用来说,这一点也是对的.引理1.4.1.设f,g为光滑函数,且在p的一个开邻域中f“g.则对任意的切向量Xp,均有Xpf“Xpg.证明.令h“f´g,只要证明Xph“0即可.由假设,h在p的邻域Up内恒为零,我们取M上的光滑函数φ,使得φppq“1,suppφĂUp,则显然φh”0.于是0“Xppφhq“φppqXph`hppqXpφ“Xph. 26第一章微分流形这就证明了引理.根据这个引理,切向量也可以作用于局部光滑函数上:设f是在p附近有定义的光滑函数,把f延拓为M上的光滑函数f˜,使得在p附近f˜“f,则定义Xpf“Xpf˜,这个定义和f的延拓无关.设pU,φq为p附近的局部坐标系,txiun为坐标函数,我们现在在p处定义i“1n个切向量B|p1ďiďnq如下:BxipBBpf˝φ´1q|pf“pφppqq,BxiBxi其中f是M上的任意光滑函数(只要在p附近C1就可以).容易验证这样定义的B|满足切向量的要求.由于Bxip$Bˇˇ&1,i“j,xj“δ“ˇijBxip%0,i‰j.ˇBˇ故tBxiˇup1ďiďnq在TpM中线性无关.我们有p命题1.4.2.tB|un为TM的一组基,特别地,TM是维数为dimM的Bxipi“1pp有限维向量空间.证明.只要证明任何切向量X均可由tB|un张成即可.事实上,下面我们pBxipi“1证明ÿnBˇiˇXp“pXpxqiˇ.Bxpi“1记x“φpqqPφpUq,a“φppq,则ż1´1´1d´1fpqq“f˝φpxq“f˝φpaq`rf˝φpa`tpx´aqqsdt0dtÿn“f˝φ´1paq`pxi´aiqgpxq,ii“1其中,ż1´1Bf˝φgipxq“pa`tpx´aqqdt.Bxi0gi仍为光滑函数,且´1ˇBf˝φBˇgipaq“paq“ˇf.BxiBxip由切向量的定义,有ÿnÿnÿnBˇiiiiˇXpf“Xpppx´aqgipxqq“pXpxqgipaq“pXpxqiˇf,Bxpi“1i“1i“1 §1.4切空间和切映射27这个等式对任何f都成立,因此这就证明了X可由tB|un张成.pBxipi“1注意,在上面的证明过程中,函数gi仍具有光滑性,这只对于光滑流形成立.因此,对于C1的微分流形,我们不能象上面一样证明切空间的维数有限性.为此此我们再从别的角度考察一下切空间.首先,如果pU,φq,pV,ψq均为p附近的局部坐标系,坐标函数分别记为xi与yj,1ďi,jďn.坐标转换映射φ˝ψ´1的分量记为f,1ďiďn.则由刚才证明的i命题,有BÿnBB|“|pxiq|ByjpByjpBxipi“1ÿnBfBi“pψppqq|p,ByjBxii“1写成向量的形式为BBBB´1pBy1|p,¨¨¨,Byn|pq“pBx1|p,¨¨¨,Bxn|pq¨Jpφ˝ψqpψppqq,这是TpM的基的变换公式.因此,如果XpPTpM,在这两组基下分别表示为ÿnBÿnBbj|“X“ai|,ai,bjPR,ByjppBxipj“1i“1则其系数满足如下转换关系pa1,¨¨¨,anqT“Jpφ˝ψ´1qpψppqqpb1,¨¨¨,bnqT,或pb1,¨¨¨,bnqT“Jpψ˝φ´1qpφppqqpa1,¨¨¨,anqT.这些转换公式也可以用来给出切向量和切空间的一种等价定义.切向量和切空间也可以用流形上的光滑曲线来定义.设pPM,一条经过p的光滑曲线是指光滑映射σ:p´a,aqÑM,使得σp0q“p.定义σ1p0qPTM如下:pˇ1dˇ8σp0qf“ˇrf˝σptqs,@fPCpMq.dtt“0容易验证σ1p0q为p处的切向量,称为σ的初始切向量,也记为σ˙p0q.在局部坐标系pU,φq中,σ可局部表示为φ˝σptq“px1˝σptq,¨¨¨,xn˝σptqq,tPp´a,aq.则ˇˇ1dˇdˇ´11nσp0qf“ˇrf˝σptqs“ˇrf˝φpx˝σptq,¨¨¨,x˝σptqqsdtt“0dtt“0ÿnBf˝φ´1dˇˇi“ppqˇpx˝σptqq.Bxidtt“0i“1 28第一章微分流形因此σ1p0q可以表示为ÿndˇB1ˇiσp0q“ˇpx˝σptqq|p.dtt“0Bxii“1ÿnB反之,任给p处的切向量X,设X“ai|,不妨设φppq“0,则σptq“ppBxipi“1φ´1pa1t,a2t,¨¨¨,antq就是经过p的光滑曲线,且σ1p0q“X.p利用上面的叙述,我们可以重新描述切向量和切空间:考虑经过p的所有光滑曲线σ,如果两条这样的曲线σ1,σ2满足下面的条件ˇdˇiiˇpx˝σ1ptq´x˝σ2ptqq“0,1ďiďn,dtt“0则称σ1和σ2等价,记为σ1sσ2,曲线的一个等价类称为p处的切向量.切空间则可以定义为TpM“t经过p的光滑曲线u{s.不难验证,切空间的这几种等价描述都是等价的.定义1.4.2(切映射).设f:MÑN为微分流形之间的光滑映射,pPM.任给p处的切向量Xp,定义fppq处的切向量f˚ppXpq如下fpXqg“Xpg˝fq,@gPC8pNq.˚ppp这样我们就定义了线性映射f˚p:TpMÑTfppqN,称为f在p处的切映射或微分,有时也把f˚p记为dfp.切映射具有以下性质:•恒同映射id:MÑM的切映射均为恒同映射;•如果f:MÑN,g:NÑS均为微分流形之间的光滑映射,则它们之间复合映射的切映射为切映射的复合:pg˝fq˚p“g˚fppq˝f˚p;•设σ是经过p的光滑曲线,σ1p0q“X,则pfpXq“pf˝σq1p0q.˚pp事实上,由定义,我们如下计算fpXqg“Xpg˝fq“σ1p0qpg˝fq˚pppˇdˇ“ˇpg˝f˝σptqqdtt“0“pf˝σq1p0qg. §1.4切空间和切映射29设pU,φq为p附近的局部坐标系,pV,ψq为fppq处的局部坐标系,坐标函数分别为xi,yj,1ďiďm,1ďjďn.在这两个局部坐标系下,f的局部表示可写为ψ˝f˝φ´1px1,x2,¨¨¨,xmq“pfpxq,fpxq,¨¨¨,fpxqq.12n在切空间TM和TN中分别有基tB|u和tB|u.在这两组基下,线性映pfppqBxipByjfppq射f˚p可以表示为一个矩阵.我们计算如下:ˇˇBˇBˇB´1f˚ppBxiˇqg“Bxiˇpg˝fq“Bxipg˝f˝φqpφppqqppB´1“ipg˝ψpf1pxq,f2pxq,¨¨¨,fnpxqqqpφppqqBxÿnBg˝ψ´1Bfj“pψpfppqqqpφppqqByjBxij“1ÿnBfBˇjˇ“pφppqqˇg.BxiByjfppqj“1因此BˇÿnBfBˇˇjˇf˚pBxiˇ“BxipφppqqByjˇ,pfppqj“1写成矩阵形式为ˇˇˇˇBˇBˇBˇBˇ´1pf˚ppBx1ˇ,¨¨¨,f˚ppBxmˇqq“pBy1ˇ,¨¨¨,BynˇqJpψ˝f˝φqpφppqq.ppfppqfppq根据切映射的上述表示,我们可以重新给出浸入和淹没等概念:微分流形之间的光滑映射f:MÑN为浸入当且仅当f的切映射总是单线性映射;f为淹没当且仅当其切映射总是满线性映射.特别地,如果f:MmÑNn为浸入,则fpTMq˚pp为TfppqN的m维子向量空间.例如,当包含映射I:MÑN为嵌入,即M为N的正则子流形时,TpM为TpN的m维子向量空间.例1.4.1.欧氏空间Rn的切空间.设pPRn,则TRn“spantBun,而基向量B|作用在函数上就是求偏pBxi|pi“1Bxip导数.利用整体坐标txiu,我们通常把切空间TRn和作为向量空间的Rn等同起p来:ÿnBa|ÐÑpa1,a2,¨¨¨,anqPRn.iBxipi“1因此,对于Rn中的正则子流形,其切空间也就可以看成Rn中的子向量空间了.例1.4.2.n维球面Sn的切空间. 30第一章微分流形设pPSn,σ是Sn上经过p的光滑曲线.把σ看成Rn`1中的曲线,在Rn`1的坐标下,σ可局部表示为σptq“px1ptq,x2ptq,¨¨¨,xn`1ptqq,tPp´ϵ,ϵq.nÿ`1B记v“σ1p0q,则v“pxiq1p0q|,为了简单起见,也记Bxipi“1v“ppx1q1p0q,¨¨¨,pxn`1q1p0qqPRn`1.由于}σptq}”1,故nÿ`1pxiq1p0qxip0q“0,i“1即xv,py“0,其中x,y为Rn`1中的标准内积.这说明TSnĂtvPRn`1|xv,py“0u,p因为上式两边是维数相同的向量空间,故上式实际上是等式.例1.4.3.行列式映射的秩.´1n2考虑映射f:GLpn,RqÑR,fpAq“detA.GLpn,Rq“detpR´t0uq为R中的开集,f为光滑映射.当APGLpn,Rq时,对hPMnˆn,有detpA`thq“detAdetpI`tA´1hq“detAp1`t¨trA´1h`optqq,tPR,n2因此f的在A处的切映射f:RnÑR为˚Aˇdˇ´1f˚Ah“ˇdetpA`thq“detAtrpAhq,dtt“0从上式易见f的秩为1.例1.4.4.设f:MmÑNn为光滑映射,其秩恒为l.取qPN,设S“f´1pqq‰H,我们已经知道此时S为M的正则子流形.设pPS,下面来求S在S处的切空间TpS.注意到fpSq”q,因此,如果σ是S中经过p的光滑曲线,则fpσ1p0qq“pf˝σq1p0q“0,˚p这说明TpSĂkerf˚p.又因为rankf“l,故dimkerf˚p“dimM´l“dimS,从而有TpS“kerf˚p“tvPTpM|f˚ppvq“0u. §1.4切空间和切映射31定义1.4.3(横截相交).设f:MÑN为微分流形之间的光滑映射,S为N的正则子流形.如果对满足条件pPM,fppq“qPS的任意点p,均有f˚ppTpMq`TqS“TqN,则称f和S横截相交,有时记为ftS.当fpMqXS“H时也称f和S横截相交.例1.4.5.横截相交与正则值.设f:MÑN为光滑映射,则f和N中的0维流形q横截相交当且仅当q为f的正则值;如果M,S均为N的正则子流形,且对任何pPMXS,均有TpM`TpS“TpN,则称M,S横截相交,记为MtS.例如,在R2中,经过原点的直线和单位圆周就是横截相交的.引理1.4.3.设0PRk为光滑映射g:NÑRk的正则值,且S“g´1p0q.则映射f:MÑN和S横截相交当且仅当0PRk是复合映射g˝f的正则值.证明.0PRk是复合映射g˝f的正则值当且仅当对任意pPpg˝fq´1p0q均有pg˝fqpTMq“gfpTMq“TRk,˚pp˚fppq˚pp0由于TS“kerg,gpTNq“TRk,故上式等价于fppq˚fppq˚fppqfppq0f˚ppTpMq`TfppqS“TfppqN,即等价于f与S横截相交.定理1.4.4.设f:MmÑNn为光滑映射,S为N的正则子流形.如果f与S横截相交,则f´1pSq为M的正则子流形,且dimM´dimf´1pSq“dimN´dimS.证明.设pPf´1pSq,记q“fpqqPS.因为S为正则子流形,由正则子流形的结构定理,存在q在N中的局部坐标邻域U,以及淹没g:UÑRkqqpk“dimN´dimSq,使得SXU“g´1p0q.q根据前面的引理,0PRk为复合映射g˝f的正则值,从而在p的开邻域f´1pUqq中f´1pSq为正则子流形,维数为dimM´k“dimM´dimN`dimS. 32第一章微分流形有时,我们把dimN´dimS称为子流形S的余维数,记为codimS.用余维数的记号,则上面的结果可写为codimf´1pSq“codimS.例1.4.6.线性空间的横截相交.设U,V为向量空间W的子向量空间,则U,V横截相交当且仅当U`V“W,此时dimpUXVq“dimU`dimV´dimW,或改写为codimUXV“codimU`codimV.定理1.4.5(横截相交的稳定性).设M,P,S,N为微分流形,其中M为紧致流形,S为N的闭正则子流形.设f:MˆPÑN为光滑映射,取pPP,定义fp:MÑN,fppxq“fpx,pq,@xPM.则集合Ω“tpPP|fp和S横截相交u为开集.证明.设p0PΩ,我们要证明,对于p0附近的点p,fp也和S横截相交.用反证法,假设不然,则存在piPP,使得piÑp0,但fpi和S不是横截相交的.此时,存在xiPM,使得fpxi,piq“yiPS,且f˚pxi,piqpTxiMq`TyiS‰TyiN,iě1.(1.4)因为M是紧致的,txiu存在收敛子列,不妨设其本身收敛,limxi“x0.此时iÑ8pxi,piqÑpx0,p0q.由于S是N中闭集,故yi“fpxi,piqÑy0“fpx0,p0qPS.由于S为N的正则子流形,我们可以取y0的局部坐标邻域V以及光滑淹没ψ:VÑRk,使得0PRk为ψ的正则值且SXV“ψ´1p0q.由f和S横截相交p0知,0PRk为复合映射ψ˝fp¨,pq的正则值.因为矩阵的秩在微扰下不会变小,故i0充分大时,0PRk为复合映射ψ˝fp¨,pq的正则值,且yPV.这和p1.4q相矛盾.ii这个定理说明,横截相交经过微扰以后仍为横截相交.反之,可以证明任何光滑映射总可以通过微扰使之和给定的正则子流形横截相交.习题1.41.对于C1的微分流形,应如何定义切向量和切空间? §1.5Sard定理及应用332.本节哪些结论对于Ckpkě1q也成立?3.用光滑曲线的等价观点给出切空间的定义,证明其为有限维向量空间,维数和流形的维数相同.4.设M为微分流形,则∆“tpx,yqPMˆM|x“yu为MˆM的正则子流形,计算其切空间.5.考虑映射f:MÑM,fpAq“AAT.说明这是光滑映射,求其切映射,nˆnnˆn并计算f在f´1pIq“Opnq上的秩.n6.考虑映射f:GLpn,RqÑGLpn,Rq,fpAq“A´1.说明f为光滑映射,计算其切映射.7.设f:RnÑRn为光滑映射.证明,如果其切映射都是正交变换,则f本身也是正交变换.8.设f:MmÑNn为光滑映射,S为N的正则子流形.证明f和S横截相交当且仅当f的图像graphpfq和MˆS在MˆN中横截相交.9.设f:MÑM为光滑映射.如果在f的每一个不动点pPM处,f的切映射f˚p:TpMÑTpM没有不动点,则称f为Lefshetz映射.证明,如果M为紧流形,则Lefshetz映射的不动点最多只有有限个.10.设f:M1ÑN,g:M2ÑN为微分流形之间的光滑映射,如果对于任何满足条件fpxq“gpyq“z的点,均有f˚xpTxM1q`g˚ypTyM2q“TzN,则称映射f和g横截相交.证明,如果f,g横截相交,则tpx,yqPM1ˆM2|fpxq“gpyqu为M1ˆM2的正则子流形,维数为dimM1`dimM2´dimN.x1.5Sard定理及应用在前节最后我们定义了横截相交的概念并证明了横截相交性具有微扰不变性,即它是一个“一般”的(generic)性质,或者说映射和正则子流形处于一般(通有)的位置(generalposition).一般性是微分拓扑学里的重要概念,一个映射本身的性质可能很坏,但往往能在这个映射附近找一个性质较好的映射,这里要用到的一个基本工具就是Sard定理. 34第一章微分流形定义1.5.1(零测集).设C为Rn中的子集,如果任给ϵą0,均存在覆盖A的至多可数个开立方体,使得这些立方体的体积之和小于ϵ,则称C为Rn的零测集.Rn中的零测集具有以下性质:•零测集的子集显然为零测集;•至多可数个零测集之并仍为零测集;•Rn中的非空开集不是零测集.事实上,设U为Rn中开集,取闭的立方体VĂU,如果Si是覆盖U的一列立方体,则由于V为紧致集合,故存在有限个S,1ďiďk,使得VĂYkS.从而S的特征函数之和在V上大于或等ii“1ii于1,积分表明ÿÿkvolpSiqěvolpSiqěvolVą0,iě1i“1因而V不能为零测集,当然U也就不是零测集.•当măn时,Rm“Rmˆt0uĂRn为Rn的零测集.事实上,不妨设m“n´1,因为Rn´1可以表示为可数个边长为单位长的n´1维立方体之并,故只须证明这样的一个n´1维立方体I为Rn中零测集即可.对@ϵą0,I均包含于n维立方体Iˆr´ϵ,ϵs中,后者的体积为ϵ.因为ϵ是任取的,故I在Rn中22为零测集.设f:RnÑRn为映射,且存在Ką0,使得}fpxq´fpyq}ďK}x´y},@x,yPRn,(1.5)则称f为Lipschitz映射.如果上式只在某子集上成立,则称f在该子集上为Lipschitz映射.命题1.5.1.Rn到Rn的Lipschitz映射将零测集映为零测集;Rn到Rn的C1映射将零测集映为零测集.证明.先看Lipschitz映射.设f满足条件p1.5q,则易见一个体积为v的立方?体在f下的像包含于体积至多为pKnqnv的立方体中,从而由零测集的定义知,f把零测集映为零测集.根据拟微分平均值定理可知C1的映射局部上是Lipschitz映射,故C1映射将零测集也映为零测集.推论1.5.2.设f:RmÑRnpmănq为C1映射,则fpRmq为Rn中的零测集. §1.5Sard定理及应用35证明.记π:RnÑRm是向前m个坐标分量的投影映射,则f˝π是从Rn到Rn的的C1映射,由上面零测集的性质和刚才的命题,fpRmq“f˝πpRmq为Rn中的零测集.定义1.5.2(流形上的零测集).设C为微分流形Mn中的子集,如果存在M的局部坐标覆盖pU,φq,使得对每个α,φpCXUq均为Rn中的零测集,则称Cααα为M的零测集.从上面欧氏空间中零测集的性质易见,微分流形上零测集的定义是恰当的,并且C为零测集当且仅当它在每一个局部坐标邻域内均为零测集.以下事实对于微分流形上的零测集也是对的:•零测集的子集为零测集;至多可数个零测集之并仍为零测集;•微分流形上的非空开集不是零测集;•如果M为N的浸入子流形,dimMădimN,则M为N的零测集;•同维数的微分流形之间的C1映射把零测集映为零测集;•如果f:MÑN为C1映射,dimMădimN,则fpMq为N中零测集.设f:MÑN为光滑映射,如果在点pPM处f的切映射f˚p不是满射,则称p为f的临界点,临界点的像称为临界值.定理1.5.3(Sard).设f:MÑN为微分流形之间的光滑映射,则f的临界值为N的零测集.证明.由零测集的上述性质,我们不妨设M“Rm,N“Rn.对m用数学归纳法.m“0是显然的.记C为f的临界值全体,只要证明,对任意的yPC,存在y的开邻域,使之与C的交集为零测集.令C“txPRn|f在x的所有k阶偏导数均为零,1ďkďs.u.s显然CĄC1ĄC2Ą¨¨¨为一列闭集,我们要证明fpCs´Cs`1q都是零测集.p1qfpC´C1q为零测集.事实上,设x0PC,x0RC1,则f在x0的一阶偏导数不全为零,不妨设Bf1‰0.考虑映射g:RmÑRm,Bx10gpxq“pfpxq,x2,x3,¨¨¨,xmq,01 36第一章微分流形则g0在x0处秩为m,由逆映射定理,存在x0的开邻域U和V,使得g0|U:UÑV为微分同胚,记其逆为h0,则f˝hpxq“px1,f˝hpxq,¨¨¨,f˝hpxqq,020m´1且fpCXh0pVqq“f˝h0ph0pCqXVq.如果令kpx2,x3,¨¨¨,xmq“pf˝hpt,¨¨¨,xmq,¨¨¨,f˝hpt,¨¨¨,xmqq,t20m0则ď´1h0pCqXV“ttuˆCritpktq,t其中Critpkq表示k的临界点集.根据归纳假设,kpCritpkqq在Rm´1中均为零tttt测集,从而ďfpCXh0pVqq“ttuˆktpCritpktqqt为Rn中的零测集(参见习题).1Bfp2qfpCs´Cs`1q为零测集.设x0PCs´Cs`1,不失一般性,我们假设Bx1px0q‰0,其中Bi1`¨¨¨`imff1“,i`¨¨¨`i“s.Bpx1qi1¨¨¨Bpxmqim1m和前面一样,考虑映射g:RmÑRm,sgpxq“pf1pxq,x2,¨¨¨,xmq,sg在x附近为微分同胚,记其逆为h:VÑRm.令k“f˝h并记s0sss1k“ks|t0uˆRm´1XV.显然,gpCXhpVqqĂt0uˆRm´1XV,并且sssfpCXhpVqqĂk1pCritpk1qqss由归纳假设,fpCsXVq为零测集.p3q当s充分大时,fpCq为零测集.设xPC,sąm´1.取以x为中心的s0sn0立方体I,I的边长为δ.由多元函数的Taylor展开容易知道,存在常数Mą0,使得}fpxq´fpyq}ďM}x´y}s`1,@xPCXI,yPI.s §1.5Sard定理及应用37将I等分为Nm个边长为δ的立方体,如果I1是等分后的一个小立方体,则由上N面的不等式知,当I1XC‰H时,fpI1q含于边长不超过s?δ2Mmpqs`1N的立方体中,从而fpCsXIq含于总体积不超过?δ?Nm¨r2Mmpqs`1sn“r2Mmδs`1sn¨Nm´nps`1qN的立方体之并中.当sąm´1时,上式在NÑ8时趋于零,这说明fpCXIq为ns零测集.以上三步合起来就得到了定理的证明.注.这个定理对于Ck映射pkąmaxtdimM´dimN,0uq也是成立的.上面的这个对于光滑映射的证明取自Milnor[10].下面我们介绍Sard定理的几个应用.引理1.5.4.设f:MˆPÑRk为光滑映射,0PRk为f的正则值.则集合tpPP|0为fp¨q“fp¨,pq:MÑRk临界值up为P的零测集证明.记S“f´1p0q,S为MˆP的正则子流形,我们把从MˆP到P的投影限制在S上得到的映射记为π:SÑP.于是,0为fp的正则值当且仅当@xPM,px,pqPS,成立fpTMˆtpuq“TRk˚px,pqpx,pq0因为fpTMˆPq“TRk以及kerf“TS,故上式等价于˚px,pqx0˚px,pqpx,pqTpx,pqMˆtpu`Tpx,pqS“Tpx,pqMˆP这又等价于(上式两边用投影的切映射作用,并注意投影的切映射的零空间为M的切空间)π˚px,pqT˚px,pqS“TpP即等价于p为π的正则值.由Sard定理即知本引理成立.定理1.5.5(横截性定理).设f:MˆPÑN为光滑映射,Z为N正则子流形.设f与Z横截相交,则集合tpPP|fpp¨q“fp¨,pq:MÑN不与Z横截相交u为P的零测集. 38第一章微分流形证明.因为可数个零测集之并仍为零测集,而Z可以被N的至多可数个局部坐标邻域覆盖,故不妨设Z“g´1p0q,其中g:NÑRk为一个淹没.因此0PRk为复合映射g˝f的正则值,而f和Z横截相交当且仅当0PRk为g˝f的正则pp值.现在问题就转化为前一引理了.例1.5.1.映射的微扰.设f:MmÑRn为光滑映射,Z为Rn的正则子流形,令F:MˆRnÑRn,Fpp,aq“fppq`a,F为淹没,因此和Z横截相交.由横截性定理,对于几乎所有的aPRn,fppq`a:MÑRn都和Z横截相交,换言之,可对f作任意小的扰动,使之和正则子流形Z横截相交.定理1.5.6.n维紧致微分流形均可浸入到R2n中,并且可以嵌入到R2n`1中.证明.设M为n维紧致微分流形,根据我们在前面证明的结果,M可以嵌入到RN中.我们不妨假设M为RN的正则子流形.设vPSN´1为RN中的单位向量.定义投影π:RNÑRN´1为vπpxq“x´xx,vyv,xPRN.v我们将证明,如果Ną2n,则对几乎所有的vPSN´1,π限制在M上为浸入;如v果Ną2n`1,则对几乎所有的v,πv限制在M上为嵌入.先假设Ną2n`1,考虑映射f:MˆM´∆ÑSN´1:fpx,yq“px´yq}x´y}´1,x‰yPM.其中∆“tpx,yqPMˆM|x“yu.由于M为RN的正则子流形,f是光滑映射.因为dimpMˆM´∆q“2nădimSN´1,故f的像在SN´1中为零测集,即几乎所有的单位向量都不在f或´f的像中.对于这样的单位向量v,πv必为单射:如果πvpxq“πvpyq,则πvpx´yq“0,从而x´y“tv,tPR.如果x‰y,则fpx,yq“v或´fpx,yq“v,这和v的选取相矛盾.为了使得π为浸入,我们再考虑另一映射g:TMÑSN´1,gpx,wq“w.其v1中,我们将RN的切空间和它自身等同,而令ďTM“TMĂRNˆRN,TM“tpx,wqPTM|wPTM,}w}“1u,x1xxPMTM是RNˆRN中维数为2n´1的正则子流形,g为光滑映射.如果Ną2n,1则由Sard定理,g的像在SN´1中为零测集,如果v不在g或´g的像中,则 §1.5Sard定理及应用39pπvq˚xpwq“w´xw,vyv‰0,@wPTxM,}w}“1.此时πv为浸入.这已经说明,M可以浸入到R2n中.如果Ną2n`1,则可以选取vPSN´1,使得v不在˘f,˘g的像中,此时πv将M单浸入到RN´1中.如此重复投影,最后就可将M单浸入到R2n`1中.由于M是紧致的,故单浸入必为嵌入.注.如以前所述,Whitney证明了n维微分流形均可嵌入到R2n中,并且可以浸入到R2n´1中.人们猜测,n维微分流形均可嵌入到R2n´αpnq`1中,并可浸入到2n´αpnq中,其中αpnq表示n的二进制展开中1的个数.关于嵌入部分的猜测至今未被解决,关于浸入部分的猜测由Cohen在1982年证明是正确的.下面我们考虑微分流形M上的光滑函数f:MÑR.此时,p为f的临界点意味着f˚p”0.设p为f的临界点,pU,φq为p附近的局部坐标系,φppq“0.记tyiun为坐标函数,则i“1Bf˝φ´1pφppqq“0,1ďiďn.Byi如果f的局部表示f˝φ´1在φppq“0处的Hessian矩阵是非退化的,则称p为f的非退化临界点.不难看出,临界点是否非退化与坐标系的选取无关.如果f的所有临界点都是非退化的,则称f为Morse函数.引理1.5.7(Morse).如果p为光滑函数f:MÑR的非退化临界点,则存在p附近的局部坐标系pU,φq,使得f的局部表示形如f˝φ´1pyq“fppq´py1q2´¨¨¨´pyrq2`pyr`1q2`¨¨¨`pynq2,其中0ďrďn,r称为f在p的pMorseq指标.证明.不妨假设M“Rn,p“0.在前节证明微分流形切空间维数有限时,我们已经知道f可以表示为ÿnfpxq“fp0q`xigpxq,ii“1Bf其中gi为光滑函数,且gip0q“Bxip0q“0,因而f可以继续表示为ÿnfpxq“fp0q`xixjgpxq,iji,j“1gij“gji仍为光滑函数,且矩阵´¯´2¯1Bf1gijp0q“p0q“Hesspfqp0q2BxiBxj2 40第一章微分流形非退化.由下面的引理知,存在0附近的n阶非退化光滑矩阵Ppxq,使得˜¸´¯T´Ir0PpxqgijpxqPpxq“,0In其中r为Hesspfqp0q的负特征值的个数.现在,在新的局部坐标py1,y2,¨¨¨,ynq“px1,x2,¨¨¨,xnqP´1pxq“φpxq下有f˝φ´1pyq“fppq´py1q2´¨¨¨´pyrq2`pyr`1q2`¨¨¨`pynq2.这就证明了Morse引理.引理1.5.8(Hirsch).设Qpxq是定义在0PRn附近的光滑的实对称n阶方阵,如果Qp0q非退化,则存在0附近的n阶非退化光滑矩阵Ppxq,使得˜¸T´Ir0PpxqQpxqPpxq“,0In其中r为Qp0q的负特征值的个数.证明.对n用数学归纳法.n“1时,条件成为Qp0q‰0,因此在0附近´1Qpxq‰0,令Ppxq“|Qpxq|2,则Ppxq为所求1阶非退化矩阵.假设引理对n´1阶方阵成立,考虑n阶方阵Q.不妨假设răn,由线性代数,存在非退化矩阵P0,使得˜¸T´Ir0P0Qp0qP0“.0In令Q1pxq“PQpxqPT,则在0附近Q1pxq在pn,nq位置的元素q1pxq大于零,因00nn此再令1´1P1“diagp1,¨¨¨,1,|qnnpxq|2q则Q2pxq“PQ1pxqPT在pn,nq位置的元素恒为1.考虑矩阵P,它在对角线上全112为1,在对角线以下全为0,在pi,nqpiănq位置为´q2pxq,其中q2pxq表示Q2在inijpi,jq位置的元素,P在其它位置的元素为零,则PQ2PT形如222˜¸Q1001对n´1阶矩阵Q1用归纳假设,最后就得到我们所需结论.推论1.5.9.光滑函数的非退化临界点集是离散的.特别地,紧致流形上光滑函数的非退化临界点只有有限个. §1.5Sard定理及应用41Morse函数可以用来研究微分流形的拓扑结构.利用Sard定理,我们可以证明微分流形上总是存在Morse函数的.定理1.5.10(Morse函数的存在性).设pU,φq为微分流形M上的局部坐标系,紧集KĂU.p1q如果光滑函数f:UÑR在K上的临界点都是非退化的,则存在δą0,使得满足条件}Jpf˝φ´1q´Jpg˝φ´1q}ăδ,}Hesspf˝φ´1q´Hesspg˝φ´1q}ăδ的光滑函数g:UÑR在K上的临界点也都是非退化的;p2q设f:UÑR为光滑函数,则对任意ϵą0,存在光滑函数l:UÑR,使得supplĂU,}Jpl˝φ´1q}ăϵ,}Hesspl˝φ´1q}ăϵ且f`l在K上的临界点都是非退化的.p3q设M为紧致微分流形,f:MÑR为光滑函数,则对任意ϵą0,存在光滑Morse函数g:MÑR,使得|gpxq´fpxq|ăϵ,@xPM.证明.p1q考虑U上的函数}Jpf˝φ´1q}`}Hesspf˝φ´1q},f在K上的临界点非退化当且仅当上述函数在K上不取零值.由于K的紧致性,这等价于上述函数在K上有正下界.因此对f微扰后的光滑函数在K上的临界点也是非退化的.p2q不妨假设U“Rn,φ“id.因为K为紧致集,我们可以取K的开邻域V,使得V¯ĂU仍为紧致集.设ϕ:MÑR为光滑函数,满足以下条件ϕ|V”1,suppϕĂU.对a“pa1,¨¨¨,anqPRn,考虑函数l:RnÑR,lpxq“a1x1`¨¨¨`anxn以及函数fa:UÑR,fapxq“fpxq`ϕpxqlpxq.我们要说明,对于几乎所有的aPRn,f在K上的临界点都是非退化的.事实上,考虑映射F:UÑR,aaBfaBfaFapxq“p,¨¨¨,q,Bx1Bxn 42第一章微分流形Fa其实就是fa的Jacobian.设x0PK,则x0为fa的临界点当且仅当Fapx0q“0.由于ϕ|V”1,这等价于Jfpx0q`a“0;同理,x0非退化当且仅当JFapx0q“Hesspfqpx0q非退化,即Fa“Jf`a在x0处秩为n.根据例1.5.1,对于几乎所有的aPRn,0PRn为Jf`a的正则值,对于这样的a,f在K上的临界点都是非a退化的.p3q重复利用p1q,p2q即可,留作习题.推论1.5.11.设f:MÑR为紧致微分流形M上的Morse函数,则对任意ϵą0,存在Morse函数g:MÑR,使得}gpxq´fpxq}ďϵ,@xPM,且g的临界值互不相同.证明.设xip1ďiďkq为f的临界点,取xi的互不相交的局部坐标邻域Ui,设ϕi为M上的光滑函数,使得ϕi|Vi”1,suppϕiĂUi,其中V为x的开邻域,V¯ĂU.对a“pa1,¨¨¨,akqPRk,考虑光滑函数g:MÑR,iiiiÿkgpxq“fpxq`aiϕ,ii“1ŤŤ由于f在紧致集合M´Vi上没有临界点,故}a}充分小时,g在M´Vi上也ii没有临界点.在V上g“f`ai,因此g的临界点为txu.通过适当选取a,使得iifpxiq`ai‰fpxjq`aj,@i‰j,则g的临界值互不相同.习题1.51.证明,Rn到Rn的可微映射把零测集映为零测集.2.证明,如果R1上一个闭区间被若干开区间所覆盖,则可以从这些开区间中选取有限子覆盖,使得闭区间上的任何一点最多含于该子覆盖的两个开区间中.3.设C为Rn中的闭集,如果对任意cPR,CXRn´1ˆtcu均为Rn´1中零测集,则C为Rn的零测集. §1.6Lie群初步434.试说明从m维微分流形到npmănq维微分流形之间的光滑映射必定不是满射.5.设M为Rn的正则子流形,L为Rn中n´1维子线性空间.证明,存在vPRn,使得pL`vqXM为M的正则子流形.6.设U为Rm中的开集,f:UÑRn.证明,如果ně2m,则对任意ϵą0,存在mˆn的矩阵A,使得}A}ďϵ,且映射g:UÑRn,gpuq“fpuq`Au,uPU为浸入.7.设M为Rn的正则子流形,证明TM为RnˆRn的正则子流形.18.证明,任何非平凡的线性函数f:Rn`1ÑR限制在Sn上都是Morse函数.9.证明,任何微分流形上均在逆紧的Morse函数.x1.6Lie群初步经过前面几节的介绍,我们对于微分流形已经有一些感性认识了.这一节我们继续介绍一类重要的微分流形,它们兼有微分流形的结构和群的结构,并且二者相容.比如,前面我们曾介绍的一般线性群GLpn,Rq和特殊线性群SLpn,Rq就是两个这样的例子.定义1.6.1(Lie群).设G为群,群运算记为µ:GˆGÑG.如果G同时是Cr微分流形,且µ为Cr映射,则称G为CrLie群.注.当G为拓扑空间,且群的乘法和逆运算为连续映射时,称G为拓扑群.如果没有特别申明,下面我们提到的Lie群都是指光滑Lie群.命题1.6.1.p1q设G为Lie群,gPG,则左移映射Lg:GÑG,Lgpxq“gx“µpg,xq,@xPG和右移映射Rg:GÑG,Rgpxq“xg“µpx,gq,@xPG均为微分同胚;p2q乘积映射µ的切映射满足以下关系µ˚pg,hqpXg,Yhq“pRhq˚gXg`pLgq˚hYh. 44第一章微分流形证明.p1q固定gPG,复合映射xÑpg,xqµGÝÝÝÝÝÑGˆGÝÑG为光滑映射,即左移Lg为光滑映射.显然,Lg可逆,且逆映射为左移Lg´1,即逆映射也是光滑的.从而左移映射为微分同胚.同理,右移映射也都是微分同胚.p2q设σ,τ分别为经过g,h的G中的光滑曲线,σ1p0q“X,τ1p0q“Y.则ghµpX,Yq“µpσ,τq1p0q“µpσ,hq1p0q`µpg,τq1p0q˚pg,hqgh“pRhq˚gXg`pLgq˚hYh,这也说明,如果σ,τ是经过单位元ePG的光滑曲线,则pσ¨τq1p0q“σ1p0q`τ1p0q,其中σ¨τ表示群的乘积.推论1.6.2.设G为Lie群,则其逆运算ν:GÑG也是光滑映射.证明.在px0,y0q“pe,eqPGˆG附近考虑以下方程的解µpx,yq“e,由于µpe,¨q˚e“pLeq˚e“id为恒同映射,特别地是非退化的,故由隐映射定理(本章1.2节习题),在e附近上述方程的解y“νpxq“x´1是光滑的,即逆运算ν在单位元e的邻域内光滑.由于´1´1pν˝Lgqpxq“x¨g“pRg´1˝νqpxq故ν是处处光滑的.注意,对于拓扑群来说,仅仅假设群的乘法运算的连续性是不能保证逆运算的连续性的.例1.6.1.欧氏加群.R1看成实数加群,显然,加法运算是光滑的,因此R1为Lie群.同理,Rn在加法运算下也都是Lie群.例1.6.2.单位圆周乘法群.S1看成复平面上的单位圆周,复数乘法在S1上定义了群的运算.复数乘法运算在复平面上是光滑的,因而限制在正则子流形S1上也是光滑的,即S1在此运算下成为Lie群.同理,非零复数全体C˚为复平面上的开集,在复数乘法运算下为Lie群. §1.6Lie群初步45例1.6.3.Lie群的乘积.设G,H为Lie群,则乘积群GˆH也是Lie群.特别地,n维环面Tn为Lie群,这是紧致的交换群.例1.6.4.一般线性群.2记GLpn,Rq“tAPM|detA‰0u.GLpn,Rq为M“Rn中的开集,nˆnnˆn且矩阵的乘积运算的分量关于变量是多元多项式,因而光滑.这说明GLpn,Rq为Lie群.类似地,复n阶非退化方阵的全体GLpn,Cq也是Lie群.例1.6.5.特殊线性群.记SLpn,Rq“tAPGLpn,Rq|detA“1u.我们在本节之前已经证明SLpn,Rq2为Rn及GLpn,Rq的正则子流形,群的乘积运算是从GLpn,Rq上诱导而来,从而群的运算也是光滑的,即一般线性群也是Lie群.例1.6.6.Heisenberg群.考虑形如下面的实3阶方阵全体H¨˛1xz˚‹˚˝01y‹‚,001显然,H与R3微分同胚.矩阵的乘积运算也是光滑的,因此H为Lie群.例1.6.7.三维球面上的Lie群结构.我们在S3上定义群的运算如下:设x“px1,x2,x3,x4q,y“py1,y2,y3,y4qPS3,令x¨y“px1y1´x2y2´x3y3´x4y4,x1y2`x2y1`x3y4´x4y3,x1y3`x3y1`x4y2´x2y4,x1y4`x2y3`x4y1´x3y2q,在这个运算下,单位元和逆元分别为e“p1,0,0,0q,x´1“px1,´x2,´x3,´x4q.这些运算在R4中显然是光滑的,从而限制在正则子流形S3上也是光滑的,即S3为Lie群.注.可以证明,只有n“1,3时,Sn上才有相容的Lie群结构.下面我们研究Lie群之间的同态. 46第一章微分流形定义1.6.2(Lie群同态).设φ:GÑH为Lie群之间的群同态,如果φ为光滑映射,则称φ为Lie群同态.如果Lie群同态是群的同构,则称之为Lie群同构.例1.6.8.行列式作为群同态.考虑群同态det:GLpn,RqÑR˚“R´t0u,在非零实数的全体R˚上定义群的运算为实数的乘法.显然det为Lie群同态.引理1.6.3.Lie群同态的秩为常数.证明.设φ:GÑH为Lie群同态.我们要证明rankgφ“rankeφ,@gPG.事实上,考虑左移映射Lg,因为φ为群同态,故φ˝Lg“Lφpgq˝φ,因此有切映射的等式φ˚g˝pLgq˚e“pLφpgqq˚e˝φ˚e.由于pLgq˚e和pLφpgqq˚e均为同构,故上式表明rankgφ“rankeφ.推论1.6.4.设φ:GÑH为Lie群同态,hPH.则当φ´1phq非空时,它是G的正则子流形,其维数为dimG´rankφ.特别地,kerφ“φ´1peq既是G的子群,又是G的正则子流形.证明.直接利用第二节最后关于常秩映射的定理即可.推论1.6.5.单的Lie群同态必为浸入;满的Lie群同态必为淹没;Lie群同构必为微分同胚,即其逆也是Lie群同构.证明.如果φ:GÑH为单的Lie群同态,则kerφ“t0u,由上面的推论,0“dimkerφ“dimG´rankφ,即rankφ“dimG,φ为浸入.如果φ:GÑH为满的Lie群同态,则由Sard定理,存在φ的正则值hPH,φ´1phq‰H,取gPφ´1phq,则φ为满射,由前面的引˚g理,φ的切映射均为满射,即φ为淹没.如果φ为Lie群同构,则φ的切映射均为同构,由逆映射定理,其逆也是光滑的.定义1.6.3(Lie子群).设H,G为Lie群,HĂG,I:HÑG为包含映射.如果I为单的Lie群同态,则称H为G的Lie子群;如果进一步I为嵌入,则称H为G的闭Lie子群.从上面的推论可知,Lie子群为(浸入)子流形,闭Lie子群为正则子流形;如果φ为Lie群同态,则kerφ为闭Lie子群. §1.6Lie群初步47命题1.6.6.闭的Lie子群作为集合必为闭集.证明.设H为G的闭Lie子群,则H为正则子流形,从而存在G在e附近的局部坐标系pU,ψq,使得HXU“tqPU|ψjpqq“0,jądimHu.取ePG的开邻域W,使得W¯为紧集,且W¯ĂU.再利用群的运算的连续性,取e的开邻域V,使得V´1¨V“tx´1¨y|x,yPVuĂW.设hiPH且hiÑg,我们要证明gPH.事实上,因为g¨V为g的开邻域,故i充分大以后,hiPg¨V,固定一个这样的hi0,则h´1¨hPV´1¨VĂW,i0i´1´1´1´1因此hi0¨hiÑhi0¨gPW¯.由hi0¨hiPHXW及W的选取易见hi0¨gPHXU,从而gPH.因此H为G的闭集.下面我们进一步研究切映射为满射的Lie群同态.我们需要下面的一个关于拓扑群的引理.引理1.6.7.设G为连通的拓扑群,U为单位元e的一个开邻域,则ďUn“G,ně1其中Un“tτ¨τ¨¨¨τ|τPU,1ďiďnu.12ni证明.令V“UXU´1,其中U´1“tτ´1|τPUu.V也是e的开邻域,并且V“V´1.令ďďH“VnĂUn.ně1ně1H为G的子群,下面证明H“G.因为G是连通的,只要说明H既是开集又是闭集即可.H为开集:设σPH,则存在ně1,使得σPVn0.于是0σ¨V“tσ¨τ|τPVuĂVn0`1ĂH,而σ¨V为σ的开邻域,故H为G的开子集.另一方面,每一个σ¨H均为开子集,且ďH“G´σ¨H,σRH从而H也是G的闭子集.由H非空即知H“G. 48第一章微分流形命题1.6.8.设φ:GÑH为Lie群同态.如果H连通,且φ˚e为满射,则φ为满同态.证明.当φ˚e为满射时φ为淹没,因此φ为开映射.特别地,存在ePH的开Ť邻域VĂφpGq.因为H为连通的,由上面的引理,H“VnĂφpGq.ně1如果Lie群同态的切映射为同构,则它具有更多的性质.我们回忆一下复迭空间和复迭映射的概念.设f:XÑY为拓扑空间X,Y之间的连续满射,并且@yPY,存在y的开邻域Vy,使得ďf´1pVq“Uyαα其中Uα为X中互不相交的开集,且f|Uα:UαÑVy均为同胚,则称f为复迭映射,X为Y的复迭空间.当X单连通(基本群为零)时,称X为万有复迭空间.?例1.6.9.考虑Lie群同态exp:R1ÑS1,expptq“e2πit,i“´1.exp为复迭映射.命题1.6.9.设φ:GÑH为连通Lie群之间的Lie群同态.则φ为复迭映射当且仅当切映射φ˚e:TeGÑTeH为同构.证明.设φ:GÑH为复迭映射,则φ为满射,因此是淹没.即φ˚e为满射.另一方面,kerφ“φ´1peq为G的离散子群,从而0“dimkerφ“dimG´dimrankφ,这说明φ˚e也是单射.设φ˚e:TeGÑTeH为同构,由前面的结果知φ既是淹没,又为浸入.因此φ为满射,且为开映射.由kerφ“φ´1peq为0维正则子流形知,存在ePG的开邻域W,使得WXkerφ“teu,且φ|W:WÑφpWq为微分同胚.我们再取ePG的开邻域VĂW,使得V´1¨VĂW.记U“φpVq,则U为ePH的开邻域,下面我们证明ďφ´1pUq“g¨V,gPkerφ且g1‰g2Pkerφ时,g1¨VXg2¨V“H.显然,当gPkerφ时,φpg¨Vq“φpVq“U,且根据V的选取知φ|g¨V:g¨VÑU为微分同胚.另一方面,如果φpgqPU,则存在vPV,使得φpgq“φpvq,从而gv´1Pkerφ.这说明gPpkerφqV.´1如果g1¨VXg2¨V‰H,则存在v1,v2PV,使得g1v1“g2v2,从而g2g1“vv´1PV´1¨V,即g´1gPWXkerφ“teu,g“g.212112最后,我们介绍Lie群在微分流形上的作用. §1.6Lie群初步49定义1.6.4(Lie群作用).设G为Lie群,M为微分流形.如果光滑映射F:GˆMÑM,pg,xqÞÑgxPM,@gPG,xPM满足以下条件p1qex“x,@xPM;p2qg1pg2xq“pg1g2qx,@g1,g2PG,xPM.则称G左方光滑作用于M.我们就这个概念做一些说明:•如果gx“x,@xPM意味着g“e,则称G在M上的作用是有效的.如果对g‰e,gx‰x,@xPM,则称G在M上的作用是自由的.•对于固定的xPM,记Gx“tgPG|gx“xu,Gx为G的子群,称为x处的迷向子群;记Mx“tgx|gPGu,称为经过x的轨道.如果任给x,yPM,均存在gPG,使得gx“y,则称G在M上的作用是可迁的.•对于固定的gPG,映射Fg:MÑM,Fgpxq“gx,@xPM是微分同胚.记DiffpMq为M的微分同胚全体在复合运算下组成的群,则gÞÑFg是从G到DiffpMq的群同态.例1.6.10.Lie群在自身上的作用.Lie群G上的乘积运算GˆGÑG可以看成是Lie群G作用在自身上.如下的映射GˆGÑG,pg,hqÞÑghg´1,g,hPG也定义了一个光滑作用,称为G的伴随作用.例1.6.11.一般线性群在欧氏空间上的作用.GLpn,Rq可自然作用于Rn上:pA,xqÞÑAx,APGLpn,Rq,xPRn.这是一个有效的不可迁作用.命题1.6.10.设Lie群G光滑作用在微分流形M上,则对任意xPM,x处的迷向子群Gx为G的闭Lie子群. 50第一章微分流形证明.设xPM,定义映射如下θ:GÑM,θpgq“gx;ηg:MÑM,ηgpyq“gy.则θ,ηg为光滑映射,且ηg为微分同胚.注意到θ˝Lg“ηg˝θ,故θ˚gh˝pLgq˚h“pηgq˚hx˝θ˚h,hPG.因为左移Lg也是微分同胚,故上式说明rankghθ“rankhθ,@g,hPG.因此θ在G上的秩为常数,G“θ´1pxq为G的正则子流形.显然G为G的子xx群,Gx中群的乘法运算是G中乘法运算在Gx上的限制,因而也是光滑的,这说明Gx为闭的Lie子群.例1.6.12.一般线性群在矩阵加群上的作用.考虑GLpn,Rq在Mnˆn上的作用:pA,KqÞÑAKAT,APGLpn,Rq,KPM.nˆn由刚才的命题,对于任何固定的KPMnˆn,迷向子群GLpn,Rq“tAPGLpn,Rq|AKAT“KuK为GLpn,Rq的闭Lie子群.特别地,当K“In,相应的迷向子群Opnq“tAPGLpn,Rq|AAT“Iun为闭Lie子群,这是实的正交群.根据刚才的命题,其维数为n2´rankθ,其中θ为如下映射θ:GLpn,RqÑM,θpAq“AAT,@APGLpn,Rq.nˆnθ的秩是常数,我们只需在A“In处做计算即可,而在In处θ的切映射为2θ:MÑM,hÞÑh`hT,@hPM“Rn.˚Innˆnnˆnnˆn容易看出rankθ“1npn`1q,因此˚In2211dimOpnq“n´npn`1q“npn´1q.22 §1.6Lie群初步51Opnq是紧致的,且利用实正交矩阵的标准型不难证明它具有两个连通分支O`pnq“tAPOpnq|detA“1u“SOpnqp特殊正交群q,O´pnq“tAPOpnq|detA“´1u.其它的特殊情性有:˜¸0InK“J“,´In0相应的迷向子群为Sppn,Rq“tAPGLp2n,Rq|AJAT“Ju,称为辛群,这是维数为2n2`n的连通Lie群;˜¸´Ir0K“L“,0Isnˆn相应的迷向子群称为Lorentz群.完全类似地,把实数R换成复数C,实矩阵换成复矩阵,我们可以得到许多其它Lie群的例子.例1.6.13.复一般线性群的作用.记Mpn,Cq为n阶复方阵的全体,它可以和Cn“R2n等同.考虑如下作用F:GLpn,CqˆMpn,CqÑMpn,CqpA,KqÞÑAKA˚其中A˚表示矩阵A的共轭转置.于是对任何固定的KPMpn,Cq,迷向子群GLpn,Rq“tAPGLpn,Cq|AKA˚“KuK为闭Lie子群.特别地,K“In时,迷向子群为酉群Upnq“tAPGLpn,Cq|AA˚“Iu,n它是紧致连通的维数为n2维的Lie群,特殊酉群SUpnq“tAPUpnq|detA“1u为它的闭Lie子群.习题1.61.计算Lie群的逆映射的切映射.2.Lie群的含单位元e的连通分支也是Lie群,且Lie群的各分支之间是微分同胚的. 52第一章微分流形3.证明,连通拓扑群的离散正规子群必定含于其中心内.4.证明,拓扑群的基本群是交换群.5.证明,一般线性群GLpn,Rq恰有两个道路分支(提示:考虑矩阵的极分解);证明复的一般线性群GLpn,Cq是道路连通的.6.试说明可逆实上三角n阶方阵的全体组成一个Lie群.7.用例1.6.8说明SLpn,Rq为Lie群,并计算其维数.8.说明Lie群同态的像是Lie子群.9.说明微分流形的复迭空间仍具有自然的微分结构,并且任何为微分流形均存在单连通的复迭流形.10.说明Lie群的复迭空间仍然具有自然的Lie群结构.11.证明SLp2,Rq同胚于D2ˆS1,其中D2为R2中的单位圆盘.12.证明SOp2q与S1微分同胚,SOp3q与RP3微分同胚,SUp2q与S3微分同胚.13.证明Upnq微分同胚于S1ˆSUpnq. 第二章流形上的微积分本章考虑流形上的微积分.在数学分析中,我们研究欧氏空间以及函数或向量值的函数;对于微分流形上的微积分,我们研究的对象是函数的推广,即各种向量丛的截面,特别是张量丛的截面,即张量场.其中,微分形式是一类特殊的张量场,我们将考虑微分形式的积分,并证明微积分的基本定理,即重要的Stokes积分公式.x2.1切丛和切向量场设M为微分流形,我们在前一章定义了切空间和切向量,现在我们进一步把它们整体化.首先定义微分流形的切丛.任给pPM,记TpM为p处的切空间,令ďTM“TpM,pPMTM就是M上所有切向量组成的集合,下面我们在TM上定义拓扑.定义投影映射π:TMÑM为πpXpq“p,@XpPTpM.设pU,φq为M的任一局部坐标系,其坐标函数为txiun,定义映射θ如下i“1ďθ:π´1pUq“TMÑUˆRnppPUXÞÑpp,Xpx1q,Xpx2q,¨¨¨,Xpxnqq.ppppθ为一一满射,它诱导了π´1pUq上的拓扑,使得在这个拓扑下θ为同胚.一般地,设tpUα,φαqu为M的局部坐标覆盖,则我们这样定义TM上的拓扑:V为TM上的开集当且仅当θpVXπ´1pUqq均为开集.不难验证这是TM上定义好的一个αα拓扑,在这个拓扑下π为开映射,TM为A2和T2的.下面我们说明TM具有微分结构.事实上,tpπ´1pUq,pφ,idq˝θqqu就组成ααα一个坐标覆盖,其中复合映射pφ,idq˝θ:π´1pUqÑR2nααXÞÑpφppq,Xpx1q,Xpx2q,¨¨¨,Xpxnqqpppp为π´1pUq上的坐标映射.当UXU‰H时,记αβgβα:UαXUβÑGLpn,RqpÞÑJpφ˝φ´1qpφppqq,βαα53 54第二章流形上的微积分g为光滑映射.简单的计算表明,π´1pUqXπ´1pUq上的坐标转换映射形如βααβrpφ,idq˝θs˝rpφ,idq˝θs´1:φpUXUqˆRnÑφpUXUqˆRnββααααββαβpx,aqÞÑpφ˝φ´1pxq,gpφ´1pxqqaq,βαβαα因而是光滑的.这就说明TM为2n维的光滑流形,并且在上面的微分结构下,投影π是光滑映射.定义2.1.1(切丛).如上定义的微分流形TM称为M的切丛,π称为切丛的投影.有了切丛的概念,我们就可以定义切向量场了.定义2.1.2(向量场).设X:MÑTM为Ck映射,如果π˝X“id为MM上的恒同映射,则称X为M上的Ck切向量场,有时简称向量场.粗略地说,向量场X就是在每一点pPM指定p处的一个切向量Xp的映射.显然,我们可以局部地定义Ck向量场.下面的引理就给出了向量场可微程度的判别办法.引理2.1.1.设M为微分流形,U为M上的开集.则p1qX为U上的Ck切向量场当且仅当对M的任意局部坐标系pV,ψq,ÿnBˇiˇXppq“Xp“appqˇ,pPUXV,Bxipi“1其中ai“Xpxiq为UXV上的Ck函数;p2qX为U上的光滑切向量场当且仅当对任意光滑函数f:UÑR,Xf为U上光滑函数,其中Xfppq“Xpf,pPU.证明.p1q只要将X在TM和M的局部坐标系下写出局部表示即可,细节留给读者.p2q如果X为U上光滑向量场,则对任意局部坐标系pV,φq有ÿnBÿnBf˝φ´1Xf“paiqf“ai,BxiBxii“1i“1即Xf为光滑函数.反之,如果对任意光滑函数f,Xf均为光滑函数,则由于我们只需考虑局部性质,故对于U内的局部光滑函数,Xf也是局部光滑函数.特别地,对于局部坐标函数xi,Xpxiq为局部光滑函数,由p1q即知X是光滑的. §2.1切丛和切向量场55以后我们将看到,切丛是一个特殊的向量丛,而切向量场就是向量丛的一个截面.恒为零的向量场显然是光滑的,这是零截面,它的像是TM的正则子流形且与M微分同胚,有时就用M表示.M上的光滑向量场的全体记为C8pM;TMq.例2.1.1.基向量场.如果txiu为U上的局部坐标函数,则ˇB´1Bˇ:UÑπpUq,pÑˇBxiBxip为U上的局部光滑向量场.例2.1.2.梯度场.Rn上的整体坐标给出了TRn“RnˆRn上的整体坐标,Rn上的向量场X形如Xpxq“px,Xq,xPRn,x其中XPTRn“Rn,因此,我们通常就用映射RnÑRn来表示Rn上的向量场.xx例如,如果f:RnÑR为光滑函数,则BfBfBf∇fpxq“p,,¨¨¨,qBx1Bx2Bxn定义了Rn上的一个向量场,称为f的梯度场.定义2.1.3(Lie括号).设X,Y为M上的光滑向量场,给定pPM,定义rX,Ysf“XpYfq´YpXfq,@fPC8pMq.ppp根据下面的计算,rX,YspPTpM,因而rX,Ys定义了一个新的光滑向量场,称为X和Y的Lie括号积.我们来说明rX,Ysp为切向量.显然,rX,Ysp是线性算子,我们只需验证其导子性质:对于光滑函数f,g,计算如下rX,Ysppfgq“XppYpfgqq´YppXpfgqq“Xppf¨Yg`g¨Yfq´Yppf¨Xg`g¨Xfq“fppqXppYgq`pYpgq¨Xpf`gppqXppYfq`pYpfqXpg´fppqYppXgq´pXpgqpYpfq´gppqYppXfq´pXpfqpYpgq“fppqpXppYgq´YppXgqq`gppqpXppYfq´YppXfqq“fppqrX,Yspg`gppqrX,Yspf. 56第二章流形上的微积分这说明rX,Ysp的确为切向量,对于光滑函数f,rX,Ysf“XpYfq´YpXfq亦为光滑函数,由上面的引理知rX,Ys为光滑向量场.显然,对于局部的光滑向量场,我们也可以定义Lie括号积运算.Lie括号运算具有以下性质:•p反称性和双线性性qrX,Ys“´rY,Xs,rλX`µY,Zs“λrX,Zs`µrY,Zs,@λ,µPR,X,Y,ZPC8pM;TMq;•rfX,gYs“fpXgqY´gpYfqX`fgrX,Ys,其中f,g为任意光滑函数;•pJacobi恒等式qrX,rY,Zss`rY,rZ,Xss`rZ,rX,Yss“0;•rB,Bs“0,其中txiun为局部坐标;BxiBxji“1•设向量场X,Y有如下局部表示ÿnBÿnBX“ai,Y“bj,BxiBxji“1j“1则rX,Ys有如下局部表示ÿnÿnBbjBajBrX,Ys“pai´biq.BxiBxiBxji“1j“1这些性质的证明都是直接的,我们留给读者.这些性质表明,光滑向量场的全体在Lie括号运算下是一个Lie代数.所谓Lie代数是指某个域F上的向量空间V连同运算r,s:VˆVÑVpX,YqÞÑrX,Ys且运算r,s满足以下条件:p1qrX,Ys“´rY,Xs,@X,YPV;p2qrλX`µY,Zs“λrX,Zs`µrY,Zs,@λ,µPF,X,Y,ZPV;p3qrX,rY,Zss`rY,rZ,Xss`rZ,rX,Yss“0,@X,Y,ZPV.如果W为V的子线性空间,且W关于运算r,s是封闭的,则称W为Lie子代数.下面我们考察映射和向量场之间的关系.首先,如果f:MÑN为光滑映射,则定义整体的切映射f˚:TMÑTN如下f˚|TpM“f˚p:TpMÑTfppqN.由切丛上微分结构的定义直接验证f˚为光滑映射,且f˝π“π˝f˚. §2.1切丛和切向量场57定义2.1.4(f相关).设f:MÑN为光滑映射,X:MÑTM,Y:NÑTN分别为M,N上的光滑向量场.如果f˚˝X“Y˝f,则称向量场X与Y是f相关的.注.如果φ是N上的光滑函数,则向量场X与Y是f相关的意味着Xppφ˝fq“Yfppqφ,@pPM.上式也可以改写为Xpφ˝fq“pYφq˝f,这也可以作为f相关的定义.命题2.1.2.设X1,X2为M上的光滑向量场,Y1,Y2为N上的光滑向量场,如果Xi和Yi是f相关的,i“1,2,则rX1,X2s和rY1,Y2s也是f相关的.证明.给定N上的光滑函数φ,我们有如下计算:rX1,X2sppφ˝fq“X1pX2pφ˝fqq´X2pX1pφ˝fqq“X1ppY2φq˝fq´X2pY1φq˝fq“Y1pY2pφqq˝f´Y2pY1pφq˝f“prY1,Y2sφq˝f,即f˚˝rX1,X2s“rY1,Y2s˝f.一般地,如果X为M上的光滑向量场,则f˚˝X不一定是Y上的向量场.如果f:MÑN是微分同胚,则我们可以定义一个“前推”映射,它把M上的向量场映为N上的向量场:如果X为M上的向量场,则令f˚X:NÑTN,qÑf˚f´1pqqXf´1pqq,此时f˚X为N上定义好的光滑向量场,且推论2.1.3.设f:MÑN为微分同胚,X,Y为M上的光滑向量场,则f˚rX,Ys“rf˚X,f˚Ys.例2.1.3.沿曲线的向量场.设σ:IÑM为光滑曲线,Y为M上的切向量场.在区间I上取参数t,则B为I上的光滑向量场,它和Y是σ相关的当且仅当BtY“σ1ptq,tPI.σptq 58第二章流形上的微积分定义2.1.5(积分曲线).设X为光滑向量场,σ:pa,bqÑM为光滑曲线.如果σ1ptq“X,@tPpa,bq,σptq则称σ为X的积分曲线或流线.例2.1.4.矩阵的指数次幂.设APMnˆn,定义A11ne“In`A`A`¨¨¨`A`¨¨¨,2n!则eAPGLpn,Rq.在Rn上定义向量场X如下:AXpvq“Av,vPRn,A则σptq“etAvptPRq为X的积分曲线.0A定理2.1.4(积分曲线的存在惟一性).设X为光滑向量场,则对任意pPM,cPR,存在ϵą0以及惟一的积分曲线σ:pc´ϵ,c`ϵqÑM,使得σpcq“p.证明.取p附近的局部坐标系pU,φq,在U内X可以表示为ÿnBX“ai,Bxii“1其中ai均为U中光滑函数.则在U内σ为经过p的积分曲线当且仅当$’&dii12nx˝σptq“apx˝σ,x˝σ,¨¨¨,x˝σq,dt’%iix˝σpcq“xppq,i“1,2,¨¨¨,n.由常微分方程组解的存在惟一性(参见本书附录)知,这个方程组在局部上的解是存在惟一的.根据常微分方程组的理论,积分曲线σ光滑依赖于c和p.特别地,对于紧致集合K,存在K的开邻域V,以及ϵą0,使得对任意qPV,均存在经过q的积分曲线σq:p´ϵ,ϵqÑM,σqp0q“q.利用常微分方程组解的存在惟一性就得到以下结果定理2.1.5.设X为M上的光滑向量场,pPM.则存在p的开邻域V及ϵą0,使得存在光滑映射ϕ:p´ϵ,ϵqˆVÑM满足以下条件p1qϕp¨,qq是经过q的积分曲线,@qPV. §2.1切丛和切向量场59p2qϕp0,qq“q,@qPV;且当|s|,|t|,|s`t|ăϵ时,如果q,ϕtpqq“ϕpt,qqPV,则ϕs`tpqq“ϕs˝ϕtpqq.p3qϕt:VÑϕtpVq为微分同胚,|t|ăϵ.我们把定理中的tϕtu称为由X生成的一族局部单参数变换群.定义2.1.6(单参数变换群).依赖于参数tPR的一族微分同胚tϕtutPR如果满足下列条件p1qϕ:RˆMÑM,ϕpt,pq“ϕtppq,为光滑映射;p2qϕ0“id;p3qϕs`t“ϕs˝ϕt,@s,tPR.则之称为光滑单参数变换群.如果用Lie群作用的语言来说,则光滑单参数变换群可以看成实数加群R在M上的一个光滑作用.一族光滑的单参数变换群在M上决定了光滑向量场Xppq“pϕpt,pqq1p0q,且ϕp¨,pq是X的经过p的积分曲线.反之,如果向量场X生成了M的单参数变换群,则称X为M上的完备向量场,这等价于说X的积分曲线都可以定义在整个R上.例2.1.5.不完备的向量场.在p0,1q上考虑向量场X“B,则经过tPp0,1q的积分曲线为σptq“t`t,Bt0t00σt0的定义域显然不能为整个R.因此X不是完备的.对于M上的光滑向量场X,记suppX“tpPM|Xppq‰0u,称为X的支集.我们有定理2.1.6.微分流形上具有紧致支集的光滑向量场都是完备的.证明.设X为M上的光滑向量场,且其支集K“suppX紧致.由前面的说明,存在ϵą0以及包含K的开邻域V,使得X生成了局部单参数变换群tϕtu|tPp´ϵ,ϵq,ϕt均为从V到ϕtpVq的微分同胚.我们把ϕt的定义延拓到K之外:ϕtppq“p,pRK. 60第二章流形上的微积分延拓后ϕt的定义是恰当的,且仍为光滑映射.这样我们得到了光滑映射ϕ:p´ϵ,ϵqˆMÑM,使得每个ϕt“ϕpt,¨q都是从M到M的微分同胚.现在我们对于|t|ěϵ定义ϕt.如果|t|ěϵ,我们把t写成如下形式ϵϵt“kpq`r,k为整数,|r|ă.22令$&ϕϵ˝¨¨¨ϕϵ˝ϕr,kě0时ϕϵ复合k次,222ϕt“%ϕ´ϵ˝¨¨¨ϕ´ϵ˝ϕr,kă0时ϕ´ϵ复合´k次.222则可以验证tϕtu是定义好的由X生成的单参数变换群.推论2.1.7.紧致微分流形上的光滑向量场都是完备的.利用(局部)单参数变换群我们可以重新给出向量场的Lie括号积的一个解释.设X,Y为M上的光滑向量场,X生成的局部单参数群为tφtu.对pPM,定义ˇpφ´sq˚Yφpsq´YpdˇpLXYqppq“lim“ˇpφ´sq˚Yφpsq,sÑ0sdts“0其中极限是在切空间TpM中求的,我们称LXY是Y关于X的Lie导数.引理2.1.8.设f:p´ϵ,ϵqˆMÑR为光滑函数,且fp0,pq“0,@pPM.则存在光滑函数g:p´ϵ,ϵqˆMÑR,使得Bffps,pq“sgps,pq,gp0,pq“p0,pq,@pPM.Bs证明.由微积分基本公式,有ż1dfps,pq“fps,pq´fp0,pq“fpst,pqdt0dtż1B“sfpst,pqdt0Bs“sgps,pq.ż1BBf其中gp0,pq“fp0,pqdt“p0,pq.0BsBs定理2.1.9.设X,Y如上,则p1qLXY“rX,Ys;p2q设h:MÑM为微分同胚,则h˚X“Xðñφs˝h“h˝φs,@s. §2.1切丛和切向量场61证明.p1q对任意pPM,设f为p附近的光滑函数,由上面的引理,f˝φt´f“tgt,g0“Xf.我们计算如下:pφ´sq˚Yφpsq´YppLXYqppqf“limfsÑ0s1“limrYφpsqpf˝φ´sq´YpfssÑ0s1“limrYφpsqpfq´Ypfs´limYφpsqpg´sqsÑ0ssÑ01“limrYfpφpsqq´Yfppqs´Yppg0qsÑ0s“XppYfq´YppXfq“rX,Yspf.p2q考虑M上的微分同胚族th˝φ˝h´1u,这仍为单参数变换群,且由向量场th˚X生成,因此h˚X“X当且仅当h˝φ˝h´1“φ,tt即h和φt均可交换.推论2.1.10.设X,Y如上,Y生成的局部单参数变换群为tψtu,则p1qrX,Ys“0当且仅当pφsq˚Y“Y,@s;p2qrX,Ys“0当且仅当φs˝ψt“ψt˝φs,@s,t.证明.p1q如果pφsq˚Y“Y,则由Lie导数的定义,pφ´sq˚Yφpsq´YpYp´YppLXYqppq“lim“lim“0.sÑ0ssÑ0s反之,如果rX,Ys“0,则TpM中的曲线ppφtq˚Yqp关于t的导数为零,因而恒为Yp,即pφtq˚Y“Y.p2q利用p1q和上面定理中的p2q即可.下面我们用上述结果研究Lie群.定义2.1.7.设M为微分流形,如果存在光滑映射f:TMÑMˆRn,使得对任意pPM,f|:TMÑtpuˆRn为线性同构,则称M是可平行化的.TpMp引理2.1.11.如果M可平行化,则映射f为微分同胚;并且M可平行化当且仅当M上存在处处线性无关的n个光滑切向量场.证明.设M是可平行化的,f:TMÑMˆRn为可平行化映射.由定义,f是光滑的一一满射.下面说明f是非退化的,即f˚总是满射,这样由逆映射定理 62第二章流形上的微积分即知f为微分同胚.事实上,任取XpPTM,记fpXpq“pp,vq,根据定义,显然fpTTMqĄt0uˆTRn.另一方面,记π:MˆRnÑM为向M的投影,则˚XpXpv1π1˝f“π.由于π˚为满射,故pπ1q˚˝f˚XppTXpMq“TpM,这说明f˚为满射.设M可平行化,则f为微分同胚,记teun为向量空间Rn的一组基,令ii“1X:MÑTM,Xppq“f´1pp,eq,pPM,iii则tXun为M上处处线性无关的光滑向量场.ii“1反之,如果tXun为M上处处线性无关的光滑向量场,则对任意XPTM,ii“1pXp可表示为ÿnX“aippq¨Xppq.pii“1令f:TMÑMˆRn,fpXq“pp,a1ppq,a2ppq,¨¨¨,anppqq,pf就是可平行化映射.下面我们说明Lie群都是可平行化的.设G为Lie群,给定单位元e处的切向量Xe,令Xpgq“pLgq˚Xe,gPG.则Xpgq为g处切向量,且pLhq˚Xpgq“pLhq˚pLgq˚Xe“pLhgq˚Xe“Xphgq,@hPG.映射gÑXpgq定义了G上的向量场X,且pLhq˚X“X,称之为G上的左不变向量场.命题2.1.12.p1qLie群G上的左不变向量场为光滑向量场;p2q左不变向量场都是完备的向量场;p3q左不变向量场的Lie括号积仍为左不变向量场;p4qLie群都是可平行化的.证明.p1q设XePTeG生成的左不变向量场为X,任给G上的光滑函数f,有Xfpgq“Xpgqf“pLgq˚Xef“Xepf˝Lgq,gPG.取经过e的光滑曲线σ:IÑG,使得σ1p0q“X,则eˇˇBˇBˇXfpgq“ˇfpgσptqq“ˇf˝µpg,σptqq,Btt“0Btt“0其中µ是G上的乘积运算.复合函数f˝µpg,σptqq是GˆI上的光滑函数,因而Xf为G上的光滑函数,即X为光滑向量场. §2.1切丛和切向量场63p2q如果σ为左不变向量场X的积分曲线,则pLgq˝σ也是X的积分曲线,特别地,如果t1,t2PI,t1`t2PI,则σpt1qσpt2q“σpt1`t2q.由此易见σ的定义域可以延拓到整个R上,即X为完备的光滑向量场.p3q设X,Y为左不变向量场,则pLgq˚rX,Ys“rpLgq˚X,pLgq˚Ys“rX,Ys,@gPG.因此rX,Ys也是左不变向量场.p4q取TG的一组基tXun,它们生成的左不变向量场tXun是处处线性eiei“1ii“1无关的光滑向量场,因此G是可平行化的.根据这个命题,我们可以在TeG上定义Lie代数运算r,s:设Xe,YePTeG,它们分别生成左不变向量场X,Y,定义rXe,Yes“rX,Yse,pTeG,r,sq是有限维Lie代数,有时记为g.定义2.1.8(指数映射).设G为Lie群,任取XePTeG,Xe生成左不变向量场X,X生成的单参数变换群为tφtutPR.令exp:TeGÑG,exppXeq“φ1peq“φp1,eq,称exp为G的指数映射.指数映射有以下简单性质:命题2.1.13.设XPTeG,则p1qexpptXq“φpt,eq,tPR;p2qexpppt1`t2qXq“exppt1Xq¨exppt2Xq,t1,t2PR;p3qexpp´tXq“pexpptXqq´1,tPR;p4q指数映射exp为光滑映射,且切映射exp˚0:T0g“gÑTeG“g为恒同映射,从而exp在0Pg附近为微分同胚.证明.p1q如果X生成的单参数变换群为tφsusPR,则tX生成的单参数变换群为tφtsusPR.因此,由指数映射的定义,有expptXq“φtpeq“φpt,eq.p2q由p1q得expppt1`t2qXq“φpt1`t2,eq“φt1peqφt2peq“exppt1Xq¨exppt2Xq. 64第二章流形上的微积分p3q在p2q中令t1“t,t2“´t即可.p4qexp的光滑性是由积分曲线对参数的光滑依赖性决定的.我们将TeG在原点0处的切空间和自身等同,设XPTeG,则σptq“tX为TeG中的光滑曲线,且σ1p0q“X,于是ˇˇdˇdˇexp˚0X“ˇexppσptqq“ˇφpt,eq“X,dtt“0dtt“0即exp的切映射在0处为恒同映射.例2.1.6.单位圆周的指数映射.S1“teiθPC|θPRu,S1按复数的乘法成为Lie群.在单位元1处,S1的切空间为TS1–tiθ|θPRu–R,θ生成的单参数变换群为φpt,gq“geitθ,tPR,1gPS1.因此,S1在1处的指数映射为exp:RÑS1,exppθq“eiθ.例2.1.7.一般线性群GLpn,Rq的指数映射.2在单位元I处,其切空间为M“Rn,为了强调它是Lie代数,通常把切nnˆn空间记为glpn,Rq.设APglpn,Rq,A决定的左不变向量场记为XA.设σ是从In出发的GLpn,Rq中光滑曲线,σ1p0q“A,则ˇdˇXApBq“ˇB¨σptq“B¨APTBGLpn,Rq“Mnˆn.dtt“0设τptq是经过In的XA的积分曲线,则dτptq“XApτptqq“τptq¨A,τp0q“In.dt这个方程有惟一的解τptq“etA,tPR.因此指数映射为exp:glpn,RqÑGLpn,Rq,exppAq“eA.下面计算glpn,Rq中的Lie代数运算r,s.设A,BPglpn,Rq,A,B生成的单参数变换群分别为φpt,Pq“P¨etA,ψpt,Pq“P¨etB,PPGLpn,Rq.因此ˇdˇrA,Bs“ˇpφ´sq˚pXBpφsqqdss“0ˇdˇ´sA“ˇrXBpφsq¨esdss“0ˇdˇsA´sA“ˇre¨B¨eqdss“0“A¨B´B¨A. §2.2可积性定理及应用65习题2.11.证明TM总是可定向的微分流形.2.证明,切丛的投影π:TMÑM为光滑淹没.3.证明,任给M中的光滑曲线σ,总存在TM中的光滑曲线σ˜,使得π˝σ˜“σ.4.将恒为零的向量场看成从M到TM的映射,说明这是一个嵌入.5.验证我们所列举的向量场的Lie括号积的性质.6.验证整体切映射f˚的光滑性.7.设Xp,Xq分别是M上两点p,q处的切向量.证明,存在M上的光滑向量场X,使得Xppq“Xp,Xpqq“Xq.8.在流形M上任取两点p,q,证明存在M到自身的微分同胚f,使得fppq“q.9.说明指数映射e:MnˆnÑGLpn,Rq为光滑映射.10.将Lie导数看成C8pM;TMq的算子,证明rL,Ls“L,@X,YPC8pM;TMq.XYrX,Ys11.设h:MÑN为微分同胚,M上的向量场生成的局部单参数变换群tϕtu,则N上的向量场hX生成的单参数变换群为th˝ϕ˝h´1u.˚t12.计算酉群Upnq和特殊线性群SLpn,Rq,SLpn,Cq的Lie代数.x2.2可积性定理及应用这一节我们利用向量场来研究子流形,我们的目的之一是将前一节中向量场及其积分曲线的理论推广到多个向量场的情形,并用所得结果进一步研究Lie群.引理2.2.1.设X为微分流形M上的光滑向量场,pPM.如果Xppq‰0,则存在p附近的局部坐标tyiun,使得在p附近i“1BX“.By1 66第二章流形上的微积分证明.通过选取p附近的局部坐标,不妨设M“Rn,p“0.向量场X在p附近决定了单参数变换群thtutPp´ϵ,ϵq,ht:VÑhtpVq为微分同胚.在p“0附近X可以表示为ÿnBX“ai¨,Bxii“1因为Xppq‰0,不妨设a1ppq‰0.记V1“tpx2,¨¨¨,xnq|p0,x2,¨¨¨,xnqPVu,考虑如下映射φ:p´ϵ,ϵqˆV1ÑM,φpt,x2,¨¨¨,xnq“hp0,x2,¨¨¨,xnq.t显然,φp0,x2,¨¨¨,xnq“p0,x2,¨¨¨,xnq,φ在p“0处的Jacobian为¨˛a1p0q0¨¨¨0˚‹˚..‹Jφp0q“˚.‹,˝‚anp0qIn´1因此φ在0附近秩为n.由逆映射定理,φ在0附近为微分同胚.由于φB“X,˚Bt故利用φ´1作为p附近的局部坐标映射,重新把它的第一个坐标函数记为y1,则X“B.By1这个引理说明非零的向量场局部上可以看成是坐标向量场.如果X,Y均为p附近的局部光滑向量场,且X,Y在p处线性无关,则是否X,Y可以同时看成坐标向量场?我们知道,坐标向量场之间的Lie括号积为零,因此一个必要的条件就是rX,Ys“0.仍然利用单参数变换群,我们说明这也是必要条件.引理2.2.2.设X1,¨¨¨,Xk为M上的光滑向量场,pPM.如果Xip1ďiďkq在p处线性无关,且rX,Xs“0,1ďi,jďk,则存在p附近的局部坐标tyiun,iji“1使得BXi“,1ďiďk.Byi证明.为了简单起见,我们象刚才的引理一样,设M“Rn,p“0.通过适当地调整坐标次序,不妨设BBtX1ppq,¨¨¨,Xkppq,Bxk`1|p,¨¨¨,Bxn|pu为TpM的一组基.记向量场X生成的局部单参数变换群为φi,1ďiďk.由rX,Xs“0以及itij前节定理和推论,φi˝φj“φj˝φi,@s,t.考虑映射sttsφ:p´ϵ,ϵqkˆRn´kÑMpt,¨¨¨,t,xk`1,¨¨¨,xnqÞÑφ1˝¨¨¨φkp0,¨¨¨,0,xk`1,¨¨¨,xnq.1kt1tk §2.2可积性定理及应用67显然,φpBq“X,由φi˝φj“φj˝φi又可以知道φpBq“X,1ďiďk.˚Bt11stts˚Btii因为φp0,¨¨¨,0,xk`1,¨¨¨,xnq“φ1˝¨¨¨φkp0,¨¨¨,0,xk`1,¨¨¨,xnq00“p0,¨¨¨,0,xk`1,¨¨¨,xnq,因此φpBq“B|,l“k`1,¨¨¨,n.这说明φ在0附近秩为n.由逆映射定理,˚0BxlBxl0φ在0附近为微分同胚.利用φ´1作为p附近的局部坐标映射就得到欲证结果.设M为微分流形.M上的一个分布(distribution)D是指将每一点pPM都映为TpM的一个k维线性子空间Dppq的一个映射,k称为此分布的秩.如果对任意pPM,均存在p的开邻域U以及U上的光滑向量场X1,¨¨¨,Xk,使得Dpqq由X1pqq,¨¨¨,Xkpqq张成,@qPU,则称D为光滑分布.设D为光滑分布,X为光滑向量场.如果对任意pPM,均有XppqPDppq,则称X属于分布D,记为XPD.如果对于任意两个属于D的光滑向量场X,Y,均有rX,YsPD,则称D为对合(involutive)分布,或可积分布.设i:NÑM为单浸入,D为光滑分布.如果对任意pPN,均有i˚ppTpNq“Dpippqq,则称pN,iq为分布D的积分流形.显然,如果分布D由向量场X生成,则积分曲线即为积分流形.下面我们考虑一般的光滑分布.不难看出,如果对任意的pPM,均存在经过p的积分流形,则D是对合分布.反之,我们有定理2.2.3(Frobenius).设D为M上秩为k的对合分布,则对任意pPM,存在p附近的局部坐标系tpV,ψqu,使得形如下面的坐标片psliceqtqPV|ylpqq“c,c为常数,l“k`1,¨¨¨,null均为D的积分流形,并且如果pN,iq为D的一个连通积分流形,ipNqĂV,则ipNq含于如上某个坐标片中.证明.固定pPM,在p附近存在光滑向量场X1,¨¨¨,Xk,使得D“spantX1,¨¨¨,Xku.设txiun为p附近的局部坐标,向量场X可表为i“1iÿnBjXipqq“aipqqj|q.Bxi“1`˘因为tXuk线性无关,我们不妨假设k阶方阵A“aj在p的开邻域Uii“1i1ďi,jďk上可逆.令pY,¨¨¨,YqT“A´1¨pX,¨¨¨,XqT,1k1k 68第二章流形上的微积分则仍有D“spantY1,¨¨¨,Yku,且BYipqq“i|q`Zipqq,i“1,¨¨¨,k,qPU.(2.1)Bx其中,Z为U上的光滑向量场,且不含Bpjďkq分量,即iBxjZpxjq“0,jďk.i由等式BBrYi,Yjs“rBxi`Zi,Bxj`ZjsBB“rBxi,Zjs`rZi,Bxjs`rZi,Zjs知rY,Ys亦不含Bplďkq分量.另一方面,D为对合分布,ijBxlrYi,YjsPspantY1,¨¨¨,Yku.由p2.1q知rYi,Yjs“0,@1ďi,jďk.由上面的引理,在p附近存在局部坐标邻域pV,ψq,使得在V上有BYi“,1ďiďk.Byi从而根据积分流形的定义,如下的坐标片(cl为常数)tqPV|ylpqq“c,j“k`1,¨¨¨,nul均为D的积分流形.最后,如果pN,iq为D的连通积分流形,ipNqĂV,考虑复合映射iψnπn´kNÝÑVÝÑψpVqĂRÝÑR,其中π:RnÑRn´k为投影πpx1,¨¨¨,xnq“pxk`1,¨¨¨,xnq.因为πB“0,i“1,¨¨¨,k,故pπ˝ψ˝iq“0.因为N连通,故π˝ψ˝i为常值˚Bxi˚映射,从而ipNq必定含于如上某个坐标片中.如果pN,iq为积分流形,N是连通的且不是另一积分流形的真子集,则称pN,iq为极大积分流形.可以证明,对于光滑对合分布,存在经过给定点的惟一极大积分流形,使得经过该点的任何连通积分流形均含于此极大积分流形中.下面,我们利用这些结论进一步研究Lie群. §2.2可积性定理及应用69命题2.2.4.设φ:HÑG为Lie群同态,则p1q切映射φ˚e:hÑg为Lie代数同态,即保持r,s运算;p2qφ˝exp“exp˝φ˚e,即下列图表可交换:φ˚ehÝÝÝÝÑg§§§§expđđexpφHÝÝÝÝÑGp3q如果H为连通Lie群,φ1,φ2:HÑG均为Lie群同态,则当pφ1q˚e“pφ2q˚e时φ1“φ2.证明.p1q设XePh,Xe生成的左不变向量场记为X,Ye“φ˚eXe生成的左不变向量场记为Y,则φ˚gX“φ˚gpLgq˚eXe“pφ˝Lgq˚eXe“pLφpgq˝φq˚eXe“pLφpgqq˚eYe“Yφpgq.即X和Y是φ相关的.根据前节命题2.1.2,φ相关的向量场的Lie括号积仍为φ相关的,从而由Lie代数的定义知φ˚保持Lie括号运算.p2q设XePh,Xe生成的经过单位元的积分曲线为σ,则由p1q的证明知,φ˝σ为φ˚eXe生成的积分曲线,于是由指数映射的定义知φ˝exppXeq“φ˝σp1q“exp˝φ˚eXe.p3q如果pφ1q˚e“pφ2q˚e,则由p2q即知φ1˝exp“φ2˝exp:hÑG.因为指数映射在0附近是微分同胚,故存在ePH的开邻域U,使得φ1|U“φ2|U.因为H连通,根据引理1.6.7,ďUn“H.ně1因为φ1,φ2为同态,这说明φ1“φ2.这个命题说明,Lie子群的Lie代数可看成一个Lie子代数.反之,我们有命题2.2.5.设g为Lie群G的Lie代数.如果h为g的Lie子代数,则存在惟一的连通Lie子群pH,φq,使得φ˚epTeHq“h.证明.设h维数为k,取它的一组基为X1,¨¨¨,Xk,它们生成的左不变向量场仍记为X1,¨¨¨,Xk,这些左不变向量场张成了G上的一个分布D. 70第二章流形上的微积分D是对合分布.事实上,设X,Y是属于D的光滑向量场,则X,Y可以表示为ÿkÿkX“aiX,Y“biX,iii“1i“1其中ai,bi均为光滑函数.从而有ÿkrX,Ys“taibjrX,Xs`aiXpbjqX´bXpaiqXu.ijijjjii,j“1因为h为Lie子代数,故rX,XsPspantXuk,这说明rX,YsPD.ijll“1设pH,φq为经过e的极大积分流形,任取σPφpHq.由于分布D在左移下不变,故pH,Lσ´1˝φq仍为经过e的积分流形,从而Lσ´1˝φpHqĂφpHq.特别地,σ´1PφpHq.同理,当σ,τPφpHq时,στPφpHq.这就说明φpHq为G的子群.为了说明pH,φq为Lie子群,只要说明映射α:HˆHÑH,αpσ,τq“στ是光滑的即可.注意到映射β:HˆHÑG,βpσ,τq“µpφpσq,φpτqq为光滑映射,其中µ为G中乘积运算,由β“φ˝α不难看出α也是光滑映射(参见本节习题).这说明pH,φq为G的Lie子群,且显然φ˚pTeHq“h.惟一性:设pK,ψq为G的另一连通Lie子群,ψ˚epTeKq“h,则pK,ψq也是经过e的积分流形,由pH,φq的极大性知ψpKqĂφpHq,从而(见习题)存在光滑映射f:KÑH,使得ψ“φ˝f,f为单的Lie群同态.因为dimK“dimH,因此f也是满的同态,从为Lie群同构.定理2.2.6.设g,h分别为Lie群G,H的Lie代数,如果G是单连通Lie群,ψ:gÑh为Lie代数同态,则存在惟一的Lie群同态φ:GÑH,使得φ˚e“ψ.证明.只要证明存在性即可.为此,考虑乘积Lie群GˆH,其Lie代数为g‘h.显然,tpX,ψpXqqPg‘h|XPgu为g‘h的Lie子代数.因此存在GˆH的Lie子群pG1,φ1q,使得φ1pTG1q“tpX,ψpXqqPg‘h|XPgu.˚ee记π1:GˆHÑG,π2:GˆHÑH分别为向分量G,H的投影同态,则π˝φ:G1ÑG为同态,且其切映射为满同1态.由于dimG1“dimG,故切映射是线性同构.根据第一章最后一节的结果,我们 §2.2可积性定理及应用71知道π1˝φ为复迭映射.由于G是单连通的Lie群,故此复迭映射是一一的,即为Lie群同构.令φ“π˝φ1˝pπ˝φ1q´1:GÑH,21则φ即为满足要求的Lie群同态.推论2.2.7.两个单连通的Lie群是同构的当且仅当它们的Lie代数同构.这个推论表明,单连通的Lie群由其Lie代数惟一决定.由Lie代数的表示理论可知,每一个有限维的Lie代数均可视为某个一般线性群的Lie代数的子代数,因而也是某个Lie群的Lie代数.因此,单连通Lie群的分类等价于Lie代数的分类.定理2.2.8(Cartan).设A为Lie群G的子群.如果A为闭集,则A上有惟一的微分结构,使之成为G的闭Lie子群.证明.先证明微分结构的存在性.令a“tXPg|expptXqPA,@tPRu.显然,0Pa,并且当XPa时tXPa,@tPR.如果X,YPa,则由(见习题)exppsXqexppsYq“exppspX`Yq`Ops2qq知ttnlimpexpX¨expYq“expptpX`Yqq,@tPR.nÑ8nn上式用到A是闭子集以及关于群的运算是封闭的.这说明X,YPaùñexpptpX`YqqPA,@tPRùñX`YPa.从而a为g的子线性空间.任取a在g中的补空间,记为b,考虑光滑映射α:aˆbÑG,αpX,Yq“exppXq¨exppYq.根据指数映射的性质知α在p0,0q处秩为n“dimG,从而分别存在0Pa和0Pb的开邻域U,V,使得α|UˆV为微分同胚,其像为ePG的开邻域W.断言:V可以取得充分小,使得AXexppVq“teu.(反证法)假若不然,则存在一列YiPV,Yi‰0,YiÑ0且exppYiqPA.通过选取子列以及tją0,tjÑ0,可´1设tjYjÑY‰0,YPb.对任意tą0,有´1´1rttsexpptYq“expplimrtjtsYjq“limpexpYjqjPA,jÑ8jÑ8 72第二章流形上的微积分其中,rt´1ts表示不超过t´1t的最大整数.由于expp´tYq“pexptYq´1,因此YPa.jj这和YPb以及Y‰0相矛盾.现在我们假设V是充分小的邻域,则对任意σPAXW,σ可写为σ“expX¨expY,XPU,YPV.由expXPA知expYPA,从而Y“0,即σ“expX.当U,V取得充分小时,exp´1|为微分同胚,此时WAXW“exp´1pUq这说明在e附近A为G的正则子流形.因为A为子群,故在任意点附近A也为正则子流形,从而A为G的闭Lie子群.显然,A的Lie代数为a.惟一性:如果A上另有微分结构,使得A为G的Lie子群,则A的含有单位元e的连通分支为一个积分流形.不难证明,A的Lie代数也是a,因此惟一性由积分流形的惟一性可得.定理2.2.9.p1q设φ:RÑG是从加法群R到Lie群G的连续同态,则φ必为光滑Lie群同态;p2q设ψ:HÑG为Lie群之间的连续同态,则ψ为光滑Lie群同态.证明.p1q先设φp1q‰e.因为φ为连续同态,故当m充分大时,存在惟一的XmPg,使得1expXm“φpq,m且XmÑ0,mÑ8.通过选取子列以及tmą0,tmÑ0,可设limt´1X“XPg,X‰0.mmmÑ8于是对任意tą0,有tX“limtt´1X“limrt´1tsX,mmmmmÑ8mÑ8因而expptXq“expplimrt´1tsXqmmmÑ8“limexpprt´1tsXqmmmÑ8´1“limpexpXqrtmtsmmÑ81rt´1ts“limpφpqqmmÑ8m1´1t“limφprtmtsq“limφpq.mÑ8mmÑ8mtm §2.2可积性定理及应用73注意到exppmXmq“φp1q‰e,故mXmÛ0,从而mtmÛ0.通过选取子列,不妨设1lim“cPR,mÑ8mtm则由上面的计算,得φpctq“expptXq,@tą0.这也说明c‰0,因此φptq“expptc´1Xq,@tą0.因为φ为同态,故上式对任意tPR均成立,特别地,φ是光滑同态.如果φ:RÑG为任意非平凡连续同态,则存在α‰0,使得φpαq‰e.考虑加群同构lα:RÑR,lαpxq“αx,xPR,复合同态φ˝lα为连续同态,且φ˝lαp1q‰e,根据刚才的证明,φ˝lα是光滑的,从而φ也是光滑的.p2q利用指数映射及p1q,细节留作习题.根据这个定理我们知道,在C0Lie群上至多存在一个相容的微分构造使之成为光滑Lie群.反之,Gleason,Montgomery和Zippen解决了Hilbert的第五问题,证明了,在每个C0群上都存在一个相容的微分构造使之成为光滑Lie群.习题2.21.设D为M上的光滑分布,如果对任意的pPM,均存在经过p的积分流形,则D是对合分布.2.设pN,φq为积分流形,如果f:SÑM为微分流形之间的光滑映射,且fpSqĂφpNq,则存在惟一的光滑映射g:SÑN,使得f“φ˝g.3.设g为Lie群的Lie代数,当X,YPg,tPR充分小时,证明exptX¨exptY“expttpX`Yq`Opt2qu.4.条件同上,证明expp´tYqexpp´tXqexpptYqexpptXq“exptt2rX,Ys`Opt3qu.5.证明,连通Lie群为交换群当且仅当它的Lie代数是平凡的,即r,s“0. 74第二章流形上的微积分6.对1维连通Lie群加以分类.7.补上本节最后定理中第二部分的证明.´18.证明,如果PPGLpn,Rq,则ePAP“PeAP´1;如果AB“BA,则eAeB“eA`B“eBeA.9.证明deteA“etrA,并找一个行列式大于零矩阵B,使得BRexppglpn,Rqq.x2.3向量丛和纤维丛在前两节我们定义了切丛,研究了切丛的截面,即向量场.切丛是一种特殊的微分流形:p1q切丛局部上是乘积空间,且乘积空间的第二个分量为线性空间;p2q切丛的局部坐标转换映射保持第二个分量的线性性.下面我们考虑这种流形的推广.定义2.3.1(向量丛).设E,M为微分流形,π:EÑM为光滑满射.如果存在M的开覆盖tUu以及微分同胚ψ:π´1pUqÑUˆRk满足下面的条件ααααp1qψpπ´1ppqq“tpuˆRk,@pPU;ααp2q当UαXUβ‰H时,存在光滑映射gβα:UαXUβÑGLpk,Rq,使得ψ˝ψ´1pp,vq“pp,gppqvq,@pPUXU,vPRk.βαβααβ则称E为M上的向量丛,k为该向量丛的秩,π为丛投影,E和M分别称为总空间和底空间.我们也把ψ称为局部平凡化,g为连接函数.我们还称π´1ppq“E为pαβαp上的纤维,根据定义中的条件p1q,纤维π´1ppq中还可自然地定义线性结构,使之线性同构于Rk,并且由条件p2q,这样的线性结构由GLpk,Rq加以保持,我们把GLpk,Rq称为结构群.如果存在闭的Lie子群H,使得gβαppqPH,@pPUαXUβ,则称结构群可约化到子群H.在向量丛的定义中,连接函数处于非常重要的地位,这些连接函数满足如下一些性质:gαα“1,@Uα;gβα¨gαγ¨gγβ“1,@UαXUβXUγ‰H.特别地,g“pgq´1.反之,如果有这样一族光滑函数tgu满足上述条件,则定αββαβα义商空间žE“pUˆRkq{s,αα §2.3向量丛和纤维丛75其中,等价关系s定义如下:任给pp,vqPUˆRk,pq,wqPUˆRk,规定αβpp,vqspq,wqðñp“q,w“gβαppqv.E的拓扑由商拓扑给出.用rp,vs表示pp,vq的等价类,定义投影π:EÑM为πprp,vsq“p.则不难验证E在投影π之下成为M上的向量丛.例2.3.1.平凡向量丛.令E“MˆRk,π:EÑM是向第一个分量的投影.则显然,E为M上的向量丛,其平凡化为恒同映射,连接函数恒为1(单位矩阵).例2.3.2.流形的切丛.Ť设M为微分流形,其切向量的全体组成的空间TM“TpM连同投影pPMπ:TMÑM满足上面向量丛的条件,这是秩为dimM的向量丛.例2.3.3.实投影空间RPn上的秩为1的向量丛.令E“tpv,rwsqPRn`1ˆRPn|DλPR,使得v“λwu.E是乘积流形Rn`1ˆRPn的子集,其拓扑定义为子拓扑.定义自然投影π:EÑRPn为πppv,rwsqq“rws.则E是RPn上秩为1的向量丛.事实上,令U“trw1,¨¨¨,wn`1sPRPn|wj‰0u,j“1,2,¨¨¨,n`1.则定义jψ:π´1pUqÑUˆR为jjjψpv,rwsq“prws,vjq,rwsPU,pv,rwsqPE.jjψj为微分同胚,且当i‰j时,wi´1ψi˝ψjprws,aq“prws,jaq,rwsPUiXUj,aPR.w因此连接函数gij:UiXUjÑGLp1,Rq为gprwsq“wi{wj,ij这是光滑映射.因此E是RPn上光滑向量丛.我们有时把秩为1的向量丛称为线丛.上例也可推广到秩不是1的情形.定义2.3.2(截面).设E为M上的光滑向量丛,π:EÑM为丛投影.如果Cr映射σ:MÑE满足条件π˝σ“id,即σppqPπ´1ppq,@pPM,则称σ为E的一个Cr截面. 76第二章流形上的微积分向量丛E上Cr截面的全体记为CrpM;Eq,当我们不强调可微性时,也记为ΓpM;Eq.截面也可以局部定义,即只定义在M上的开集中.把任何pPM映为纤维E中零向量的映射是一个特殊的截面,称为零截面.我们也可以在CrpM;Eqp中自然地定义加法和数乘运算,使之称为向量空间,零截面是这个空间中的零元.例2.3.4.平凡向量丛的截面.映射s:MÑMˆRk为截面当且仅当s形如sppq“pp,fppqq,pPM,其中,f:MÑRk为M上的Cr向量值函数.可见,截面实际上是函数和向量值函数的推广,今后我们研究的对象也大多是各种向量丛的截面.例2.3.5.切丛的截面.按照我们的定义,切丛的截面就是M上的切向量场.我们有时也把一般向量丛的截面称为向量场.按照向量丛的定义,向量丛在局部上总可以看成平凡丛,因此截面都有所谓的局部表示.设σ:EÑM为截面,tψαu为局部平凡化,则ψαpσppqq“pp,σαppqq,@pPUα.其中,σ为U到Rk的映射,且当UXU‰H时,有αααβσβppq“gβαppq¨σαppq,@pPUαXUβ.反之,满足上述条件的一组映射tσαu就决定了E上的一个截面.定义2.3.3(丛映射).设E1为M上的向量丛,E2为N上的向量丛,π1,π2分别为丛投影.如果Cr映射对pF,fq:pE,MqÑpE,Nq满足条件π˝F“f˝π,1221即Fpπ´1ppqqĂπ´1pfppqq,@pPM,并且F限制在每个纤维π´1ppq上均为线性12同态,则称pF,fq为向量丛E1和E2之间的丛映射.显然,丛映射pF,fq中的映射f完全由F决定.如果存在从E2到E1的丛映射pG,gq,使得G和F互为逆映射,g和f也互为逆映射,则称pF,fq及pG,gq为互逆的丛等价,此时F限制在纤维上均为线性同构.特别地,如果M“N,则称丛映射pF,idq为丛同态,相应地把丛等价称为丛同构.我们不区分同构的向量丛.例2.3.6.设f:MÑN为光滑映射,则f的切映射f˚:TMÑTN为丛映射.而微分流形的切丛可平行化当且仅当其切丛同构于平凡向量丛. §2.3向量丛和纤维丛77下面我们考虑向量丛的一个有用的例子.设E为M上的向量丛,f:NÑM为光滑映射.令f˚E“tpn,vqPNˆE|fpnq“πpvquĂNˆE.可以证明(习题),f˚E为乘积流形NˆE的正则子流形.定义投影π:f˚EÑN为fπpn,vq“n,@pn,vqPf˚E.f则f˚E成为N上的向量丛.事实上,设U为M中的开集,ψ:π´1pUqÑUˆRk为E在U上的局部平凡化,则映射ψ:π´1pf´1pUqqÑf´1pUqˆRkffψfpn,vq“pn,π2pψpvqqq为微分同胚,其中π:UˆRkÑRk为向第二个分量的投影.如果ψ和ψ分别2αβ为Uα,Uβ上的局部平凡化,则有´1ψβf˝ψαfpn,vq“pn,gβαpfpnqqvq,其中g为E的连接函数.这说明f˚E为N上的向量丛,并且其连接函数为βαtgβα˝fu.我们把f˚E称为诱导丛或拉回丛.可以证明,如果f,f:NÑM为同伦映12射,则它们的拉回丛f˚E和f˚E是同构的.特别地,可缩流形上的向量丛均为平12凡丛.定义2.3.4(子丛).设E是M上秩为k的向量丛,如果F为E的正则子流形,且E的局部平凡化ψ满足条件ψpπ´1pUqXFq“UˆRl,则E的丛投影限制在F上仍为丛投影,F为M上秩为l的向量丛,称为E的子向量丛,简称子丛.设E,F,G均为M上的向量丛,如果丛同态f:FÑE和g:EÑG限制在纤维上的同态序列fpgp0ÑFpÝÑEpÝÑGpÑ0,pPM是短正合序列,则称丛同态序列fg0ÑFÝÑEÝÑGÑ0 78第二章流形上的微积分为短正合序列.如果F为E的子丛,则令ďG“E{F“Ep{FppPMG也是M上的向量丛,且有丛的短正合列0ÑFÑEÑGÑ0,称G为E和F的商丛.例2.3.7.子流形的法丛.如果N为M的正则子流形,则N的切丛TN为限制丛TM|N的子丛,其商丛称为N的法从.例如,考虑n维球面Sn,其法丛为NSn“tpp,vqPSnˆRn`1|v“λp,λPR.u.这是一个平凡线丛.下面我们介绍向量丛之间的几种简单的运算.p1qWhitney和,也称直和.设E,F为M上的向量丛,秩分别为k,l.定义空间ďE‘F“Ep‘FppPM以及投影映射π:E‘FÑM为πpep‘fpq“p,@epPEp,fpPFp,pPM.在此投影下E‘F成为M上秩为k`l的向量丛.实际上,因为E和F在M上均有局部平凡化的开覆盖,通过选取公共的开加细,我们不妨设tUαu既是E的局部平凡化覆盖,又是F的局部平凡化覆盖,它们的平凡化映射分别为ψE:π´1pUqÑUˆRk,ψF:π´1pUqÑUˆRl,αEαααFαα则E‘F在Uα上的局部平凡化ψ:π´1pUqÑUˆRk`lααα可以定义为ψpe‘fq“pp,pπE˝ψEpeq,πF˝ψFpfqqTq,αpp2αp2αp其中πE:UˆRkÑRk和πF:UˆRlÑRl分别为向第二个分量的投影映射.2α2α因此,如果gE和gF分别为E和F的连接函数,则βαβα˜¸˜¸gEppq0aψ˝ψ´1pp,pa,bqTq“pp,βαq,βα0gFppqbβα §2.3向量丛和纤维丛79即E‘F的连接函数为˜¸gE0βαgβα“.0gFβαp2q对偶丛.设E为M上秩为k的向量丛,考虑如下空间ďE˚“E˚,ppPM其中E˚为向量空间E的对偶空间,即ppE˚“tϕ:EÑR|ϕ为线性映射u.pp定义投影π˚为π˚:E˚ÑM,π˚pE˚q“p,@pPM.p则E˚成为M上秩为k的向量丛,称为E的对偶丛.如果ψ为E的局部平凡α化,则对@pPU,ψ:EÑtpuˆRk为线性同构,它诱导了自然的线性同构ααppψ˚:E˚ÑtpuˆpRkq˚ÑtpuˆRkαpp其中,通过Rk上的内积我们将Rk和它的对偶空间pRkq˚自然地等同起来.E˚的连接函数可以通过计算转换映射得到:ψ˚˝pψ˚q´1pp,vq“pp,pgTppqq´1vq,βαβα因此E˚的连接函数为g˚“pgTq´1.βαβαp3q张量积.我们先简要地介绍一下向量空间之间的张量积.设V,W分别为两个有限维的向量空间,其对偶空间分别记为V˚和W˚.记VbW“tf:V˚ˆW˚ÑR|f关于两个分量都是线性的.u.其中,f关于两个分量都是线性的是指当λPR时fpv˚`v˚,w˚q“fpv˚,w˚q`fpv˚,w˚q,fpλv˚,w˚q“λfpv˚,w˚q;1212以及fpv˚,w˚`w˚q“fpv˚,w˚q`fpv˚,w˚q,fpv˚,λw˚q“λfpv˚,w˚q.1212 80第二章流形上的微积分在VbW上可以自然地定义加法和数乘运算使之成为向量空间,称为V和W的张量积.设vPV,wPW,我们如下定义一个元素vbwPVbW:vbwpv˚,w˚q“v˚pvq¨w˚pwq,@v˚PV˚,w˚PW˚.易见运算b具有如下简单性质:pλvqbw“vbpλwq“λpvbwq,pv1`v2qbw“v1bw`v2bw,vbpw1`w2q“vbw1`vbw2.根据V,W维数的有限性不难证明,VbW是由所有的形如tvbw|vPV,wPWu的元素生成的,且有:piq如果tviu,twju分别为V,W的基,则tvibwju为VbW的一组基;piiqVbW与WbV同构;piiiqdimpVbWq“dimV¨dimW;如果APGLpV,Rq,BPGLpW,Rq分别为V和W上的线性变换,则定义VbW上的线性变换AbBPGLpVbW,Rq如下:AbBpvbwq“AvbBw.因此,如果E,F分别是M上秩为k和l的向量丛,则令ďEbF“EpbFppPM如前面讨论的那样,EbF上有自然的流形结构使之成为M上秩为kl的向量丛,称为E和F的张量积.如果gE和gF分别为E,F的连接函数,则gEbgF为βαβαβαβαEbF的连接函数.在本节最后,我们简要地介绍一下纤维丛的概念,这是向量丛的自然推广,只不过纤维不再具有线性结构,结构群也不再限于一般线性群.定义2.3.5(纤维丛).设π:EÑM为光滑满射,F为微分流形,G为光滑有效地作用在F上的Lie群.如果存在M的开覆盖tUαu以及微分同胚ψ:π´1pUqÑUˆF使得αααp1qψpπ´1ppqq“tpuˆF,@pPU;αp2q当UαXUβ‰H时,存在光滑映射gβα:UαXUβÑG,使得ψ˝ψ´1pp,fq“pp,gppqfq,@pPUXU,fPF.βαβααβ则称E为M上的纤维丛,π为丛投影,F为纤维,E和M分别为总空间和底空间,G为结构群. §2.3向量丛和纤维丛81我们也把ψ称为局部平凡化,π´1ppq“E为p处的纤维,g为连接函数.αpβα类似地,关于向量丛的一些概念和结果也可照搬到纤维丛上来,我们在需要的场合再加以说明,下面仅介绍几个例子.例2.3.8.Hopf纤维化.类似于实的投影空间,我们可以定义复的投影空间.令CPn“Cn`1´t0u{s,其中,等价关系s定义为vswðñDλPC˚,使得v“λw.v的等价类用rvs表示,商投影为π:Cn`1´t0uÑCPn,πpvq“rvs.CPn上的拓扑定义为商拓扑,则它也是一个微分流形.事实上,其局部坐标覆盖可n`1以取为tUjuj“1,其中U“trzsPCPn|zj‰0u.jU上的坐标映射φ:UÑCn定义为jjjφprzsq“pz1{zj,¨¨¨,zj´1{zj,zj`1{zj,¨¨¨,zn`1{zjq,j这些坐标映射之间的转换映射实际上是全纯映射,因此CPn为光滑流形.我们把S2n`1看成Cn`1“R2n`2中的单位球面,把商投影限制在S2n`1上,仍记为π.下面说明π:S2n`1ÑCPn为纤维丛的丛投影.事实上,由Uj的定义,有π´1pUq“tz“pz1,z2,¨¨¨,zn`1qPS2n`1|zj‰0u,j局部平凡化ψ:π´1pUqÑUˆS1定义为jjjzjψpzq“przs,q,zPπ´1pUq.j|zj|jψ为光滑映射,且其逆ψ´1:UˆS1Ñπ´1pUq为jjjjnÿ`1j´11n`1j2´1|w|1n`1ψjprw,¨¨¨,ws,aq“p|w|q2apw,¨¨¨,wq.wji“1这是定义好的光滑映射,因此ψj为微分同胚.当k‰l时,wk{wl´1ψk˝ψlprws,aq“prws,|wk{wl|aq, 82第二章流形上的微积分因此S2n`1为CPn上的纤维丛,纤维为S1.根据上式,连接函数为wk{wlg:UXUÑS1,gprwsq“,klklkl|wk{wl|即结构群也为S1.一般地,如果P为M上的纤维丛,且纤维和结构群均为Lie群G,G在纤维上的作用为Lie群的左移作用,则称P为M上的主从.如果P为主从,则G在P上有一个光滑的右作用R:PˆGÑP定义如下:设pPP,gPG,如果pPUα,记ψαppq“pπppq,gαq,则令Rpp,gq“p¨g“ψ´1pπppq,ggq,αα易见这个定义是恰当的,从而得到一个光滑的右作用.例2.3.9.向量丛的标架丛.设E为M上秩为k的向量丛,对任意pPM,令FpEq“tl:RkÑE为线性同构u.pp记e,¨¨¨,e为Rk的一组标准基,则线性同构l完全由E的基lpeq,¨¨¨,lpeq决1kp1k定,我们把这组基称为Ep的一组标架,因此FpEpq可以看成Ep的标架的全体.选定一组标架后,FpEpq和GLpk,Rq一一对应.令ďFpEq“FpEpq,pPM则FpEq有自然的微分流形结构,使之成为M上的主从,称为E的标架丛.例2.3.10.主从的伴随向量丛.设P为M上的主从,纤维为G.如果G在向量空间V上有线性表示,即存在光滑作用GˆVÑV使得g:VÑVpgPGq均为线性变换,则我们可以如下定义M上的向量丛PˆGV:PˆGV“PˆV{s,其中等价关系s定义为pp,vqspq,wqðñDgPG,使得q“pg,w“g´1v. §2.3向量丛和纤维丛83投影π:PˆGVÑM定义为复合映射向第一分量的投影主从的投影PˆVÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑPÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑM诱导的映射.可以验证,PˆGV为M上的向量丛,称为伴随丛.从纤维丛的定义可以看出,丛投影必为淹没.反之,Ehresmann证明了逆紧的满射如果为淹没,则必为纤维丛的丛投影.习题2.31.说明RPn上线丛的定义中的总空间的确为微分流形.2.说明向量丛的零截面的确是光滑映射.3.写出丛同态在平凡化下的局部表示.4.设E为M上的向量丛,f:NÑM为光滑映射.证明pf,πq:NˆEÑMˆM和MˆM的正则子流形∆“tpm,nqPMˆM|m“nu横截相交,从而f˚E“pf,πq´1p∆q为NˆE的正则子流形.Ť5.设E为M上的向量丛,N为M的正则子流形.令EN“Ep,证明EN为pPNE的正则子流形,且为N上的向量丛,称为限制丛.6.如果包含映射i:NÑM为嵌入,则拉回丛i˚E和限制丛同构.7.说明商丛E{F的确为向量丛.8.证明,如果0ÑFÑEÑGÑ0为向量丛的短正合序列,则E与E‘G同构.9.证明,如果APGLpk,Rq,BPGLpl,Rq,则detpAbBq“pdetAqlpdetBqk.10.证明CP1与S2微分同胚.11.定义映射π:SOpnqÑSn´1为πpAq“Ae,APSOpnq,其中e为Rn中的一个固定的单位向量.证明π为主丛,纤维为SOpn´1q. 84第二章流形上的微积分x2.4张量丛在前面一节里,我们介绍了向量丛及其运算.现在我们从流形的切丛出发,利用向量丛的运算给出新的重要的向量丛.我们先从切丛的对偶丛讲起.设M为微分流形,其切丛TM定义为ďTM“TpM,pPM而其对偶丛定义为ďT˚M“T˚M,ppPM其中T˚M为TM的对偶空间.如果pU,φq为p附近的局部坐标,则TM的ppααp一组基为tB|un,在对偶空间T˚M中有相应的对偶基,记为tdxippqun,则Bxipi“1pαi“1α$Bˇˇ&1,i“j,dxippqpq“δ“αjˇijBxαp%0,i‰j.于是,对偶空间T˚M中的任一元素ωppq均可表示为pÿnωppq“a¨dxippq,aPR.iαii“1如果pPUXU,则T˚M有另一组基tdxippqun,两组基之间的转换关系可以计αβpβi“1算如下:BˇÿnBˇBˇiˇiˇkˇdxβppqpjˇq“dxβppqpjˇpxβqkˇqBxαpk“1BxαpBxβpÿnBˇˇk“jˇpxβqδikk“1BxαpˇBˇi“jˇpxβq.Bxαp这说明ÿnBˇiˇijdxβppq“jˇpxβq¨dxαppq.Bxpj“1因此,如果ωppqPT˚M另有表示pÿnjωppq“bj¨dxβppq,j“1则两组系数之间满足如下转换关系pa,a,¨¨¨,aq“pb,b,¨¨¨,bq¨Jpφ˝φ´1qppq,12n12nβα §2.4张量丛85或者改写为pb,¨¨¨,bqT“rJTpφ˝φ´1qppqs´1¨pa,¨¨¨,aqT.1nβα1n综上所述,如果pU,φq为M的局部坐标覆盖,则tUu为TM及T˚M的ααα局部平凡化覆盖,其中,T˚M在U上的局部平凡化αψ˚:pπ˚q´1pUqÑUˆRnααα定义为ψ˚pωq“pp,pa,¨¨¨,aqTq,pPU,ωPT˚M.α1nαp当UαXUβ‰H时,ψ˚˝pψ˚q´1pp,aq“pp,rJTpφ˝φ´1qppqs´1aq,βαβα因此向量丛T˚M的连接函数为g˚:UXUÑGLpn,Rq,pÑrJTpφ˝φ´1qppqs´1.βααββα我们把T˚M称为M的余切丛,T˚M中的向量称为余切向量,T˚M的截面p称为余切向量场,也称为1次外微分形式,或简称1形式.显然,坐标函数txiu定义了局部余切向量场dxi:MÑT˚M,pÑdxippq.现在我们想给局部的余切向量场dxi另外一个解释.假设f:MÑR为M上的光滑函数,任给pPM,定义dfppqPT˚M如下:pdfppqpXpq“Xpf,@XpPTpM,于是得到T˚M的一个截面df:MÑT˚M,pÑdfppq.这是一个光滑的截面,事实上,在局部坐标txiu下,df可以表示为ÿnBdf“pfqdxi,Bxii“1df为光滑1形式,称为f的外微分.特别地,对于坐标函数xi:UÑR,作为余切向量场的dxi和作为函数xi外微分的dxi的定义并不矛盾.一般地,设f:MÑN为微分流形之间的光滑映射,则有余切映射f˚:C8pM;T˚NqÑC8pM;T˚MqωÞÑf˚ω 86第二章流形上的微积分其中,任给pPM,pf˚ωqppqPT˚M定义为ppf˚ωqppqpXq“ωpfppqqpfpXqq,@XPTM.p˚pppp不难验证,如果ω为N上的光滑余切向量场,则f˚ω为M上的光滑余切向量场.我们也把f˚称为拉回映射.有了切丛和余切丛,我们可以通过张量积来构造新的向量丛.定义2.4.1(张量).设pr,sq为非负整数对,pr,sq‰p0,0q.如果函数θ:T˚Mˆ¨¨¨ˆT˚MˆTMˆ¨¨¨ˆTMÑRpr个T˚M和s个TMqpppppp对于每个分量都是线性的,则称θ为p处的pr,sq型张量,r为逆变指数,s为协变指数.以br,sTM表示p处pr,sq型张量的全体,在自然的加法和数乘之下成为p向量空间.br,sTM是向量空间张量积的推广.显然,当pr,sq“p0,1q时,b0,1TM“ppT˚M;当pr,sq“p1,0q时pb0,1TM“T˚˚M“TM,ppp即我们不区分TM和它的二次对偶空间T˚˚M.我们规定,当pr,sq“p0,0q时,ppb0,0TM“R.我们把pr,0q型的张量称为r阶的逆变张量,p0,sq型的张量称为sp阶的协变张量.定义2.4.2(张量积).定义张量积运算如下:b:br,sTMˆbt,hTMÑbr`t,s`hTMppppθ,ηqÞÑθbη,其中,对WPT˚Mp1ďiďr`tq,XPTMp1ďjďs`hq,有ipjpθbηpW1,¨¨¨,Wr`t;X1,¨¨¨,Xs`hq“θpW1,¨¨¨,Wr;X1,¨¨¨,Xsq¨ηpWr`1,¨¨¨,Wr`t;Xs`1,¨¨¨,Xs`hq.张量积运算有如下一些性质:•pθ`ξqbη“θbη`ξbη;ηbpξ`ηq“ηbξ`ηbξ;•pλθqbη“θbpληq“λpθbηq,@λPR;•pθbξqbη“θbpξbηq; §2.4张量丛87•pbr,sTMqbpbt,hTMq与br`t,s`hTM同构.ppp记ÿ8ÿ8bTM“br,sTM“t有限和Tr,suppr,s“0r,s“0bTpM连同加法,数乘和张量积形成R上的一个代数,称为张量代数.下面我们来决定张量空间br,sTM的基以及张量在不同基下的变换公式.为p了方便起见,我们采用Einstein求和约定,即相同指标出现时要对其求和.引理2.4.1.设teun为TM的一组基,teiun为其对偶基,则ii“1pi“1teb¨¨¨bebej1b¨¨¨bejs,1ďi,¨¨¨,iďn,1ďj,¨¨¨,jďnui1ir1r1s为br,sTM的一组基.且pp1q如果θPbr,sTM,则pθ“θi1¨¨¨ir¨eb¨¨¨bebej1b¨¨¨bejs,j1¨¨¨jsi1ir其中,θi1¨¨¨ir“θpei1,¨¨¨,eir;e,¨¨¨,eqPR.j1¨¨¨jsj1jsp2q如果tfun为TM的另一组基,tfjun为对应的对偶基,记ii“1pj“1θ˜i1¨¨¨ir“θpfi1,¨¨¨,fir;f,¨¨¨,fq,j1¨¨¨jsj1js则θ˜i1¨¨¨ir“di1¨¨¨dir¨cl1¨¨¨cls¨θk1¨¨¨kr,j1¨¨¨jsk1krj1jsl1¨¨¨ls其中cj和di由下式决定ijf“cj¨e,fi“di¨ej,iijjjj从而矩阵pciq和pdiq互逆.证明.如果λi1¨¨¨is¨eb¨¨¨bebeb¨¨¨ejs“0,则j1¨¨¨jsi1irj10“pλi1¨¨¨is¨eb¨¨¨bebeb¨¨¨ejsqpek1,¨¨¨,ekr,e,¨¨¨,eqj1¨¨¨jsi1irj1l1ls“λi1¨¨¨ir¨δk1¨¨¨δkr¨δj1¨¨¨δjsj1¨¨¨jsi1irl1ls“λk1¨¨¨kr,l1¨¨¨ls这说明teb¨¨¨bebej1b¨¨¨bejs,1ďi,¨¨¨,iďn,1ďj,¨¨¨,jďnui1ir1r1s是线性无关的. 88第二章流形上的微积分另一方面,如果θPbr,sTM,则pθpek1,¨¨¨,ekr;e,¨¨¨,eq“θk1¨¨¨krl1lsl1¨¨¨ls“pθi1¨¨¨ir¨eb¨¨¨bebej1b¨¨¨bejsqpek1,¨¨¨,ekr;e,¨¨¨,eqj1¨¨¨jsi1irl1ls对任意的ki,lj均成立.由于θ关于每个分量都是线性的,故θ“θi1¨¨¨ir¨eb¨¨¨bebej1b¨¨¨bejs.j1¨¨¨jsi1irj进一步,如果tfiu为TpM的另一组基,fi“ciej,则对应的对偶基满足关系fi“diej,由jδ“fipfq“diekpcleq“diclδk“dickijjkjlkjlkjjj知pdiq和pciq为互逆的矩阵.我们有θ˜i1¨¨¨ir“θpfi1,¨¨¨,fir;f,¨¨¨,fqj1¨¨¨jsj1js“θpdi1ek1,¨¨¨,direkr;cl1e¨¨¨,clseqk1krj1l1jsls“di1¨¨¨dir¨cl1¨¨¨cls¨θpek1,¨¨¨,ekr;e,¨¨¨,eqk1krj1jsl1lsi1irl1lsk1¨¨¨kr“dk1¨¨¨dkr¨cj1¨¨¨cjs¨θl1¨¨¨ls.这就证明了引理.在引理的证明中,我们用到很多的形式计算,涉及很多的指标,对于张量来说,这些运算是必不可少的,读者应当逐渐熟悉它们.如果pU,φq为p附近的局部坐标,则tB|u为TM的一组基,dxippq为ααBxippααT˚M的一组对偶基.按照上面的讨论,如果θ为p处pr,sq型的张量,则θ可表示p为ˇˇθ“θi1¨¨¨isBˇb¨¨¨bBˇbdxj1ppqb¨¨¨bdxjsppq,j1¨¨¨jsi1ˇisˇααBxαpBxαp其中ˇˇθi1¨¨¨ir“θpdxi1ppq,¨¨¨,dxirppq,Bˇ,¨¨¨,Bˇq.j1¨¨¨jsααj1ˇpjsˇpBxαBxα如果pUβ,φβq为另一局部坐标,pPUαXUβ,θ也可以表示为ˇˇθ“θ˜k1¨¨¨ksBˇb¨¨¨bBˇbdxl1ppqb¨¨¨bdxlsppq,l1¨¨¨lsBxk1ˇpBxksˇpααααθ的分量θ˜k1¨¨¨kr和θi1¨¨¨ir之间满足的关系为l1¨¨¨lsj1¨¨¨jsˇˇˇˇθ˜k1¨¨¨kr“Bˇˇpxk1q¨¨¨Bˇˇpxkrq¨Bˇˇpxj1q¨¨¨Bˇˇpxjsq¨θi1¨¨¨ir.l1¨¨¨lsBxi1pβBxirpβBxl1pαBxlspαj1¨¨¨jsααββ有了上面这些准备,我们可以明确地写出张量丛ďbr,sTM“br,sTMppPM §2.4张量丛89的局部平凡化来:r`sψ:pπr,sq´1pUqÑUˆRnαααi1¨¨¨irθÞÑpp,θj1¨¨¨jsq,i1¨¨¨ir其中,分量θj1¨¨¨js按字典顺序排为列向量(先按上指标从小到大排,再按下指标从小到大排).张量丛br,sTM的一个Ck截面称为M上的一个pr,sq型的Ck张量场.特别地,p0,0q型的张量场就是Ck函数,p1,0q型的张量场就是切向量场,p0,1q型的张量场就是余切向量场.注.对于M上一般的向量丛,可一完全类似地构造张量丛br,sE.下面的引理可以用来判断张量场什么时候是CkpC8q的,这和切向量场的情形是完全类似的.引理2.4.2.设M为微分流形,则p1qθ为M上的Ck的pr,sq型张量场ðñ对任意的局部坐标pU,φq,在U中θ可表示为θ“θi1¨¨¨irBb¨¨¨bBbdxj1b¨¨¨bdxjs,j1¨¨¨jsBxi1Bxir其中θi1¨¨¨ir为U上的Ck函数.j1¨¨¨jsp2qθ为M上的C8的pr,sq型张量场ðñ对任意光滑余切向量场W,¨¨¨,1Wr以及光滑切向量场X1,¨¨¨,Xs,θpW1,¨¨¨,Wr;X1,¨¨¨,Xsq为M上的光滑函数.M上的Ck的pr,sq型的张量场的全体记为CkpM;br,sTMq.在自然地定义了加法和数乘运算以后成为向量空间.和张量类似,张量场之间也有张量积运算.设f:MÑN为微分流形之间的光滑映射,我们现在把余切映射推广到协变张量场上.任取N上的s阶协变张量场θ,对于pPM,定义pf˚θqppqPb0,sTMp如下pf˚θqppqpX,¨¨¨Xq“θpfppqqpfX,¨¨¨,fXq,XPTM.1s˚p1˚psip这样就定义了M上的s阶协变张量场f˚θ,因此得到推广的拉回映射f˚:C8pN;b0,sTNqÑC8pM;b0,sTMq.拉回映射具有以下性质:•如果s“0,则f˚φ“φ˝f;s“1的一个特殊情形:f˚dg“dpg˝fq. 90第二章流形上的微积分•如果θ为s阶协变张量场,η为t阶协变张量场,则f˚pθbηq“f˚θbf˚η;•设f:MÑN,g:NÑP为微分流形之间的光滑映射,θ为P上的s阶协变张量场,则pg˝fq˚θ“f˚pg˚θq.下面我们考虑一类重要而特殊的2阶协变张量场.定义2.4.3(黎曼度量).设gPC8pM;b0,2TMq为M上光滑2阶协变张量场.对任意pPM,如果映射gp:TpMˆTpMÑR满足条件piq@XpPTpM,gppXp,Xpqě0,且等号成立当且仅当Xp“0;piiq@Xp,YpPTpM,均有gppXp,Ypq“gppYp,Xpq.即gp为切空间TpM上的内积,则称g为M上的黎曼度量,pM,gq称为黎曼流形.在M的局部坐标系pU,φq下,黎曼度量g可以写为g“gdxibdxj,ij其中,gij为U上的光滑函数,它们组成的n阶方阵pgijqnˆn是处处正定对称的方阵.有时,我们简记dxibdxj为dxidxj,而dxibdxi也简记为pdxiq2.例2.4.1.设txiun为Rn上的标准坐标,则i“1ÿng“dxibdxi0i“1为Rn上的黎曼度量,称为标准黎曼度量.例2.4.2.考虑Rn中的单位开球ÿnBn“txPRn|pxiq2ă1u,i“1则4ÿng“řdxjbdxj´1r1´npxiq2s2i“1j“1为Bn上的黎曼度量,称为Poincar´e度量.n“2时,pB2,gq也称为Poincar´e圆´1盘. §2.4张量丛91例2.4.3.考虑Rn中的上半空间Hn“tx“px1,x2,¨¨¨,xnqPRn|xną0u则1ÿnh“dxibdxi´1pxnq2i“1为Hn上的黎曼度量.设pM,gq为黎曼流形,我们有时也把黎曼度量记为g“x,y.给定黎曼度量,我们可以在切向量场和余切向量场之间定义一个对偶映射.例如,设ω为M上的余切向量场,在任何给定的点,考虑切向量ω7,使得对任意切向量X,下式成立xω7,Xy“ωpXq这就定义了切向量场ω7,称为ω的对偶向量场.反之,从上式可以由切向量场定义对偶余切向量场.例2.4.4.设pM,gq为黎曼流形,f:MÑR为M上的光滑函数,其外微分df的对偶切向量场称为f的梯度场,记为∇f.从外微分和对偶向量场的定义得x∇f,Xy“Xf,@XPC8pM;TMq.特别地,如果g为光滑函数,则∇fpgq“x∇f,∇gy.从光滑函数得到梯度场的方法可以推广如下.定义2.4.4.设映射θ:C8pM;TMqˆ¨¨¨ˆC8pM;TMqÑC8pM;br,0TMq关于s个分量均为函数线性的,即对任意X,YPC8pM;TMqp1ďiďsq,以及iif,gPC8pM;Rq,有θpX1,¨¨¨,Xi´1,fXi`gYi,Xi`1,¨¨¨,Xsq“fθpX1,X2,¨¨¨,Xsq`gθpX1,¨¨¨,Xi´1,Yi,Xi`1,¨¨¨,Xsq,则称θ为pr,sq型的场张量.一个pr,sq型的张量场可以自然地视为pr,sq型的场张量:设T为pr,sq的张量场,如果X,X,¨¨¨,X为向量场,则定义θpX,¨¨¨,XqPC8pM;br,0TMq为12s1sθpX,¨¨¨,Xqpω,¨¨¨,ωq“Tpω,¨¨¨,ω,Xppq,¨¨¨,Xppqq,@ωPT˚M.1sp1r1r1sip 92第二章流形上的微积分容易看出θ关于每一个分量Xjp1ďjďsq都是函数线性的,因此θ为pr,sq型的场张量,称为由张量场诱导的场张量.反之,由场张量可以惟一地确定张量场.命题2.4.3.任何pr,sq型的场张量均由pr,sq型的张量场诱导而来.证明.我们就r“0,s“1的简单情形加以证明,一般情形的证明完全类似.因此,设θ:C8pM;TMqÑC8pM;Rq为函数线性的映射,任给pPM,我们定义线性函数θp:TpMÑR如下:设XpPTpM,延拓Xp为M上的光滑向量场X,令θppXpq“θpXqppq这个定义是恰当的:如果Y为Xp的另一光滑延拓,则pY´Xqppq“0,根据本节最后的习题,存在有限个光滑函数fi以及光滑向量场Xi,使得fippq“0,且ÿY´X“fiXii因此,由θ的函数线性性,有ÿθpYqppq´θpXqppq“θpY´Xqppq“fippqθpXiqppq“0i这样我们就定义了一个余切向量场,仍记为θ.显然,θ为光滑余切向量场.习题2.41.设f:MÑR为光滑函数,x为R上的标准坐标,则df“f˚pdxq.2.设f:MÑR为光滑函数,证明f为Morse函数当且仅当df:MÑT˚M与零截面横截相交.3.设M为Rn的正则子流形,f:MÑR为光滑函数,则对几乎所有的aPRn,函数fapxq“fpxq`xx,ay为M上的Morse函数.4.试写出张量丛的连接函数.5.写出拉回映射在局部坐标下的局部表达式.6.利用单位分解证明,任意微分流形上均存在黎曼度量. §2.5微分形式937.写出黎曼度量在不同局部坐标下局部表达式的转换公式.8.给定黎曼度量,写出对偶向量场,特别地,梯度场的局部表达式.9.设f:MÑN为光滑浸入,h为N上的黎曼度量,则g“f˚h为M上的黎曼度量.ÿn10.记i:SnÑRn`1为包含映射,g“dxibdxi,选择Sn的适当局部坐标,在0i“0此坐标下写出拉回度量i˚g的表达式.011.设A:RnÑRn为线性变换,g为Rn上的标准黎曼度量.证明,A˚g“g当000且仅当A为正交变换.12.设X为M上的光滑向量场,如果Xppq“0,证明存在有限个光滑函数fi以ř及光滑向量场Xi,使得fippq“0,且X“ifiXi.x2.5微分形式本节我们考虑一种特殊的协变张量场及其运算性质.定义2.5.1.设ωPb0,sTM为p处的s阶协变张量,如果任给切向量X,p1¨¨¨,XsPTpM,以及p1,2,¨¨¨,sq的置换π,均有ωpXq“p´1qπωpX,¨¨¨,Xq,πp1q,¨¨¨,πpsq1sp其中当π为偶置换时p´1qπ“1;当π为奇置换时p´1qπ“´1q则称ω为s阶反Źs˚称协变张量或s阶外形式.s阶外形式的全体组成的子向量空间记为TpM.设pU,φq为p附近的局部坐标系,则s阶协变张量ω可表示为ÿω“ωdxi1b¨¨¨bdxis,i1...is其中ω“ωpB,¨¨¨,Bq.我们有i1...isBxi1Bxis引理2.5.1.ω为s阶外形式当且仅当对任意置换π,均有ω“p´1qπω.iπp1q¨¨¨iπpsqi1¨¨¨is证明.如果ω为s阶外形式,则BBωiπp1q¨¨¨iπpsq“ωpiπp1q,¨¨¨,iπpsqqBxBxπBB“p´1qωp,¨¨¨,qBxi1Bxis“p´1qπω.i1¨¨¨is 94第二章流形上的微积分反之,设X,¨¨¨,XPTM,π为p1,2,¨¨¨,sq的一个置换,记X“ajB,则1spiiBxjj1BjsBωpX1,¨¨¨,Xsq“ωpa1Bxj1,¨¨¨,asBxjsqj1jsBB“a1¨¨¨asωpBxj1,¨¨¨,Bxjsqjπp1qjπpsq“aπp1q¨¨¨aπpsqωj1¨¨¨jsπjπp1qjπpsq“p´1qaπp1q¨¨¨aπpsqωjπp1q¨¨¨jπpsq“p´1qπωpX,¨¨¨,Xq.πp1qπpsq这就证明了引理.Źs˚由引理易见,当sąn时,TpM“t0u.为了方便起见,我们也把0阶和1阶协变张量称为反称协变张量.下面我们考虑反称协变张量的若干运算.定义2.5.2.设θ为s阶协变张量,我们定义一个s阶反称协变张量Apθq如下:设X1,¨¨¨,XsPTpM,令1ÿApθqpX,¨¨¨,Xq“p´1qπθpX,¨¨¨,Xq,1sπp1qπpsqs!π其中π取遍p1,2,¨¨¨,sq的置换群.引理2.5.2.我们有0,sŹs˚p1q映射A:bTpMÑTpM,θÞÑApθq的定义是恰当的;p2qθ为反称协变张量当且仅当Apθq“θ;p3qApApθqq“Apθq,@θPb0,sTM.p证明.p1q显然,A仍为s阶协变张量,我们来说明它是反称的.任取p1,2,¨¨¨,sq的置换π,有1ÿApθqpX,¨¨¨,Xq“p´1qσθpX,¨¨¨,Xqπp1qπpsqπ˝σp1qπ˝σpsqs!σ1ÿ“p´1qπ˝σp´1qπθpX,¨¨¨,Xqπ˝σp1qπ˝σpsqs!σ1ÿ“p´1qπp´1qτθpX,¨¨¨,Xqτp1qτpsqs!τ“p´1qπApθqpX,¨¨¨,Xq.1s这说明θ的确为反称协变张量. §2.5微分形式95p2q如果θ已经是反称协变张量,则1ÿθpX,¨¨¨,Xq“p´1qπθpX,¨¨¨,Xq1sπp1qπpsqs!π1ÿ“θpX1,¨¨¨,Xsqs!π“θpX1,¨¨¨,Xsq,因此Apθq“θ.反之,如果Apθq“θ,则由p1q即知θ是反称的.p3q这可由p1q和p2q立即推出.我们把运算A称为反称化.利用反称化和张量积,我们可以定义反称协变张量之间的一种乘积运算.定义2.5.3.设α,β分别为r,s阶反称协变张量,我们定义一个r`s阶的反称协变张量α^β如下:pr`sq!α^β“Apαbβq,r!s!Źr˚Źs˚Źr`s˚映射^:TpMˆTpMÑTpM,pα,βqÞÑα^β称为外积或楔积运算.按定义,对任意X1,¨¨¨,Xr`sPTpM,有pr`sq!α^βpX1,¨¨¨,Xr`sq“ApαbβqpX1,¨¨¨,Xr`sqr!s!r!ÿ“p´1qπαbβpXqs!πp1q,¨¨¨,Xπpr`sqπÿ“p´1qπαpX,¨¨¨,XqβpX,¨¨¨,Xq.πp1qπprqπpr`1qπpr`sqπ特别地,当r“s“1时,α^βpX,Yq“αpXqβpYq´αpYqβpXq,@X,YPTpM.楔积运算具有如下性质:引理2.5.3.p1q^运算是偏线性的,即α^pγ`δq“α^γ`α^δ,pα`βq^γ“α^γ`β^γ;α^pλγq“pλαq^γ“λpα^γq,λPR.p2q若α,β分别为r,s阶反称协变张量,则α^β“p´1qrsβ^α.p3q若α,β,γ分别为r,s,t阶反称协变张量,则pr`s`tq!pα^βq^γ“α^pβ^γq“Apαbβbγqr!s!t! 96第二章流形上的微积分证明.p1q运算的偏线性性从定义可以立即得到.p2q考虑置换τ:p1,2,¨¨¨,r`sqÑpr`1,¨¨¨,r`s,1,¨¨¨,rq,易见p´1qπ“p´1qrs.由楔积的定义,对于任意切向量X,¨¨¨,X有1r`spα^βqpX1,¨¨¨,Xr`sq1ÿ“p´1qπαpX,¨¨¨,XqβpX,¨¨¨,Xqπp1qπprqπpr`1qπpr`sqr!s!πp´1qτÿ“p´1qπ˝τβpX,¨¨¨,XqαpX,¨¨¨,Xqπ˝τp1qπ˝psqπ˝τps`1qπ˝τps`rqr!s!πp´1qrsÿ“p´1qσβpX,¨¨¨,XqαpX,¨¨¨,Xqσp1qσpsqσps`1qσps`rqr!s!σ“p´1qrspβ^αqpX,¨¨¨,Xq.1r`sp3q这等价于证明ApApαbβqbγq“ApαbApβbγqq根据张量积的性质,只须证明下面的等式即可:ApApθqbηq“Apθbηq“ApθbApηqq.其中,θ,η分别为p,q次协变张量.我们来证明上式的前半部分,后半部分留作习题.我们约定,π表示p1,¨¨¨,p`qq的置换.如果σ为p1,¨¨¨,pq的置换,则令σ1为p1,¨¨¨,p`qq的置换,使得σ1piq“σpiq,1ďiďp;σ1pjq“j,jěp`1.显然, §2.5微分形式971p´1qσ“p´1qσ.我们有ApApθqbηqpX1,¨¨¨,Xp`qq1ÿ“p´1qπpApθqbηqpX,¨¨¨,Xqπp1qπpp`qqpp`qq!π1ÿ“p´1qπApθqpX,¨¨¨,XqηpX,¨¨¨,Xqπp1qπppqπpp`1qπpp`qqpp`qq!π11ÿÿ“p´1qπp´1qσθpX,¨¨¨,XqηpX,¨¨¨,Xqπ˝σp1qπ˝σppqπpp`1qπpp`qqpp`qq!p!πσ11ÿÿ“p´1qσp´1qπθpX,¨¨¨,XqηpX,¨¨¨,Xqπ˝σp1qπ˝σppqπpp`1qπpp`qqpp`qq!p!σπ11ÿÿπ˝σ“p´1qθpXπ˝σ1p1q,¨¨¨,Xπ˝σ1ppqqηpXπ˝σ1pp`1q,¨¨¨,Xπ˝σ1pp`qqqpp`qq!p!σπÿÿ11π1“p´1qθpXπ1p1q,¨¨¨,Xπ1ppqqηpXπ1pp`1q,¨¨¨,Xπ1pp`qqqpp`qq!p!σπ11ÿ“ApθbηqpX1,¨¨¨,Xp`qqp!σ“ApθbηqpX1,¨¨¨,Xp`qq这说明ApApθqbηq“Apθbηq.一般地,如果αip1ďiďsq为ri阶反称协变张量,则用上面的方法可以证明pr1`¨¨¨`rsq!α1^α2¨¨¨^αs“Apα1b¨¨¨αsq.(2.2)pr1q!¨¨¨prsq!如果ri“1,则ÿpα^¨¨¨^αqpX,¨¨¨,Xq“p´1qπαpXq¨¨¨αpXq.1s1s1πp1qπpsqπ特别地,如果teiun为T˚M的一组基,则ei1^¨¨¨^eis为s阶反称协变张i“1p量,其中指标i1,¨¨¨,is在t1,¨¨¨,nu中取.由反称性,我们可以假设这些指标互不相同.i1isŹs˚引理2.5.4.te^¨¨¨^e|1ďi1ăi2㨨¨ăisďnu为TpM的一组Źs˚s基,特别地,dimpTpMq“Cnp组合数q.证明.设ω为s阶反称协变张量,则作为张量,它可以表示为ω“ωei1bei2b¨¨¨beis.i1¨¨¨is 98第二章流形上的微积分因为反称张量的反称化等于自身,故ω“Apωq“ωApei1bei2b¨¨¨beisqi1¨¨¨is“ω1ei1^¨¨¨^eisp利用p2.2qqi1¨¨¨iss!ÿ“ωei1^¨¨¨^eisi1¨¨¨is1ďi1㨨¨ăisďnŹs˚上面最后的等式用到ω的反称性.这说明TpM是由tei1^¨¨¨^eis|1ďiăi㨨¨ăiďnu12s张成的.下面说明这是一组线性无关的协变张量.事实上,设ÿλei1^¨¨¨^eis“0,i1¨¨¨isi1㨨¨ăis设teun为TM的中对偶基,则当j㨨¨ăj时,有jj“1p1sÿ0“pλei1^¨¨¨^eisqpe,¨¨¨,eqi1¨¨¨isj1jsi1㨨¨ăisÿ“s!λApei1^¨¨¨^eisqpe,¨¨¨,eqi1¨¨¨isj1jsi1㨨¨ăisÿ1ÿ“s!λp´1qπpei1b¨¨¨beisqpe,¨¨¨,eqi1¨¨¨iss!jπp1qjπpsqi1㨨¨ăisπÿ“λpei1b¨¨¨beisqpe,¨¨¨,eqi1¨¨¨isj1jsi1㨨¨ăisÿ“λδi1¨¨¨δisi1¨¨¨isj1jsi1㨨¨ăis“λj1¨¨¨js.这说明tei1^¨¨¨^eis|1ďiăi㨨¨ăiďnu线性无关.12s注.记ľľ0ľ1ľnT˚M“T˚M‘T˚M‘¨¨¨T˚M,pppp其中n“dimM,则t1,ei,ei^ej,¨¨¨,e1^¨¨¨^enuŹ为T˚M之基.因此,pľdimT˚M“C0`C1`¨¨¨`Cn“2n.pnnnŹ外积运算^可以自然地定义在T˚M上使之成为一个代数,称为外代数.p §2.5微分形式99如果i1isŹs˚pUα,φαq为p附近的局部坐标,则tdxα^¨¨¨^dxαu为TpM的一组基,因此一个s阶反称协变张量ω可以表示为ÿω“ωdxi1^¨¨¨^dxis,i1¨¨¨isααi1㨨¨ăis其中,ˇˇBˇBˇωi1¨¨¨is“ωpi1ˇ,¨¨¨,isˇq.BxαpBxαp如果pUβ,φβq为p附近的另一局部坐标,则ÿω“ω1dxj1^¨¨¨^dxjs.j1¨¨¨jsββj1㨨¨ăjs我们有ˇˇ1BˇBˇωj1¨¨¨js“ωpj1ˇp,¨¨¨,jsˇpqBxBxββˇˇˇˇBˇk1BˇBˇksBˇ“ωpj1ˇppxαqk1ˇp,¨¨¨,jsˇppxαqksˇpqBxβBxαBxβBxαˇˇˇˇBˇk1BˇksBˇBˇ“j1ˇppxαq¨¨¨jsˇppxαqωpk1ˇp,¨¨¨,ksˇpqBxβBxβBxαBxαÿÿBˇBˇBˇBˇˇiπp1qˇiπpsqˇˇ“j1ˇppxαq¨¨¨jsˇppxαqωpiπp1qˇp,¨¨¨,iπpsqˇpqi1㨨¨ăisπBxβBxβBxαBxαÿÿBˇBˇBˇBˇπˇiπp1qˇiπpsqˇˇ“p´1qj1ˇppxαq¨¨¨jsˇppxαqωpBxi1ˇp,¨¨¨,Bxisˇpqi1㨨¨ăisπBxβBxβααÿ`Bpφ˝φ´1qik˘αβ“detBxjlsˆs¨ωi1¨¨¨is.i1㨨¨ăis特别地,如果s“n,则ω1“detJpφ˝φ´1q¨ω.12¨¨¨nαβ12¨¨¨n有了上述转换公式,我们可以象前面一样,令ľsďľsT˚M“T˚MppPMŹs˚0,s则TM为M上的向量丛,它是张量丛bTM的子丛,称为s阶外形式丛.s阶外形式丛的Ck截面称为M上的s次Ck外微分形式或微分形式.和前面类似,我们有判断微分形式是Ck或C8的判别法.微分形式之间也可以自然地定义外积运算^.给定光滑映射f:MÑN,我们在前面定义了协变张量场之间的拉回映射,显然,拉回映射保持反称性,即把微分形式拉回成为微分形式.我们还有 100第二章流形上的微积分命题2.5.5.设f:MÑN为光滑映射,ω,η为N上的微分形式,则p1qf˚ph¨ωq“h˝f¨f˚ω,@hPC8pN;Rq;p2qf˚pω^ηq“f˚ω^f˚η.证明.p1q设X1,¨¨¨,Xr为p处的切向量场,则f˚ph¨ωqpX,¨¨¨,Xq“phωqpfX,¨¨¨,fXqp1rfppq˚p1˚pr“hpfppqqωfppqpf˚pX1,¨¨¨,f˚pXrq“hpfppqqf˚ωpX,¨¨¨,Xq1r“ph˝f¨ωqppX1,¨¨¨,Xrq.因此f˚ph¨ωq“h˝f¨f˚ω.p2q我们计算如下:f˚pω^ηqpX,¨¨¨,Xq1r`s“pω^ηqpf˚X1,¨¨¨,f˚Xr`sqpr`sq!“Apωbηqpf˚X1,¨¨¨,f˚Xr`sqr!s!1ÿ“p´1qπpωbηqpfX,¨¨¨,fXq˚πp1q˚πpr`sqr!s!π1ÿ“p´1qπωpfX,¨¨¨,fXqηpfX,¨¨¨,fXq˚πp1q˚πprq˚πpr`1q˚r`sr!s!π1ÿ“p´1qπf˚ωpX,¨¨¨,Xqf˚ηpX,¨¨¨,Xqπp1qπprqπpr`1qπpr`sqr!s!π1ÿ“p´1qπpf˚ωbf˚ηqpX,¨¨¨,Xqπp1qπpr`sqr!s!π“pf˚ω^f˚ηqpX,¨¨¨,Xq.1r`s因此f˚pω^ηq“f˚ω^f˚η.下面我们研究两个例子.例2.5.1.设pM,gq为黎曼流形,假设M可定向,且tpUα,φαqu为M的定向坐标覆盖,在Uα上考虑n次微分形式bΩ“detpgαqdx1^¨¨¨^dxn,αijαα其中,gα是黎曼度量g在U中局部表示的系数:ijαg“gαdxibdxj.ijαα如果UαXUβ‰H,则pgβq“Jpφ˝φ´1qpgαqJpφ˝φ´1qTijnˆnαβijnˆnαβ §2.5微分形式101这说明detpgβq“pdetJpφ˝φ´1qq2detpgαqijnˆnαβijnˆn因为行列式大于零p定向覆盖q,因此上式说明,在UαXUβ上,Ωα“Ωβ,即它们定义了M上的整体n次微分形式,称为体积形式.命题2.5.6.n维连通微分流形可定向当且仅当M上存在处处非零的n次微分形式.证明.如果M可定向,则任取M上的黎曼度量g,由上面的例子知,pM,gq的体积形式就是一个处处非零的n次微分形式.反之,设ω为M上处处非零的n次微分形式,我们来构造M的定向坐标覆盖.首先,我们选取M的坐标覆盖tUαu,使得Uα都是连通集合.考虑Uα光滑函数fα,ˇˇBˇBˇfα“ωpˇ,¨¨¨,ˇq.Bx1αpBxnαpfα为处处非零的函数,因此由Uα连通知,fα恒大于零或恒小于零.通过调整坐标次序,我们不妨设fαą0.断言:tUαu为M的定向坐标覆盖.事实上,在UαXUβ上,´1fβ“fαdetJpφα˝φβq,´1因此,转换映射φα˝φβ的Jacobian行列式为正,这说明M可定向.例2.5.2.n维球面Sn的可定向性.记i:SnÑRn`1为包含映射,考虑Rn`1上如下n次微分形式nÿ`1ω“p´1qi´1xdx1^¨¨¨^dxxi^¨¨¨^dxn`1,ii“1不难证明(习题),i˚ω为Sn上处处非零的n次微分形式,因此Sn是可定向的微分流形.例2.5.3.实投影空间RPn的定向性质.考虑商投影π:SnÑRPn.令ρ:SnÑSn,ρpxq“´x为对径映射,显然有π˝ρ“π.仍记ω为上例中的n次微分形式,则ρ˚ω“p´1qn`1ω. 102第二章流形上的微积分因此,如果n为奇数,则ρ保持ω不变,从而RPn上存在n次微分形式η,使得ω“π˚η.因为ω在Sn上处处非零,故η在RPn上处处非零,这说明当n为奇数时,RPn是可定向的.当n为偶数时,RPn不可定向.我们可用反证法来说明这一点:如果RPn可定向,则RPn上存在处处非零的n次微分形式τ.因此π˚τ为Sn上处处非零的n次微分形式,从而存在Sn上处处非零的光滑函数f,使得π˚τ“f¨ω另一方面,由π˝ρ“π知f¨ω“π˚τ“ρ˚π˚τ“ρ˚pfωq“´f˝ρ¨ω即f“´f˝ρ,这和f处处非零相矛盾(介值定理).例2.5.4.R2n上的辛形式和辛变换.考虑R2n上的标准坐标txiu2n.令i“1ÿnω“dxi^dxn`i,i“1则ω为R2n上的2次微分形式,称为标准辛形式.又令Ω“dx1^dx2^¨¨¨^dx2n,Ω为标准体积形式.简单的计算表明npn´1qnω“ω^ω^¨¨¨^ω“p´1q2n!Ω.(2.3)如果f:R2nÑR2n为线性映射,且f˚ω“ω,则称f为辛变换.对于辛变换,有f˚ωn“pf˚ωqn“ωn.因此,由p2.3q知f˚Ω“Ω.由本节习题知,此时Ω“f˚Ω“pdetAqΩ,其中A是f在标准基下的矩阵表示,由上式知detA“1.注.如果A是辛变换f在标准基下的矩阵表示,则˜¸˜¸0´InT0´InAA“.In0In0下面我们考虑微分形式空间上重要的外微分运算.这是光滑函数的外微分运算的推广. §2.5微分形式103定义2.5.4(外微分).设ω为s次微分形式,对于任意光滑向量场Xip1ďiďs`1q,令sÿ`1dωpX,X,¨¨¨,Xq“p´1qi´1XωpX,¨¨¨,Xx,¨¨¨,Xq12s`1i1is`1i“1ÿ`p´1qi`jωprX,Xs,X,¨¨¨,Xx,¨¨¨,Xx,¨¨¨,Xq,ij1ijs`1iăjdω称为ω的外微分.我们来说明dω是s`1次的微分形式.为此首先验证dω是场张量.为了简单起见,以s“1加以说明:设ω为1次微分形式,则对任何向量场X,Y,均有dωpX,Yq“XωpYq´YωpXq´ωprX,Ysq.如果f为光滑函数,则dωpfX,Yq“fXωpYq´YωpfXq´ωprfX,Ysq“fXωpYq´pYfqωpXq´fYωpXq´ωpfrX,Ys´pYfqXq“fXωpYq´pYfqωpXq´fYωpXq´fωprX,Ysq`pYfqωpXq“fdωpX,Yq.显然,dω关于两个分量X,Y是反称的,因此由上面的计算即知dω为场张量,因此定义了一个2次反称协变张量场,即dω为2次微分形式.对于一般的s次微分形式,类似的计算表明dω为场张量(习题).虽然直接的计算可以说明其反称性,但为了避免过于冗长的计算,我们先考虑下面的简单性质.命题2.5.7.设f为光滑函数,ω为s次微分形式,则dpf¨ωq“df^ω`f¨dω,特别地,当dω“0时,dpf¨ωq“df^ω. 104第二章流形上的微积分证明.任取光滑向量场X1,¨¨¨,Xs`1,我们计算如下dpf¨ωqpX1,¨¨¨,Xs`1qsÿ`1“p´1qi´1XrfωpX,¨¨¨,Xx,¨¨¨,Xqsi1is`1i“1ÿ`p´1qi`jfωprX,Xs,X,¨¨¨,Xx,¨¨¨,Xx,¨¨¨,Xqij1ijs`1iăjsÿ`1“p´1qi´1XpfqωpX,¨¨¨,Xx,¨¨¨,Xq`fdωpX,¨¨¨,Xqi1is`11s`1i“1sÿ`1“p´1qi´1dfpXqωpX,¨¨¨,Xx,¨¨¨,Xq`fdωpX,¨¨¨,Xqi1is`11s`1i“1“df^ωpX1,¨¨¨,Xs`1q`f¨dωpX1,¨¨¨,Xs`1q.在上面最后的等式中用到了楔积的性质.由于我们已经说明了dω为场张量(张量场),故现在可以作一些局部的计算.设pU,φq为局部坐标,我们考虑s次局部微分形式ω“dxi1^¨¨¨^dxis,因为rB,Bs“0,因此有BxiBxjBBsÿ`1BBzBBdωp,¨¨¨,q“p´1qi´1ωp,¨¨¨,,¨¨¨,qBxk1Bxks`1BxkiBxk1BxkiBxks`1i“1sÿ`1B“p´1qi´1ω“0.Bxkik1¨¨¨kxi¨¨¨ks`1i“1在上面最后的等式是因为ω的分量为1或0,因此求导后为零,这说明此时dω“0.现在,对于一般的s次微分形式ω,记其局部表示为ÿω“ωdxi1^¨¨¨^dxisi1¨¨¨isi1㨨¨is则由上面的命题和计算即得ÿdω“dω^dxi1^¨¨¨^dxisi1¨¨¨isi1㨨¨isÿÿnBω“i1¨¨¨isdxi^dxi1^¨¨¨^dxis.Bxii1㨨¨isi“1特别地,上式表明dω为s`1次微分形式.映射ľsľs`1d:C8pM;T˚MqÑC8pM;T˚Mq称为外微分算子. §2.5微分形式105命题2.5.8.外微分算子d具有如下性质p1qdpλω`µηq“λdω`µdη,@λ,µPR;p2qdpω^ηq“dω^η`p´1qrω^dη,ω为r次微分形式;p3qd2“0,即dpdωq“0对任意微分形式ω成立.p4q设f:MÑN为光滑映射,ω为N上的微分形式,则dpf˚ωq“f˚pdωq.证明.p1q外微分算子的线性性是显然的.p2q由线性性和微分形式的局部表示,可以假设ω“fω0,η“gη0,其中dω0“0,dη0“0.于是dpω^ηq“dpfgω0^η0q“dpfgq^ω0^η0“gdf^ω0^η0`fdg^ω0^η0“dω^η`fp´1qrω^dg^η00“dω^η`p´1qrω^dη.p3q不妨设ω“fω0,其中dω0“0,则由p2q知dpdωq“dpdf^ω0q“dpdfq^ω0,在局部坐标系中,有Bf˝φ´1B2f˝φ´1dpdfq“dpdxiq“dxi^dxj.BxiBxiBxj因为上式最后的系数关于指标i,j对称,而dxi^dxj关于指标i,j反对称,因此求和为零,即d2“0.p4q先假设ω“dg,g为N上的光滑函数,则对于M上的切向量X,有f˚pdgqpXq“dgpfXq“fXpgq“Xpg˝fq“dpg˝fqpXq.˚˚这说明f˚pdgq“dpg˝fq“dpf˚gqq.对于一般的微分形式,利用微分形式的局部表示和拉回映射的性质即可类似证明.如果dω“0,则称ω为闭形式;如果ω“dη,则称ω为恰当形式.由上述命题知,恰当形式必为闭形式.s次闭形式的全体记为ZspM;Rq,s次恰当形式的全体记为BspM;Rq.令HspM;Rq“ZspM;Rq{BspM;Rq,dR称为M的s次deRham上同调群.我们在第四章中将进一步研究deRham上同调群.推论2.5.9.设f:MÑN为光滑映射,则f的拉回映射诱导了deRham上同调群之间的同态:f˚:HspN;RqÑHspM;Rq.dRdR 106第二章流形上的微积分证明.由上面的命题即知,f把闭形式拉回为闭形式,把恰当形式拉回为恰当形式,如果用rωs表示闭形式ω的上同调类,则令f˚rωs“rf˚ωsf˚就是定义恰当的群同态.最后我们来研究外微分运算和Lie导数运算之间的关系.定义2.5.5(内乘).设ω为s次微分形式,X为切向量场,定义s´1次微分形式iXpωq如下:设Y1,¨¨¨,Ys´1为切向量,令iXpωqpY1,¨¨¨,Ys´1q“ωpX,Y1,¨¨¨,Ys´1q.称算子ľsľs´1i:C8pM;T˚MqÑC8pM;T˚MqX为关于X的内乘算子.内乘算子具有以下性质:•iX˝iX“0,ifXpωq“iXpfωq“fiXpωq,其中f为光滑函数.这从定义可以立即得到.•对于1次微分形式ω,有iXpωq“ωpXq.特别地,iXpdfq“Xf,其中f为光滑函数.•如果txiu为局部坐标函数,则$&0,iRtius,ipdxi1^¨¨¨^dxisq“jj“1BBxi%p´1qk´1dxi1^¨¨¨^dxyik^¨¨¨^dxis,i“i.k这可由定义和简单的计算得出.由此可知,对于一般的向量场X,有ÿsipdxi1^¨¨¨^dxisq“p´1qj´1Xpxijqdxi1^¨¨¨^dxyij^¨¨¨^dxis.Xj“1•ipω^ηq“ipωq^η`p´1qrω^iη,其中ω为r次微分形式.这可由微分XXX形式的局部表示和上面两条性质得出.定义2.5.6(Lie导数).设ω为s次微分形式,X为切向量场,我们来定义一个新的s次微分形式LXpωq如下:设X生成的单参数变换群为tϕtu,经过p的积分曲线记为σptq,Y1,¨¨¨,Ys是p处的切向量,则令ˇdˇLXpωqpY1,Y2,¨¨¨,Ysq“ˇωσptqppϕtq˚Y1,¨¨¨,pϕtq˚Ysqdtt“0算子LX称为关于X的Lie导数运算. §2.5微分形式107我们也可以用拉回映射的求导来表示Lie导数:ˇdˇ˚LXpωq“ˇpϕtqω.dtt“0Lie导数运算具有以下性质:•LXpfq“Xf,其中f为光滑函数.事实上,由定义,ˇdˇLXpfq“ˇfpσptqq“Xf.dtt“0•LXpω^ηq“LXpωq^η`ω^LXpηq.这是因为pϕq˚pω^ηq“pϕq˚pωq^pϕq˚pηqttt由Lie导数的拉回映射的求导表示即得欲证等式.特别地,我们有LXpf¨ωq“pXfqω`f¨LXω.•dLX“LXd,即Lie导数运算和外微分运算可交换.这是因为外微分运算和拉回映射可交换.•rLX,LYs“LrX,Ys.这条性质的证明留作习题.命题2.5.10.我们有如下恒等式LX“d˝iX`iX˝d.证明.只需局部验证即可,即假设ω“fdxi1^¨¨¨^dxis,由几个算子的性质,我们有dipωq“drfipdxi1^¨¨¨^dxisqsXX“df^ipdxi1^¨¨¨^dxisq`fdipdxi1^¨¨¨^dxisqXX“df^ipdxi1^¨¨¨^dxisqXÿs`fdp´1qk´1Xpxikqdxi1^¨¨¨^dxyik^¨¨¨^dxisk“1ÿs“df^ipdxi1^¨¨¨^dxisq`fdxi1^¨¨¨^dXpxikq^¨¨¨^dxis;Xk“1和idω“ipdf^dxi1^¨¨¨^dxisqXX“pXfqdxi1^¨¨¨^dxis´df^ipdxi1^¨¨¨^dxisq;X 108第二章流形上的微积分以及Lpωq“Lpfqdxi1^¨¨¨^dxis`fLpdxi1^¨¨¨^dxisqXXXÿs“pXfqdxi1^¨¨¨^dxis`fdxi1^¨¨¨^Lpdxikq^¨¨¨^dxisXk“1ÿs“pXfqdxi1^¨¨¨^dxis`fdxi1^¨¨¨^dXpxikq^dxis.k“1将上面的这几个等式合起来即得欲证等式.注.内乘运算和Lie导数运算均可以直接推广到张量场上.例如,设θ为pr,sq型的张量场,X为向量场,则LXθ仍为pr,sq型的张量场,它可如下定义LXθpω1,¨¨¨,ωr,X1,¨¨¨,Xsq“Xpθpω1,¨¨¨,ωr,X1,¨¨¨,Xsqqÿr´θpω1,¨¨¨,LXωi,¨¨¨,ωr,X1,¨¨¨,Xrqi“1ÿs´θpω1,¨¨¨,ωr,X1,¨¨¨,LXXj,¨¨¨,Xsq.j“1当η也是张量场时,LXpθbηq“LXpθqbη`θbLXpηq.习题2.51.给出2.5.3中p3q的完整证明.2.证明等式(2.2).3.设α为1阶协变张量,β为s阶协变张量,则sÿ`1α^βpX,¨¨¨,Xq“p´1qi´1αpXqβpX,X,¨¨¨,Xx,Xq1s`1i12is`1i“1其中Xxi表示去掉Xi.Źn˚4.证明,M可定向当且仅当TM同构于平凡线丛.5.设N为定向流形M的正则子流形,dimN“dimM´1.在M上取黎曼度量g,向量丛TM|N的一个截面Y称为N的法向量场,如果YppqKTpN,@pPN.证明,N可定向当且仅当N上存在处处非零的连续法向量场.6.设f:MÑR为定向流形上的光滑函数,c为f的正则值.如果f´1pcq非空,则f´1pcq为M的定向正则子流形. §2.6带边流形1097.证明本节例子中给出的Sn上的微分形式的确是处处非零的.8.如果f:RnÑRn为线性映射,则f˚Ω“pdetAqΩ,其中Ω为Rn的标准体积形式,A为f在标准基下的矩阵表示.9.对于一般的s次微分形式,证明dω是函数线性的,即为场张量.10.设f为光滑函数,ω为微分形式,则dpdf^ωq“´df^dω.11.对于微分流形M,计算它的0次deRham上同调.x2.6带边流形在这一节里我们为下一节的流形上的微积分基本公式作一些预备.令Hn“tx“px1,x2,¨¨¨,xnqPRn|xně0u,`这是Rn的带边上半空间,其边界BH“txPRn|xn“0u为n´1维欧氏空间.定义2.6.1.设M为具有A2,T2性质的拓扑空间,如果存在M的开覆盖tUu,以及相应的同胚族φ:UÑφpUq,其中φpUq为Hn中的开集,且当ααααααα`UαXUβ‰H时,转换映射φ˝φ´1:φpUXUqÑφpUXUqβαααββαβ均为Ck映射,则称M为n维Ck带边流形.为了区别起见,我们也把本书开头所定义的微分流形称为无边流形.紧致(连通)的无边流形有时称为闭流形,而非紧(连通)的无边流形有时称为开流形.对于带边流形,我们可以类似地定义微分结构,可定向性以及切丛等.注.p1q设M是定义中的带边流形,pPUα.如果φαppqPBH,则由逆映射定理不难证明(习题),如果pPUβ,则也有φβppqPBH.p2q根据p1q,我们可以可以定义带边流形的边界为:BM“tpPM|存在α,使得φαppqPBHu.当φα限制在UαXBM时,我们就得到了BM的局部坐标覆盖,因此当M为n维带边流形时,其边界BM为无边n´1维流形.例2.6.1.显然,上半空间Hn为带边流形,其边界为无边流形Rn´1.Rn中`的闭球也是带边流形,例如,单位闭球为带边流形,其边界为单位球面. 110第二章流形上的微积分特别地,R1上的闭区间ra,bs为带边流形,其边界由两个点(零维流形)组成.可以证明,边界非空的1维紧致连通带边流形均为某个闭区间.例2.6.2.柱面S1ˆI为2维带边流形,其中I为某个闭区间;实心环S1ˆD2为3维带边流形,其中D2为闭的2维圆盘.例2.6.3.M¨obius带.考虑乘积空间X“ra,bsˆr0,1s,在X上定义等价关系s如下:px,sqspy,tq当且仅当x“a,y“b或x“b,y“a且s`t“1.于是商空间X{s具有带边流形的结构,其边界为S1.这个带边流形称为M¨obius带.例2.6.4.设W为微分流形M中的开集,且作为集合,其边界BW为M的n´1维正则子流形,则W在M中的闭包W¯为带边流形.特别地,如果f:MÑR为无边流形上的光滑函数,如果cPR为f的正则值,则f´1pp´8,csq为带边流形.带边流形去掉边界的部分称为其内部,这是一个无边流形.对于带边流形,Sard定理同样成立.定理2.6.1(Sard).设M为带边流形,N为无边流形,f:MÑN为光滑映射,f在边界BM上的限制记为Bf.则f和Bf的临界值之并为N中的零测集,即,几乎所有的yPN既是f也是Bf的正则值.证明.由无边流形的Sard定理,Bf:BMÑN的临界值为零测集.同理,f限制在M的内部得到的光滑映射的临界值也为零测集,从而几乎所有的yPN既是f也是Bf的正则值.设f:MÑN是从带边流形M到无边流形N的光滑映射,S为N的正则子流形.如果f在M的内部的限制映射以及f在边界BM上的限制映射Bf都和S横截相交,则称f和S横截相交.这等价于说,对任意pPf´1pSq,下面的等式成立:f˚ppTpMq`TfppqS“TfppqN,pBfq˚ppTppBMqq`TfppqS“TfppqN.其中第二个等式当pPBM时成立.和无边流形类似,我们有定理2.6.2.设f:MÑN是从带边流形M到无边流形N的光滑映射,S为N的正则子流形,如果f和S横截相交,则f´1pSq为带边流形,其边界Bf´1pSq“f´1pSqXBM,且codimf´1pSq“codimS. §2.6带边流形111作为应用,我们有定理2.6.3.设M为紧致带边流形,则不存在光滑映射f:MÑBM,使得Bf为恒同映射id.证明.选取qPBM,使得q为f的正则值.因为f在边界上为恒同映射,q也是Bf的正则值.因此f´1pqq为紧致1维带边流形,且Bf´1pqq“f´1pqqXBM“tqu.然而紧致1维带边流形的边界必由偶数个点组成,这就得到了一个矛盾.在上面的定理中,光滑性条件的要求有时可以减弱为连续性,我们以Rn中的单位闭球Dn为例加以说明.定理2.6.4.不存在连续映射f:DnÑSn´1,使得f限制在边界Sn´1上为恒同映射.证明.用反证法.假设这样的连续映射f:DnÑSn´1存在,则定义f˜:DnÑSn´1如下:$’&1fp2xq,}x}ď,f˜pxq“2x’%,}x}ě1.}x}2f˜仍为连续映射,且在t1ă}x}ď1u上光滑,在Sn´1上为恒同映射.我们用光滑2映射g˜:DnÑSn´1逼近f˜,使得g˜在t2ă}x}ď1u上保持不变,且31n}g˜pxq´f˜pxq}ď,@xPD.4令g“r˝g˜,其中r:Rn´t0uÑSn´1为压缩映射:xrpxq“.}x}显然,g是光滑的,且限制在Sn´1上为恒同映射,这和前一定理的结论相矛盾.推论2.6.5(Brouwer).对任何连续映射f:DnÑDn,必存在xPDn,使得0fpx0q“x0.证明.用反证法.如果连续映射f:DnÑDn没有不动点,即fpxq‰x,任意xPDn.则定义映射g:DnÑSn´1为gpxq“fpxq`tpx´fpxqq,其中t“tpxq为下面方程中的惟一正解:y´fpxq“tpx´fpxqq,}y}“1. 112第二章流形上的微积分通过解一元二次方程可知tpxq为x的连续函数,且当}x}“1时,t“1,即gpxq“x,xPSn´1.这样我们就得到了从Dn到Sn´1的连续映射,且它限制在Sn´1上为恒同映射,这和上面定理的结论相矛盾.下面考虑带边流形的定向.我们知道,如果M为n维带边流形,则其边界BM为n´1维无边流形,因此其切空间为M在该点切空间的一个超平面,超平面两侧的切向量分别称为的内向量和外向量.利用局部坐标,我们可以定义内向量如下:设pU,φq为pPBM附近的局部坐标系,使得φpUqĂHn,φpUXBMq“φpUqXBH.设XPTM´TpBMq,如果Xpxnqě0,则称X为内向量.我们要说明这个定ppppp义是恰当的.为此设pV,ψq为满足同样条件的p附近的局部坐标,yip1ďiďnq为坐标函数,则ÿnBynXpynq“ppqXpxiq.pBxipi“1n因为yn限制在BM上恒为零,故当iăn时,Byppq“0.且有BxiBynynpxq´ynppqppq“limBxnxnÑ0`xn´xnppqynpxq“limě0,xnÑ0`xn因此BynXpynq“ppqXpxnqě0.pBxnp这说明内向量的定义与局部坐标的选取无关.类似地可以定义外向量.如果我们在M上选取黎曼度量,则也可以把内法向量定义为与TppBMq正交的内向量.因此,在边界BM上每一点处均存在惟一的一个单位内法向量,这是BM的法从的一个处处非零的截面,因此有命题2.6.6.带边流形边界上的法从为平凡线丛.如果M为可定向带边流形,则得到下面的推论推论2.6.7.如果M为可定向带边流形,则其边界BM为可定向的无边流形.我们可以用定向局部坐标覆盖将M和BM上的定向表示出来.为此,设tpUα,φαqu为M的一个定向坐标覆盖,则考虑BM的坐标覆盖tpUαXBM,φα|UαXBMqu,我们来说明这是BM的一个定向坐标覆盖. §2.6带边流形113事实上,注意到φn|”0,故βBM´1nˇBpφβ˝φαqˇˇ“0,iďn´1.BxiBM从而有´1nˇ´1´1Bpφβ˝φαqˇ0ădetJpφβ˝φαq|BM“detJpφβ|BM˝φα|BMqBxnˇ,BM在前面我们已经证明Bpxnqě0,因此上式表明Bxnβα´1detJpφβ|BM˝φα|BMqą0.这说明M上的定向坐标覆盖限制在边界BM上也是定向坐标覆盖.通常,我们用定向坐标覆盖中的有序坐标函数来表示一个定向.在此意义下,如果tx1,¨¨¨,xnu为M的一个定向,则tp´1qnx1,x2,¨¨¨,xn´1u为BM上的一个定ααααα向,称为诱导定向.有时我们也用一个处处非零的n次微分形式来表示一个定向.两个处处非零的n次微分形式ω和η之间相差一个处处非零的光滑函数,即ω“fη.当f恒正时,称ω和η表示同一个定向;当f恒负时,称ω和η表示相反定向.如果g:MÑN为定向流形之间的微分同胚,ωM,ωN分别为代表M,N定向的n次微分形式,则当f˚ω和ω表示同一定向时,称f为保持定向的微分同胚.NM回到带边流形的定向,沿用前面的记号,如果ω“dx1^¨¨¨^dxn代表了Mαα的定向,则ω1“p´1qndx1^¨¨¨^dxn´1表示了边界BM的定向,这样选取的定向αα满足下面的等式:p´dxnq^ω1“p´dxnq^p´1qndx1^¨¨¨^dxn´1“ω.αααα习题2.61.给出本节定义2.6.1后注记的证明.2.设M为无边流形,N为带边流形,证明MˆN为带边流形,其边界为MˆBN.3.证明M¨obius带不可定向.4.设Mn为连通可定向的无边流形,Nn´1为M的紧致连通正则子流形.如果集合Mn´Nn´1不连通,则Nn´1可定向. 114第二章流形上的微积分5.用Brouwer不动点定理证明:具有非负元素的n阶方阵必定存在一个非负实特征值.6.证明带边流形边界上的单位内法向量场为法从的光滑截面.7.设M为可定向带边流形,证明M上存在光滑1次微分形式η,使得ηpTBMq“0,且η在BM上处处非零.x2.7Stokes积分公式下面我们考虑微分形式在可定向流形上的积分.为此设M为n维(带边)流形,并在M上给定了一个定向.设ω为M上具有紧支集的n次微分形式,即支集Suppω“txPM|ωpxq‰0u为紧致集合.我们假设以下出现的局部坐标系均与给定的定向相容.p1q假设Suppω含于某局部坐标邻域Uα中,且在此局部坐标下ω表示为ω“adx1^¨¨¨^dxn.αααω在M上的积分定义为如下多元函数的积分ża˝φ´1pxqdx1¨¨¨dxnααααφαpUαqż并记为ω.M断言:上述积分和局部坐标的选取无关.事实上,如果Suppω含于另一局部坐标邻域Uβ中,则SuppωĂUαXUβ.在Uβ中,ω可以表示为ω“bdx1^¨¨¨^dxn,βββ则´1bβ“detJpφα˝φβq¨aα.因此有żżbdx1¨¨¨dxn“bdx1¨¨¨dxnββββββφβpUβqφβpUβXUαqż“|detJpφ˝φ´1qq|¨bdx1¨¨¨dxnβαβααφαpUβXUαqż“adx1¨¨¨dxn.αααφαpUαq §2.7Stokes积分公式115上面倒数第二式用到了坐标转换映射Jacobian行列式大于零以及多元函数积分的变量代换公式.ÿkp2q设ω“ωi,且ωi的支集均含于某一个局部坐标邻域U中,则ω的支集i“1也含于U中,因此可以用p1q中的方式定义ω在M上的积分.żÿkż断言:ω“ωi.Mi“1M事实上,如果ω在U中有局部表示ω“adx1^¨¨¨^dxn,则ω有局部表示iiiÿkω“paqdx1^¨¨¨^dxn.ii“1因此żż`ÿk˘ω“a˝φ´1pxqdx1¨¨¨dxniMφpUqi“1ÿkż“a˝φ´1pxqdx1¨¨¨dxnii“1φpUqż“ωi.Mp3q最后,设ω为具有紧支集的n次微分形式,取从属于Suppω的一个有限局部坐标覆盖的单位分解tφαu,并令żżÿω“φα¨ω,MαM称为ω在M上的积分.我们来说明,积分的定义是恰当的,和开覆盖及单位分解的选取无关.事实上,如果另有一个坐标覆盖以及相应的单位分解tψβu,则对每一个固定的指标α,由于微分形式ψβφαω的支集都在统一坐标邻域中,由p2q就有żżÿφαω“ψβφαω,MβM同理有żżÿψβω“φαψβω.MαM这说明żżÿÿÿφαω“ψβφαωαMαβMżÿÿ“ψβφαωβαMżÿ“ψβω.βM 116第二章流形上的微积分微分形式的积分具有如下性质:żż•ω“´ω,其中´M表示选取了与M上给定定向相反的定向.例如,´MM如果tx1,x2,¨¨¨,xnu为M上定向坐标,则ty1“´x1,y2“x2,¨¨¨,yn“xnu为´M的定向坐标.如果ω在前一局部坐标下局部表示的系数为apxq,则在后一局部坐标下局部表示的系数为´apxq,因此由积分的定义知ω在这两个定向下的积分相差一个符号.żżż•pλω`µηq“λω`µη,其中λ,µ为实数.这由积分的定义可以立MMM即推出.•设f:MÑN为定向流形之间保持定向的微分同胚,ω为N上具有紧支集的微分形式,则żżf˚ω“ω.MN事实上,如果tραu为N上的单位分解,则ρα˝f为M上的单位分解,通过利用单位分解,上述等式由多元函数积分的变量替换公式即可推出.在微积分中,联系微分和积分的Newton-Leibniz公式或微积分基本公式是最重要的一个结果.下面我们在微分流形上给出一个联系外微分和微分形式积分的公式,它可视为流形上的微积分基本公式.我们先看一个简单的情形.定理2.7.1.设Mn为定向无边流形,ω为具有紧支集的n´1次微分形式,则żdω“0.M证明.利用单位分解我们不妨假设ω的支集含于局部坐标邻域U中,将ω写为ÿnω“p´1qi´1apxqdx1^¨¨¨^dxxi^¨¨¨^dxn,ii“1则Ba1Ban1ndω“p`¨¨¨qdx^¨¨¨^dx,Bx1Bxn于是żÿnżBai1ndω“dx¨¨¨dx.BxiMi“1φpUq §2.7Stokes积分公式117注意到ai的支集含于U中,因此żżBai1nBai1ndx¨¨¨dx“dx¨¨¨dxφpUqBxiRnBxiżż`8“Baidxidx1¨¨¨dxxi¨¨¨dxnRn´1´8Bxiżˇiˇx“`8“raˇsdx1¨¨¨dxxi¨¨¨dxniRn´1xi“´8“0,ż上面我们用到ai支集的紧致性.由此即知dω“0.M推论2.7.2.设Mn为闭的可定向微分流形,则HnpM;Rq‰0.dR证明.设M为可定向流形,任取M的黎曼度量g,其体积形式Ω为M上处处非零的n次微分形式,因为M上的n`1次微分形式均为零,故Ω为闭形式,它代表了deRham上同调群中的一个元素rΩs.记żVolpM,gq“Ω,M称为黎曼流形pM,gq的体积.根据Ω的局部表达式易知VolpM,gqą0.另一方面,如果Ω为恰当形式,即Ω“dη,则由前一定理,有żżΩ“dη“0.MM这就说明rΩs为HnpM;Rq中非零元素.dR下面的定理是流形上的微积分基本公式.定理2.7.3(Stokes).设Mn为定向带边流形,ω为M上具有紧支集的n´1次微分形式,则żżżdω“i˚ω“ω,MBMBM其中,i:BMÑM为包含映射,BM上的定向为诱导定向.证明.通过利用单位分解,不妨设Suppω含于坐标邻域U中,φ为U上的坐标函数,且φpUXBMq“φpUqXBH.ω在U中可以表示为ÿnω“p´1qi´1adx1^¨¨¨^dxxi^¨¨¨^dxn,ii“1 118第二章流形上的微积分于是ÿnBadω“piqdx1^¨¨¨^dxn.Bxii“1我们分两种情况讨论:p1qBMXU“H.此时,和前面定理的证明一样,有żżÿnżBai1ndω“dω“dx^¨¨¨^dx“0.BxiMUi“1φpUq另一方面,由于BMXSuppω“H,故i˚ω“0,从而żżi˚ω“0“dω.BMMp2qBMXU‰H.此时,żżÿnBai1ndω“dx¨¨¨dxBxiMφpUqi“1ÿnżBai1n“dx¨¨¨dxiHnBxi“1`nÿ´1ż`8żBai1n“dx¨¨¨dx0Rn´1Bxii“1żż`8Ban1n´1`dx¨¨¨dxRn´10Bxnnÿ´1ż`8żˇxi“`8“aˇdx1¨¨¨dxxi¨¨¨dxniˇ0Rn´2xi“´8i“1żˇnˇx“`8`adx1¨¨¨dxn´1nˇRn´1xn“0ż“´apx1,¨¨¨,xn´1,0qdx1¨¨¨dxn´1.nBH另一方面,由于xn|”0,故BMi˚ω“p´1qn´1apx1,¨¨¨,xn´1,0qdx1^¨¨¨^dxn´1,n由于BM上的诱导定向由坐标tp´1qnx1,x2,¨¨¨,xn´1u给出,因此żżi˚ω“´apx1,¨¨¨,xn´1,0qdx1¨¨¨dxn´1.nBMBH这说明żżdω“i˚ω.MBM这就证明了定理. §2.7Stokes积分公式119设M为定向带边流形,Ω为一个体积形式.如果X为M上的光滑向量场,则LXΩ可以写为LXΩ“divpXqΩ,系数divpXq称为X的散度.推论2.7.4(散度定理).设M为定向带边流形,Ω为体积形式,X为M上具有紧支集的光滑向量场,则żżdivpXqΩ“iXΩ.MBM证明.利用等式LXΩ“d˝iXΩ`iX˝dΩ“d˝iXΩ以及Stokes公式即可.如果体积形式Ω是M上黎曼度量g的体积形式,则记g在BM上的限制的体积形式为ω.记N⃗为边界BM的单位外法向量,则有推论2.7.5.在上面推论的条件下,有żżdivpXqΩ“xX,N⃗yω.MBMn´1证明.设pPBM,取TppBMq的一组标准正交基teiui“1,使得ωpe1,¨¨¨,en´1q“1.则iXΩpe1,¨¨¨,en´1q“ΩpX,e1,¨¨¨,en´1qnÿ´1“ΩpxX,N⃗yN⃗`xX,eiyei,e1,¨¨¨,en´1qi“1“xX,N⃗yΩpN,e⃗1,¨¨¨,en´1q“xX,N⃗y.这里我们用到了诱导定向的定义.这说明iXΩ“xX,N⃗yω,从而本推论由前一推论即可得到.例2.7.1.Newton´Leibniz公式.取1维带边流形ra,bs其定向由R1上的标准坐标给出,考虑1次微分形式ω“df“f1pxqdx,则由Stokes公式,有żbżbżˇb1ˇfpxqdx“df“f“fpbq´fpaq“fpxqˇ.aaBra,bsa此处,Bra,bs由带有诱导定向的两点t´a,bu组成. 120第二章流形上的微积分例2.7.2.R2中的Green公式.考虑R2上的有界区域W,设其边界为1维正则子流形(曲线),W上的定向由R2上的标准坐标tx,yu给出,BW的定向为诱导定向,即由“右手法则”确定的定向.设ω“pdx`qdy为1次微分形式,则BqBpdω“p´qdx^dy.BxBy由Stokes公式,żżBqBpdω“p´qdx^dyWWBxByżż“pdx`qdy“ω.BWBW例2.7.3.R3中的Stokes公式.考虑R3中的2维曲面M,其边界BM为1维正则子流形,在M上选定外法向,并由此从R3中诱导定向(“右手法则”),BM的定向从M诱导而来.如果ω“pdx`qdy`rdz为1形式,则BrBqBpBrBqBpdω“p´qdy^dz`p´qdz^dx`p´qdx^dy.ByBzBzBxBxBy由Stokes公式,得żżBrBqBpBrBqBpdω“p´qdy^dz`p´qdz^dx`p´qdx^dyMMByBzBzBxBxByżż“pdx`qdy`rdz“ω.BMBM例2.7.4.R3中的Gauss公式.设W为R3中的有界开集,其边界BW为2维曲面,定向皆为诱导定向.设ω为2次微分形式,ω“pdy^dz`qdz^dx`rdx^dy.则BpBqBrdω“p``qdx^dy^dz,BxByBz由Stokes公式,有żżBpBqBrdω“p``qdx^dy^dzWWBxByBzżż“pdy^dz`qdz^dx`rdx^dy“ω.BWBM最后我们以一个应用结束本章,这个应用在前一节也证明过. §2.7Stokes积分公式121定理2.7.6.设M为定向紧致带边流形,则不存在光滑映射f:MÑBM,使得f限制在BM上为恒同映射.证明.反证法,设这样的f存在,我们来导出矛盾.取BM上体积形式ω,则żω“VolpBMqą0.BM另一方面,由于Bf为恒同映射,故由Stokes公式,有żżżż0ăω“f˚ω“df˚ω“f˚dω“0,BMBMMM上式最后是因为dω的次数大于BM的维数,从而为零.这就导出了矛盾.习题2.71.设Mn为定向无边流形,M上具有紧支集的s次微分形式全体记为ΩspMq,c外微分运算可以自然定义在ΩspMq上,令cHspM;Rq“ΩspMq{dΩs´1pMq,ccc称为紧支集deRham上同调.证明,HnpM;Rq‰0.c2.计算Sn在标准度量下的体积3.设x,y,x为R3上的标准坐标,计算2次微分形式xdy^dz在S2上的积分,其中S2的定向取诱导定向(看成D3的边界).4.设M为定向紧致流形,g为黎曼度量,X为光滑向量场,它生成的但参数变换群记为tϕu,记g“pϕq˚g为拉回度量,pM,gq的体积记为V,证明tttttˇżdˇˇVt“divpXqΩ,dtt“0M其中Ω为g的体积形式.5.设Mn为定向无边流形,α,β分别为s次和n´s次微分形式,X为具有紧支集的光滑向量场,则żżLXpαq^β“´α^LXpβq.MM6.证明推论2.7.5中用到的等式ΩpN,e⃗1,¨¨¨,en´1q“1. 122第二章流形上的微积分 第三章流形的几何本章介绍流形上的微分几何,我们将首先引入度量、联络、曲率等几何学基本概念,并研究若干特殊的例子,最后证明重要的Gauss-Bonnet公式.x3.1度量回顾我们回忆一下,微分流形上的一个黎曼度量指的是一个二阶正定对称协变张量场,它在流形的每一点的切空间上都指定了一个内积.在局部坐标系tx1,¨¨¨,xnu中,黎曼度量g可以表示为ÿng“gpxqdxibdxj,iji,j“1其中BBgijpxq“gp,q.BxiBxj例3.1.1.黎曼度量的存在性.设M为微分流形,取M的局部有限坐标覆盖tUαu,从属于这个覆盖的单位分解记为tρu.如果U中的坐标函数为tx1,¨¨¨,xnu,令ααααÿg“ρgαdxibdxj,αijααα其中pgαq是U上的正定对称函数矩阵.显然,g为M上的二阶对称协变张量场.ijα根据单位分解函数的性质也容易看出g是正定的,即g是M上的黎曼度量.例3.1.2.拉回度量设f:MÑN为浸入,h是N上的黎曼度量,则拉回协变张量场f˚h是M上的二阶协变对称张量场.因为f是浸入,其切映射是非退化的,从而h也是正定的,即h是M上的黎曼度量,称为拉回度量.例3.1.3.球面Sn上的度量.考虑包含映射i:SnÑRn`1,在Rn`1上有标准黎曼度量nÿ`1g“dxibdxi.0i“1Sn上的拉回度量记为g“i˚g,g也就是将g限制在Sn上每一点的切空间上1010得到的限制度量.123 124第三章流形的几何现在我们在局部坐标下写出g的局部表示.令U“Sn´tp0,¨¨¨,0,´1qu,U1上的局部坐标映射为x1xnφ:UÑRn,φpxq“p,¨¨¨,q,1`xn`11`xn`1其中x“px1,¨¨¨,xn`1qPU.如果记φ的第i个分量为u,则iiřni2iř2un`11´ři“1puqx“1`npuiq2p1ďiďnq;x“1`npuiq2.i“1i“1因此,直接的计算表明,在U中g1可以表示为4ÿng“i˚g“řduibdui.10r1`npuiq2s2i“1i“1类似地,可以得到g在V“Sn´tp0,¨¨¨,0,1qu上的局部表示.1定义3.1.1(等距同构).设f:pM,gqÑpN,hq是黎曼流形之间的微分同胚,如果g“f˚h,则称f为黎曼流形pM,gq和pN,hq之间的等距同构.我们不区分等距同构的黎曼流形.除了等距同构的概念以外,还有局部等距同构和等距嵌入的概念.局部等距同构是指黎曼流形之间的映射f:pM,gqÑpN,hq,使得任给pPM,均存在p的开邻域U,使得f:pU,gqÑpfpUq,hq为等距同构.等距嵌入是指黎曼流形之间的嵌入映射f:pM,gqÑpN,hq,使得g“f˚h.1957年左右,Nash证明了任何(完备)黎曼流形均可等距嵌入到高维欧氏空间中.黎曼流形pM,gq到自身的等距同构称为自同构,自同构的全体组成的集合在复合运算下形成的群称为等距自同构群,记为IpM,gq,Myers和Steenrod在1939年证明这是一个Lie群,它可自然地作用在M上.定义3.1.2(Killing场).设X为黎曼流形pM,gq上的向量场,如果X生成的无穷小变换均为等距同构,则称X为pM,gq的Killing向量场.由Lie导数的定义可知,X为Killing向量场当且仅当LXg“0.这等价于说,对任意向量场Y,Z,有XxY,Zy“xrX,Ys,Zy`xY,rX,Zsy,(3.1)其中g“x,y.例3.1.4.欧氏空间的等距同构.在Rn上取标准度量.则如下映射均为等距同构φ:RnÑRn,φpxq“Ax`b,其中APOpnq为正交矩阵,bPRn. §3.1度量回顾125例3.1.5.复迭空间上的度量.设f:MÑN为微分流形之间的复迭映射,h为N上的黎曼度量,则g“f˚h为M上的黎曼度量,此时f:pM,gqÑpN,hq为局部等距同构.例3.1.6.商空间上的度量.设pM,gq为黎曼流形,G为IpM,gq中的离散子群.如果G在M上的作用是自由的,则商空间M{G“tG¨x|xPMu具有微分流形的结构,且M上的黎曼度量可“降”到M{G上,即M{G上存在黎曼度量h,使得g“π˚h,其中π:MÑM{G为商投影,这是一个复迭映射.作为例子,考虑欧氏空间pRn,gq.Rn中的平移都是等距自同构.作为加群,0Rn的离散子群也是等距自同构群的离散子群.如果tv,¨¨¨,vu为Rn中线性无1n关的n个向量,考虑离散子群ÿnΛ“tmivi|miPZu,i“1Λ作用在Rn上都是平移.在Rn中定义等价关系如下:ÿnx„y当且仅当存在miPZ使得x´y“mivi.i“1于是商空间Rn{Λ“trxs|xPRnu上存在黎曼度量h,使得商投影π:RnÑRn{Λ为局部等距同构.商空间Rn{Λ为紧致黎曼流形,通常称为黎曼环面.例3.1.7.双曲模型的等价性.ˇ考虑Poincar´e圆盘D“tzPCˇ|z|ă1u,其中z“x`iy为复坐标,D上的黎曼度量为4g´1“pdxbdx`dybdyq.r1´|z|2s2我们还有上半平面H“tzPC|Imzą0u,H上的黎曼度量为1h´1“pdxbdx`dybdyq.pImzq2考虑全纯映射z´iφ:HÑD,φpzq“,z`i则12i24Imzφpzq“,1´|φpzq|“,pz`iq2|z`i|2 126第三章流形的几何因此˚4121φg´1“|φpzq|pdxbdx`dybdyq“pdxbdx`dybdyq,r1´|φpzq|s2pImzq2这说明φ是一个等距同构.类似的计算表明,当θPR,z0PD时,分式线性变换iθz´z0φ:DÑD,φpzq“e1´z¯0z是pD,g´1q的等距自同构;当a,b,c,dPR,ad´bc“1时,分式线性变换az`bφ:HÑH,φpzq“cz`d是pH,h´1q的等距自同构.定义3.1.3(曲线的长度).设σ:ra,bsÑM为黎曼流形pM,gq上的C1曲线,定义其长度Lpσq为żbLpσq“}σ˙ptq}dt,a其中}σ˙ptq}“pgpσ˙ptq,σ˙ptqqq1{2是切向量σ˙ptq的长度.注.p1q曲线的长度与重新参数化无关;p2q对于分段C1的曲线,可以同样地定义其长度;p3q曲线的长度在等距变换下不变,即如果f:MÑN为等距同构,则Lpfpσqq“Lpσq.利用曲线的长度,我们可以在黎曼流形上定义一个距离,使之成为距离(度量)空间.定义3.1.4(距离).设p,qPM,M为连通黎曼流形.令dpp,qq“infLpσq,σ称为p,q之间的距离,其中下确界是对所有连接p,q的连续分段C1曲线取的.下列性质是显然的:•dpp,qqě0,@p,qPM;•dpp,qq“dpq,pq,@p,qPM;•dpp,qqďdpp,rq`dpr,qq,@p,q,rPM.下面的引理表明pM,dq的确是一个度量空间.引理3.1.1.当p‰q时,dpp,qqą0. §3.1度量回顾127证明.取p附近的局部坐标系tx1,¨¨¨,xnu,使得xippq“0p1ďiďnq,且qRtpx1q2`¨¨¨`pxnq2ďδu“U.在U上M的黎曼度量g可写为ÿng“gpxqdxibdxj.iji,j“1令ÿnÿng“δdxibdxj“dxibdxi,0iji,j“1i“1根据黎曼度量的正定性和连续性可知,存在正数λ,µ,使得λ2gďgďµ2g.00因此,对于U中的曲线σ,在g和g0下,其长度满足关系λLg0pσqďLgpσqďµLg0pσq.(3.2)特别地,当x,yPU时,取ξptq“x`tpy´xq,则ÿndpx,yqďLpξqďµLpξq“µrpxi´yiq2s1{2.gg0i“1另一方面,如果σ:ra,bsÑU为连接x,y的分段C1曲线,则żbÿnLpσq“rpσ˙iptqq2s1{2dtg0ai“1żbÿnÿněrpσiptqq2s´1{2σiptqσ˙iptqdtai“1i“1ż˜¸1bÿn“rpσiptqq2s1{2dtai“1ÿnÿn“rpyiq2s1{2´rpxiq2s1{2.i“1i“1特别地,如果γ:r0,1sÑM是连接p,q的曲线,则存在t0,使得γpt0qPBU,此时由(3.2)得LgpγqěλLg0pγ|r0,t0sqěλδ,即dpp,qqěλδą0.推论3.1.2.pM,dq为度量空间. 128第三章流形的几何注.p1q从引理的证明可以看出,作为度量空间,pM,dq的拓扑和微分流形的拓扑是一致的;p2q从引理的证明还可以看出,pRn,gq中,连接任意两点的长度最短曲线一定0是直线段.设pPM,rą0,记Brppq“tqPM|dpp,qqăru,称为以p为中心,以r为半径的测地球;记Srppq“tqPM|dpp,qq“ru,称为测地球面.例3.1.8.双曲模型中的距离.iθz´z1先看Poincar´e圆盘模型.设z1,z2PD,取等距同构φpzq“e,使得1´z¯1zφpz1q“0,φpz2qPRXD.如果σ:r0,1sÑD是连接φpz1q“0和φpz2q的曲线,记σptq“pxptq,yptqq则ż1a2Lpσq“px1ptqq2`py1ptqq2dt01´x2ptq´y2ptqż11ˇż11ˇ2|xptq|ˇ2xptqˇědtěˇdtˇ01´x2ptq01´x2ptqˇˇˇˇ1`φpz2qˇˇ1`|φpz2q|“ˇlnˇ“ln1´φpz2q1´|φpz2q||1´z¯1z2|`|z1´z2|“ln.|1´z¯1z2|´|z1´z2|等号成立当且仅当σ是连接φpz1q“0和φpz2qPR的直线段.因此|1´z¯1z2|`|z1´z2|dpz1,z2q“dpφpz1q,φpz2qq“ln.|1´z¯1z2|´|z1´z2|这就得到了pD,g´1q的距离,也称为双曲距离.如果γ为黎曼流形pM,gq中的曲线,且dpγpt1q,γpt2qq“Lpγ|rt1,t2sq对定义域中任意t1ăt2成立,则称σ为一条最短测地线.显然,在等距同构下,最短测地线仍然变为最短测地线.从以上计算可以看出,经过圆心的直线段均为pD,g´1q的最短测地线.因为分式线性变换将直线变为直线或圆弧,同时分式线性变换是保角的,因此,那些在端点处和单位圆周S1“BD正交的圆弧(包括直线)都是pD,gq的最短测地线,并´1且这也是所有可能的最短测地线.黎曼度量的概念可以推广到一般的向量丛上.设E为M上的一个向量丛,如果张量丛b0,2E“E˚bE˚的一个截面g满足正定对称性,则称为E的一个黎曼度量.即对每一点pPM,gp是纤维Ep中的内积.象切丛上的黎曼度量一样,利用单位分解可以得到向量丛上黎曼度量的存在性.在M的切丛上给定黎曼度量g,我们可以将这个度量定义到其它的张量丛br,sTM上.先看余切丛T˚M.设te,¨¨¨,eu为切空间TM中的一组标准正交1np §3.1度量回顾129基,即gpei,ejq“δij,@i,jPt1,2,¨¨¨,nu.这一组基的对偶基记为te1,¨¨¨,enu,即eipeq“δ,@i,jPt1,2,¨¨¨,nu.jij我们规定te1,¨¨¨,enu是T˚M的标准正交基,这样就在余切空间T˚M中定义了pp一个内积,称为诱导内积,仍记为g.在这个内积下,任意两个余切向量ω,η的内积为ÿngpω,ηq“ωpeiqηpeiq,i“1从这个等式不难看出这个内积不依赖于切空间中标准正交基的选取.有了切空间和余切空间中的内积,我们可以在张量丛br,sTM上定义内积.事实上,只要规定br,sTM的基peb¨¨¨bebej1b¨¨¨bejsp1ďi,jďnqi1irkl为标准正交基即可.向量丛上的度量限制在子丛上是子丛上的度量,因此,在外形式丛上也有诱导度量.习题3.11.给出Sn上拉回度量在局部坐标下局部表示的详细计算过程.2.设pM,gq上任意两点均可用最短测地线连接.如果φ,ψ为等距同构,且存在一点pPM,使得φppq“ψppq,φ˚p“ψ˚p,证明φ“ψ.3.利用上题说明,pRn,gq的等距同构均形如φpxq“Ax`b,其中APOpnq,0bPRn.4.证明pSn,gq的等距同构群为Opn`1q.15.证明,双曲空间中的测地球也是欧氏空间中的标准球,并计算其球心位置.6.求双曲空间的等距同构群.7.证明余切空间中的诱导内积不依赖于切空间中标准正交基的选取. 130第三章流形的几何x3.2联络在前一章,我们考虑了流形上的两种求导运算,一是Lie导数,二是外微分.前者作用对象为张量场,后者作用对象为微分形式.这两种运算之间有紧密的联系.一个自然的问题就是如何将这些求导运算作用于一般向量丛的截面上.例如,给定流形的一个切向,对于函数我们可以求方向导数.函数的一般推广为向量丛的截面,对于截面应该如何求方向导数?为了解决这一问题,人们提出了联络的概念,联络可以看成是求导的一种手段.设E为流形M上的向量丛.为了方便起见,E上光滑截面的全体记为ΓpEq.例如,M上光滑向量场的全体可记为ΓpTMq,它等价于C8pM;TMq.定义3.2.1(联络).满足以下条件的算子∇:ΓpTMqˆΓpEqÑΓpEq称为向量丛E上的一个联络:piq∇s“f∇s`g∇s,@X,YPΓpTMq,f,gPC8pMq,sPΓpEq;fX`gYXYpiiq∇Xps1`s2q“∇Xs1`∇Xs2,@XPΓpTMq,s1,s2PΓpEq;piiiq∇pfsq“pXfqs`f∇s,@XPΓpTMq,fPC8pMq,sPΓpEq.XX作为一种求导方式的推广,联络具有和方向导数类似的性质:•由于联络关于X是函数线性的,因此,给定切向量XpPTpM以及截面s,可以定义方向导数∇XpsPEp.事实上,将Xp延拓为光滑向量场X,并令ˇˇ∇Xps“∇XsˇPEpp即可.读者可验证上式与向量场的延拓方式无关.•虽然联络关于截面s不是函数线性的,但根据定义的条件易见,∇Xs在p处的值只与s在p附近的值有关,因此联络可作用于局部截面上.更准确地说,如果σ为M上的光滑曲线,截面s1和s2限制在σ上完全相同,则∇σ_s1“∇σ_s2.•设λ,µ为函数,∇1,∇2为E上的两个联络.如果λ`µ“1,则线性组合λ∇1`µ∇2也是E上的联络.这个结论也可以推广至有限个联络的情形.下面我们研究向量丛上联络的存在性,先看平凡丛的情形.例3.2.1.平凡丛E“MˆRk上的联络. §3.2联络131平凡丛上的截面s可以看成M上的向量值函数s“pf1,¨¨¨,fkq,其中fip1ďiďkq为M上的函数.如果X为M上的向量场,则令∇Xs“pXf1,¨¨¨,Xfkq,容易验证这样定义的算子∇的确是E上的一个联络.因为向量丛均可局部平凡化,因此,作用于局部截面的联络总是可以定义的.利用单位分解以及联络的上述性质,我们就可以在向量丛上构造整体的联络了.事实上,向量丛上的联络是十分丰富的,我们往往要根据向量丛的其它几何结构来选取适当的联络.设σ:ra,bsÑM为M上的光滑曲线,σpaq“p,σpbq“q.给定E上的联络∇,我们可以定义沿曲线σ的一个平移算子.命题3.2.1.给定向量vPEp,存在惟一的沿σ的截面s,使得spaq“v,且∇σ_s”0.证明.不妨设σ含于E的一个平凡化坐标邻域U内,设tsuk为U上向量ii“1丛E的局部标架场(即局部截面,且在每一点处均为纤维的一组基).沿σ的截面可以表示为ÿks“fiptqsi.i“1条件∇σ_s”0等价于dfisi`fiptq∇σ_si“0,dt这是关于fiptq的一阶线性常微分方程组,在初始条件spaq“v下它有惟一的解.满足条件∇σ_s”0的截面s称为沿σ平行的截面.现在我们可以定义平移算子Pσ:EpÑEq了:令Pσpvq“spbqPEq,其中s是初值为v的沿σ平行的截面.显然,Pσ是线性算子,由平行截面的惟一性可知Pσ为单射,因此它实际上总是线性同构.以下我们转而研究切丛上的联络,我们将TM上的联络称为流形M上的仿射联络.如同在本节开头所说过的那样,仿射联络提供了向量场的一种求导方式.不仅如此,即使对于函数的求导,联络的存在也是有益的.例如,设f为光滑函数.给定p处两个切向量v,w,如何先后沿v,w方向对f在p处求导?一个自然的想法是,首先延拓v,w为M上的光滑向量场X,Y,然后考虑导数YpXfq.不过,这样定义的导数依赖于X,Y的选取.有了联络,我们可以定义二阶导数∇2fpv,wq如下:ˇ2ˇ∇fpv,wq“rYpXfq´∇YXfsˇ.p下面的命题说明这个定义是恰当的. 132第三章流形的几何命题3.2.2.设∇为M上的仿射联络,f为光滑函数,则∇2f为M上的二阶协变张量场.证明.只要说明∇2f关于X,Y是函数线性的即可.关于Y的函数线性性是显然的,以下验证关于X的函数线性性.设ϕ为光滑函数,则YpϕXfq´∇YpϕXqf“pYϕqXf`ϕ¨YpXfq´rpYϕqXf`ϕ∇YXfs“ϕrYpXfq´∇YXfs,因此∇2f关于Y是函数线性的.二阶协变张量场∇2f称为函数f在仿射联络∇下的Hessian.我们知道,欧氏空间中,函数的Hessian矩阵是对称的.对于仿射联络,如果要求函数的Hessian具有对称性,则必须有等式XpYfq´∇XYf“YpXfq´∇YXf成立,即p∇XY´∇YX´rX,Ysqf“0.命题3.2.3.设∇为M上的仿射联络,则TpX,Yq“∇XY´∇YX´rX,Ys定义了M上的一个张量场,称为∇的挠率张量.证明.显然,T关于X,Y具有反称性.以下说明T关于X的函数线性性.设ϕ为光滑函数,则TpϕX,Yq“∇ϕXY´∇YpϕXq´rϕX,Ys“ϕ∇XY´pYϕqX´ϕ∇YX´ϕrX,Ys`pYϕqX“ϕTpX,Yq.因此T是场张量(张量场).如果挠率张量T“0,则称仿射联络∇是无挠的或对称的.对于无挠的仿射联络,函数f的Hessian是对称的二阶协变张量场.设txiun为M的局部坐标系,i“1则tBun为局部基向量场.如果∇为仿射联络,则记Bxii“1BkB∇Bj“Γijk,BxiBxBx其中Γk是局部函数,称为仿射联络的Christoffel系数.此时,挠率张量可计算如ij下BBkkBTpBxi,Bxjq“pΓij´ΓjiqBxk.由此可见,∇为无挠联络当且仅当Γk关于指标i,j是对称的.ij §3.2联络133例3.2.2.欧氏空间上的仿射联络和平移.设X“pa,¨¨¨,aq,Y“pb,¨¨¨,bq为Rn上的光滑向量场,定义1n1n∇XY“pXb1,¨¨¨,Xbnq,则∇为Rn上的仿射联络.在标准的直角坐标下,这个联络的Christoffel系数恒为零.事实上,记teun为标准基向量场,其中e是第i个分量为1,其它分量为零ii“1i的常值向量场,则∇Xei“0.特别地,这个仿射联络是无挠的.如果σ为Rn中的光滑曲线,Y“pb,¨¨¨,bq为沿σ的平行向量场,则1n0“∇Y“pb1ptq,¨¨¨,b1ptqq,σ_1n即bi沿σ是常值的.这说明,这个仿射联络所定义的平移和欧氏空间作为向量空间的平移是一致的.设σ为流形M上的光滑曲线,则σ˙是沿着σ的向量场,如果它沿σ自身平行,则称σ为仿射联络的测地线.在局部坐标txiu中,σ可表示为σ“px1ptq,¨¨¨,xnptqq,从而σ˙“x˙iptqB,条件∇σ˙“0可写为Bxiσ_x¨kptq`xiptqxjptqΓk“0,@1ďkďn.(3.3)ij这是二阶常微分方程组(但一般不是线性的),如果给定初值σpaq“pPM,σ˙paq“XpPTpM,则其解在局部上是存在且惟一的.显然,对于欧氏空间来说,测地线方程的解均为直线.欧氏空间中的平移还有一条性质,即平移算子保持欧氏空间的内积.如果流形M具有黎曼度量g“x,y,则一个仿射联络所定义的平移在什么情况下是保持内积的呢?这是由所谓的相容性条件所保证的.设∇为M上的仿射联络,如果对任意向量场X,Y,ZPΓpTMq,均有ZxX,Yy“x∇ZX,Yy`xX,∇ZYy,则称∇与黎曼度量g相容.设∇与g相容.如果X,Y为沿曲线σ平行的向量场,则dxX,Yy“x∇σ_X,Yy`xX,∇σ_Yy“0,dt从而X,Y的内积沿σ保持不变,这说明沿σ的平移是切空间之间的等距变换.下面的定理是黎曼几何学的基本定理,它说明与M上给定的黎曼度量相容的对称仿射联络是惟一存在的,这个联络称为Levi-Civita联络. 134第三章流形的几何定理3.2.4.设pM,gq为黎曼流形,则满足下面条件的仿射联络∇是存在且惟一的:piqZxX,Yy“x∇ZX,Yy`xX,∇ZYy,@X,Y,ZPΓpTMq;piiq∇XY´∇YX“rX,Ys,@X,YPΓpTMq.证明.先说明惟一性.首先,根据条件piq得ZxX,Yy“x∇ZX,Yy`xX,∇ZYy,XxY,Zy“x∇XY,Zy`xY,∇XZy,YxZ,Xy“x∇YZ,Xy`xZ,∇YXy.然后,利用度量和联络的对称性得XxY,Zy`YxZ,Xy´ZxX,Yy“x∇XY`∇YX,Zy`xY,∇XZ´∇ZXy`xX,∇YZ´∇ZYy“2x∇XY,Zy´xrX,Ys,Zy`xY,rX,Zsy`xX,rY,Zsy,由此可知满足条件piq和piiq的联络是惟一的.反之,我们可利用上式定义∇XY,并且可验证∇是满足所有条件的联络.在局部坐标系txiu中,黎曼度量g可表示为g“gdxibdxj,ij其中g“xB,By.以X“B,Y“B,Z“B代入上述定理证明的等式中,ijBxiBxjBxiBxjBxl得mBgljBgliBgij2Γij¨gml“Bxi`Bxj´Bxl,由此得到Levi-Civita联络的Christoffel系数在局部坐标下的表达式k1klBgljBgliBgijΓij“2gpBxi`Bxj´Bxlq,(3.4)其中,gkl表示pgq的逆矩阵在pk,lq位置的元素.ijnˆn例3.2.3.pSn,gq的联络和测地线.1记∇¯为欧氏空间Rn`1上的联络(前面定义过).如果X,Y为Sn上的光滑向量场,则∇¯Y仍然有意义,将它向Sn的切空间作投影,记为∇Y,则XX∇XY“∇¯XY´x∇¯XY,⃗xy⃗x,其中⃗xPRn`1为Sn的位置向量(单位外法向量场).下面说明∇是限制度量g1的Levi-Civita联络. §3.2联络135先说明∇为仿射联络.联络定义中的piq,piiq是显然满足的.piiiq:给定Sn上的光滑函数f,有∇XpfYq“∇¯XpfYq´x∇¯XpfYq,⃗xy⃗x“pXfqY`f∇¯XY´xpXfqY`f∇¯XY,⃗xy⃗x“pXfqY`f∇¯XY´fx∇¯XY,⃗xy⃗x“pXfqY`f∇XY,其中我们用到切向量场Y与法向量场⃗x之间的正交性.其次,∇是无挠的:∇XY´∇YX“∇¯XY´∇¯YX´x∇¯XY´∇¯YX,⃗xy⃗x“rX,Ys´xrX,Ys,⃗xy⃗x“rX,Ys,其中我们用到切向量场rX,Ys与法向量场⃗x之间的正交性.最后,∇与限制度量相容:设X,Y,Z均为Sn上的光滑向量场,则ZxX,Yy“x∇¯ZX,Yy`xX,∇¯ZYy“x∇¯ZX´x∇¯ZX,⃗xy⃗x,Yy`xX,∇¯ZY´x∇¯ZY,⃗xy⃗xy“x∇ZX,Yy`xX,∇ZYy.设σ为Sn上以弧长为参数的测地线,则0“∇σ_σ˙“∇¯σ_σ˙´x∇¯σ_σ,σ˙yσ“σ¨´xσ,σ¨yσ,其中,xσ,σ¨y“xσ,σ˙y1´xσ,˙σ˙y“´1,因此,测的线方程成为σ¨“´σ,其解形如σptq“σp0qcost`σ˙p0qsint,也就是说测地线均为球面大圆(或大圆的一部分).以上关于Sn的讨论可以推广到一般的子流形上.设pM,gq为黎曼流形,N为M的子流形,i:NÑM为包含映射,g在N上的限制i˚g成为N上的黎曼度量,我们将pN,i˚gq称为pM,gq的黎曼子流形.如果∇¯为pM,gq的Levi-Civita联络,定义∇Y“p∇¯YqJ,@X,YPΓpTNq,XX 136第三章流形的几何其中J:TMÑTN是正交投影.这样定义的算子∇是pN,i˚gq的Levi-Civita联络.如前所述,仿射联络给出了向量场的一种求导方式,我们可以将这种求导方式推广至所有的张量场上.先看一些特例.设X为M上的光滑向量场.p1q如果f为光滑函数,则令∇Xf“Xf,这也就是方向导数;p2q如果ω为1形式,定义∇Xω如下:任给光滑向量场Y,令∇XωpYq“XpωpYqq´ωp∇XYq,上式关于向量场Y是函数线性的,因此∇Xω为1形式.算子∇是1形式丛上的一个联络.按照以上定义,在局部坐标txiu下,我们有jBjB∇Xpdxqpq“´dxp∇Xq,BxkBxk特别地,当X“B时,有BxijBjlBj∇Bpdxqpkq“´dxpΓiklq“´Γik,BxiBxBx这说明∇pdxjq“´ΓjkBdx.(3.5)ikBxip3q如果Ybω为p1,1q型的张量场,则令∇XpYbωq“p∇XYqbω`Ybp∇Xωq,这样就将联络定义到了p1,1q型的张量丛上.一般地,通过令∇X与张量积运算b可交换,可以将切丛上的联络推广至其它张量场上.我们也可以这样定义张量丛上的联络:设θ为pr,sq型的张量场,任给1形式tηur以及向量场tYus,令ii“1jj“1∇Xθpη1,¨¨¨,ηr;Y1,¨¨¨,Ysq“Xpθpη1,¨¨¨,ηr;Y1,¨¨¨,Ysqqÿr´θpη1,¨¨¨,ηi´1,∇Xηi,ηi`1,¨¨¨ηr;Y1,¨¨¨,Ysqi“1ÿs´θpη1,¨¨¨,ηr;Y1,¨¨¨,Yj´1,∇XYj,Yj`1,¨¨¨,Ysq,j“1这样定义的∇Xθ是pr,sq型的场张量(张量场),称为θ关于X的协变导数.如果此协变导数为零,则称θ关于X平行.如果∇为Levi-Civita联络,g为黎曼度量,则按照以上定义,任给向量场Y,Z,有∇XgpY,Zq“XpgpY,Zqq´gp∇XY,Zq´gpY,∇XZq“0, §3.2联络137即在Levi-Civita联络下,黎曼度量总是平行的.直接的验算表明,∇是pr,sq型张量丛上的联络.这个联络具有以下性质:•∇X与张量积运算b可交换,即∇Xpθbηq“p∇Xθqbη`θb∇Xη,其中θ,η均为张量场.我们验证一个特殊情形,一般的情形留作练习.设Y为向量场,ω为1形式.则任给1形式η和向量场Z,有∇XpYbωqpη,Zq“XpηpYq¨ωpZqq´∇XηpYq¨ωpZq´ηpYq¨ωp∇XZq“XpηpYqq¨ωpZq`ηpYq¨XpωpZqq´XpηpYqq¨ωpZq`ηp∇XYq¨ωpZq´ηpYq¨ωp∇XZq“ηp∇XYq¨ωpZq`ηpYq¨rXpωpZqq´ωp∇XZqs“rp∇XYqbω`Ybp∇Xωqspη,Zq,这说明协变求导和张量积可交换.•∇X与外积运算^可交换,即∇Xpα^βq“p∇Xαq^η`α^∇Xβ,其中α,β均为微分形式.这可由上一条以及外积运算的定义推出.j•∇X与缩并运算可交换.记Ci为逆变指标i和协变指标j之间的缩并算子,它将pr,sq型的张量缩并为pr´1,s´1q型的张量.于是有∇˝Ci“Ci˝∇.我们XjjX仍以一个特例加以说明.设Y,Z为向量场,ω,η为1形式.则θ“YbZbωbη为p2,2q型的张量场,将其第二个逆变指标和第一个协变指标作缩并,得p1,1q型张量场C2pθq“ωpZq¨Ybη.计算协变导数如下:1∇˝C2pθq“XpωpZqq¨Ybη`ωpZq¨∇Ybη`ωpZq¨Yb∇η.X1XX另一方面,先求协变导数再作缩并:C2˝∇pθq“ωpZq¨∇Ybη`ωp∇Zq¨Ybη1XXX`∇XωpZq¨Ybη`ωpZq¨Yb∇Xη“ωpZq¨∇XYbη`XpωpZqq¨Ybη`ωpZq¨Yb∇Xη,因此所得两个结果是一致的. 138第三章流形的几何进一步,由于协变求导算子∇X关于X函数线性,因此我们可以象对函数求全微分那样,对张量场求一种全微分.具体来说,设θ为pr,sq型张量场,定义pr,s`1q型的张量场∇θ如下:任给1形式tηur以及向量场tYus,X,令ii“1jj“1∇θpη1,¨¨¨,ηr;Y1,¨¨¨,Ys,Xq“∇Xθpη1,¨¨¨,ηr;Y1,¨¨¨,Ysq,这样定义的∇θ是pr,s`1q型的场张量(张量场),称为θ的协变微分.协变微分为零的张量场称为平行张量场.例如,在Levi-Civita联络下,黎曼度量就是平行的.在局部坐标系txiu中,设pr,sq型张量θ表示为θ“θi1¨¨¨irBb¨¨¨bBbdxj1b¨¨¨bdxjs,j1¨¨¨jsBxi1Bxir其协变微分记为∇θ“θi1¨¨¨irBb¨¨¨bBbdxj1b¨¨¨bdxjsbdxk,j1¨¨¨js,kBxi1Bxir其中,协变微分的系数计算如下:θi1¨¨¨ir“∇i1irBBBθpdx,¨¨¨,dx;,¨¨¨,qj1¨¨¨js,kBxkBxj1BxjsBθi1¨¨¨irÿrBB“j1¨¨¨js´θpdxi1,¨¨¨,∇dxip,¨¨¨,dxir;,¨¨¨,qBBxkBxkBxj1Bxjsp“1ÿsBBB´i1ir,¨¨¨,∇,¨¨¨,θpdx,¨¨¨,dx;BqBxj1BxkBxjqBxjsq“1Bθi1¨¨¨irÿrÿs“j1¨¨¨js`θi1¨¨¨ip´1hip`1¨¨¨irΓip´θi1¨¨¨irΓh.Bxkj1¨¨¨jskhj1¨¨¨jq´1hjq`1¨¨¨jskjqp“1q“1由上式可清楚地看到,协变导数和通常的偏导数之间的差别体现在Christoffel系数的引入上.如果f为函数,则由定义易见∇f“df,协变微分也就是外微分(注意,以前我们曾用记号∇f表示f的梯度场).于是,∇2f“∇p∇fq为2阶协变张量场,按定义计算如下:∇2fpX,Yq“∇pdfqpXqY“YpdfpXqq´dfp∇YXq“YpXfq´∇YXf,其中X,Y为任意向量场.这样,∇2f就和前面定义的Hessian是一致的.以下再考虑协变导数的一些应用.例3.2.4.散度算子div. §3.2联络139设pM,gq为黎曼流形,∇为Levi-Civita联络.如果θ为M上的pr,sq型张量场,则∇θ为pr,s`1q型的张量场.将它的第r个逆变指标和第s`1个协变指标作缩并,得到的pr´1,sq型张量场称为θ的散度,记为divθ.如果X为向量场,则其散度可表示为divX“x∇eiX,eiy,其中,teiu为TM的一组局部标准正交基.当M可定向时,我们曾用Lie导数定义过散度:LXΩ“pdivXqΩ,其中Ω为体积形式.为了说明这两个定义的一致性,先作一些准备工作.首先,当teiu为标准正交基时,有0“eixej,ejy“2x∇eiej,ejy,因此,当i‰j时,rei,ejs的ei,ej分量形如rei,ejs“∇eiej´∇ejei“x∇eiej,eiyei`x∇eiej,ejyej´x∇ejei,eiyei´x∇ejei,ejyej`¨¨¨“´xej,∇eieiyei`xei,∇ejejyej`¨¨¨.于是divX“LXΩpe1,¨¨¨,enq“dpiXΩqpe1,¨¨¨,enqÿn“p´1qi´1eΩpX,e,¨¨¨,eˆ,¨¨¨,eqi1ini“1ÿ`p´1qi`jΩpX,re,es,e,¨¨¨,eˆ,¨¨¨,eˆ,¨¨¨,eqij1ijniăjÿnÿ“eixX,eiy`r´xX,ejyxej,∇eieiy´xX,eiyxei,∇ejejysi“1iăj“eixX,eiy´xX,∇eieiy“x∇eiX,eiy.即向量场散度的两个定义是一致的.有了散度算子,我们可以引入重要的Laplace算子∆.设f为光滑函数,其梯度场记为gradf.定义∆f“divpgradfq,(3.6)如果∆f“0,则称f为M上的调和函数.为了求出Laplace算子的局部表示,我们先引入迹(trace)的概念. 140第三章流形的几何定义3.2.2(trace).设S为二阶对称协变张量场,其迹trS是M上的函数,定义为ÿntrS“Spei,eiq,i“1其中teiu为标准正交基.容易看出,trS的定义不依赖于标准正交基的选取.一般地,我们可以对张量场的任意两个协变指标求trace.命题3.2.5.对于光滑函数,成立∆f“tr∇2f.证明.按照定义,有∆f“x∇eigradf,eiy“eixgradf,eiy´xgradf,∇eieiy“eipeifq´∇eieif“∇2fpe,eq“tr∇2f,ii命题得证.设txiu为M的局部坐标系.标准正交基teu可表示为e“bjB,其中iiiBxjijBBijδkl“xek,ely“bkblxBxi,Bxjy“bkblgij,这说明gij“bibj.(3.7)kk有了上式,我们可以在局部坐标系中表示trS.命题3.2.6.设S为二阶对称协变张量场,则ijBBtrS“g¨Sp,q.BxiBxj证明.按照定义,有iBjBtrS“Spek,ekq“SpbkBxi,bkBxjqijBB“bkbk¨SpBxi,BxjqijBB“g¨Sp,q,BxiBxj命题得证. §3.2联络141特别地,在局部坐标系中,Laplace算子可以写为ij2BB∆f“g¨∇fp,q.(3.8)BxiBxj利用上式可以继续得到下面的公式.命题3.2.7.记G“detpgijq,则1Bik?Bf∆f“?pgGq.(3.9)GBxkBxi证明.先做一些计算:ijk1ijklBgljBgliBgjigΓji“2ggpBxi`Bxj´Bxlq1ijklBglj1ijklBgli1klijBgji“gpgq`gpgq´gpgq2Bxi2Bxj2Bxl1Bgkl1Bgkl1BG“´gijpgq´gijpgq´gklG´12Bxilj2Bxjli2BxlBgki1BG“´´gklG´1.Bxi2Bxl于是有ij2BB∆f“g¨∇fp,qBxiBxjijBBfB“grpq´∇BfsjiiBxBxBxjBxijBBfijkBf“gBxjpBxiq´gΓjiBxkBBfBgkiBf1BGBf“gijpq``gklG´1BxjBxiBxiBxk2BxlBxk1Bik?Bf“?pgGq,GBxkBxi命题得证.习题3.21.给出联络基本性质的详细证明.2.用单位分解在向量丛上构造联络,要求按联络的定义加以验证.3.证明,对于Levi-Civita联络下的测地线,其切向量的长度必为常数.4.按照联络的定义验证,由∇Y“p∇¯YqJ给出的子流形上的算子的确为Levi-XXCivita联络. 142第三章流形的几何5.设∇为无挠的仿射联络,ω为r次微分形式.则对任意向量场tXiu,成立rÿ`1dωpX,¨¨¨,Xq“p´1qi´1∇ωpX,¨¨¨,Xx,¨¨¨,Xq.1r`1Xi1ir`1i“16.设pM,gq为黎曼流形,f为光滑函数,证明Lg“2∇2f.gradf7.设∇为pM,gq的Levi-Civita联络,则Z为Killing场当且仅当x∇XZ,Yy`xX,∇YZy“0,@X,YPΓpTMq.x3.3曲率设pM,gq为黎曼流形,如无特别申明,以下均假设∇为Levi-Civita联络.我们继续考虑张量场在联络下的求导.如果f为光滑函数,则由前一节的计算知∇2f为对称二阶协变张量场.如果Z为向量场,则∇2Z为p1,2q型的张量场,它关于两个协变指标是否对称?我们可以计算如下:设ω为1形式,X,Y为向量场,则∇2Zpω,X,Yq“∇p∇Zqpω,XqY“Yp∇Zpω,Xqq´∇Zp∇Yω,Xq´∇Zpω,∇YXq“Ypωp∇XZqq´∇Yωp∇XZq´ωp∇∇YXZq“ωp∇Y∇XZ´∇∇YXZq.如同考虑∇2f的对称性的时候用到挠率张量那样,令RpX,YqZ“∇Y∇XZ´∇X∇YZ`∇rX,YsZ,(3.10)则∇2Zpω,X,Yq´∇2Zpω,Y,Xq“ωpRpX,YqZq.一般来说,RpX,YqZ(也记为RXYZ)不为零,它反映了向量场不同次序求导之间的差异.从上述计算易见,RpX,YqZ关于X,Y是函数线性的,下面说明它关于Z也是函数线性的,从而定义了一个p1,3q型的张量场.设ϕ为光滑函数,则RpX,YqpϕZq“∇Y∇XϕZ´∇X∇YϕZ`∇rX,YsϕZ“∇YppXϕqZ`ϕ∇XZq´∇XppYϕqZ`ϕ∇YZq`prX,YsϕqZ`ϕ∇rX,YsZ“pYXϕqZ`pXϕq∇YZ`pYϕq∇XZ`ϕ∇Y∇XZ´pXYϕqZ´pYϕq∇XZ´pXϕq∇YZ´ϕ∇X∇YZ`prX,YsϕqZ`ϕ∇rX,YsZ“ϕr∇Y∇XZ´∇X∇YZ`∇rX,YsZs“ϕRpX,YqZ, §3.3曲率143这说明RpX,YqZ关于Z是函数线性的.在局部坐标txiu下,它所定义的p1,3q型张量场R可表示为lBijkR“Rbdxbdxbdx,ijkBxl其中llBBBR“dxpRp,qqijkBxiBxjBxklBB“dxp∇B∇B´∇B∇BqkkBxjBxiBxBxiBxjBxlmBmB“dxr∇BpΓikmq´∇BpΓjkmqsBxjBxBxiBxBlBlmlml“BxjΓik´BxiΓjk`ΓikΓjm´ΓjkΓim.利用黎曼度量g,我们可以将R的逆变指标降为协变指标,这样得到的p0,4q型张量场称为曲率张量,仍记为R.于是,任给向量场X,Y,Z,W,有RpX,Y,Z,Wq“xRpX,YqZ,Wy.在局部坐标txiu下,曲率张量可表示为R“Rdxibdxjbdxkbdxl,ijkl其中BBBBRijkl“Rp,,,q.BxiBxjBxkBxl为了计算系数Rijkl,我们首先注意到BBm1mtBgtjBgtkBgjkx∇Bk,ly“Γjkgml“gmlgpk`j´tqBxjBxBx2BxBxBx1BgljBglkBgjk“p`´q,2BxkBxjBxl其次有BBBBRijkl“x∇B∇B,y´x∇B∇B,yklklBxjBxiBxBxBxiBxjBxBxBBBBBBBB“x∇B,y´x∇B,∇By´x∇B,yjklkliklBxBxiBxBxBxiBxBxjBxBxBxjBxBxBB´x∇B,∇By,klBxjBxBxiBx最后得1B2gB2gB2gB2giljkikjlRijkl“p`´´q2BxjBxkBxiBxlBxjBxlBxiBxk`gΓrΓs´gΓrΓs.(3.11)rsjkilrsjlik由上式可知,曲率张量由黎曼度量的二阶导数和一阶导数构成.曲率张量是黎曼几何中主要的几何不变量,对它的理解和研究是黎曼几何学的中心任务之一. 144第三章流形的几何例3.3.1.欧氏空间pRn,gq的曲率张量恒为零,这可从(3.11)立即知道.0例3.3.2.球面pSn,gq的曲率.1我们先看联络.沿用前一节的记号,以∇¯表示Rn`1上的联络,⃗x为Sn的位置向量.如果X,Y为Sn的切向量场,则∇¯⃗x“pXpx1q,¨¨¨,Xpxn`1qq“X,X从而有x∇¯XY,⃗xy“XxY,⃗xy´xY,∇¯X⃗xy“´xY,Xy,这说明Sn的联络∇可表示为∇XY“∇¯XY`xX,Yy⃗x.(3.12)利用上式我们来计算二阶求导:∇Y∇XZ“∇¯Y∇XZ`xY,∇XZy⃗x“∇¯Yp∇¯XZ`xX,Zy⃗xq`XxY,Zy⃗x´x∇XY,Zy⃗x“∇¯Y∇¯XZ`pYxX,Zy`XxY,Zy´x∇XY,Zyq⃗x`xX,ZyY,于是有(注意Rn`1曲率为零)RpX,YqZ“xX,ZyY´xY,ZyX,最后得到Sn的曲率张量为RpX,Y,Z,Wq“xX,ZyxY,Wy´xY,ZyxX,Wy.(3.13)对于一般的黎曼流形,其曲率张量可能非常复杂.不过,从(3.11)式可以观察到以下等式:Rijkl“´Rjikl“´Rijlk,Rijkl“Rklij.(3.14)进一步的观察表明Rijkl`Rjkil`Rkijl“0.(3.15)我们将这些等式总结为命题3.3.1.曲率张量具有以下对称性:p1qp第一Bianchi恒等式qRpX,Y,Z,Wq`RpY,Z,X,Wq`RpZ,X,Y,Wq“0;p2qRpX,Y,Z,Wq“´RpY,X,Z,Wq“´RpX,Y,W,Zq;p3qRpX,Y,Z,Wq“RpZ,W,X,Yq. §3.3曲率145证明.我们只证明p1q.计算如下:RpX,YqZ`RpY,ZqX`RpZ,XqY“∇Y∇XZ´∇X∇YZ`∇rX,YsZ`∇Z∇YX´∇Y∇ZX`∇rY,ZsX`∇X∇ZY´∇Z∇XY`∇rZ,XsY“´∇YrZ,Xs´∇XrY,Zs´∇ZrX,Ys`∇rX,YsZ`∇rY,ZsX`∇rZ,XsY“´rX,rY,Zss´rY,rZ,Xss´rZ,rX,Yss“0,最后的等号用到了Jacobi恒等式.利用曲率张量的对称性,我们给出重要的截面曲率的概念.设Π为切空间TpM的二维子空间,取它的一组基为X,Y,定义Π的截面曲率为RpX,Y,X,YqKpΠq“,(3.16)|X^Y|2其中|X^Y|2“xX,XyxY,Yy´xX,Yy2.我们要说明截面曲率的定义与Π的基的选取无关.设tZ,Wu为Π的另一组基,则存在实数a,b,c,d使得Z“aX`bY,W“cX`dY,ad´bc‰0.此时,直接的计算表明|Z^W|2“pad´bcq2|X^Y|2.根据曲率算子的对称性,有RpZ,W,Z,Wq“RpaX`bY,cX`dY,aX`bY,cX`dYq“pad´bcqRpX,Y,aX`bY,cX`dYq“pad´bcq2RpX,Y,X,Yq.于是RpZ,W,Z,WqRpX,Y,X,Yq“,|Z^W|2|X^Y|2即截面曲率的定义是恰当的.根据前面例子中的计算可知,pRn,gq的截面曲率恒0为零,而pSn,gq的截面曲率恒为1.1例3.3.3.双曲空间的曲率.考虑上半空间模型H,黎曼度量g“x´2pdx1bdx1`¨¨¨`dxnbdxnq.此时ng“x´2δ,gij“x2δ.于是有ijnijnijk12´3´3´3Γij“xnδkmp´2xnδimδjn´2xnδjmδin`2xnδijδmnq2“x´1pδδ´δδ´δδq,nijknikjnkjin 146第三章流形的几何以及B2gij“6x´4δδδ.BxkBxlnknlnij将它们代入(3.11)得R“x´4pδδ´δδq“´pgg´ggq,ijklnjkiljlikikjliljk因此有RpX,Y,Z,Wq“´pxX,ZyxY,Wy´xY,ZyxX,Wyq,这说明双曲空间的截面恒为´1.从p0,4q型的曲率张量R出发,对它的1,3指标求Trace,就得到一个二阶协变张量场,称为Ricci张量.具体来说,取标准正交基teiu,令ÿnRicpX,Yq“Rpei,X,ei,Yq,(3.17)i“1则根据曲率张量的对称性质,Ric为对称二阶协变张量场.在局部坐标txiu下,Ric可以表示为Ric“Rdxibdxj,ij其中R“gklR.ijkilj如果X为单位向量,则称RicpX,Xq为X方向的Ricci曲率.如果将X“e1扩充为一组标准正交基teiu,则ÿnÿnRicpX,Xq“Rpei,X,ei,Xq“Rpei,e1,ei,e1q,i“1i“2因此Ricci曲率均为pn´1q个截面曲率之和.从Ricci张量出发,对它求Trace就得到M上的函数S,称为pM,gq的数量曲率或纯量曲率.按照定义,S可表示为ÿS“gijgklR“Rpe,e,e,eq.kiljijiji,j例3.3.4.对于2维流形来说,它在每一点的截面曲率只有一个,记为K.此时Ric“Kg,S“2K.例3.3.5.pSn,gq的Ricci曲率恒为pn´1q,因此Ric“pn´1qg,S“npn´1q.1一般地,Ricci曲率为常数的黎曼度量称为Einstein度量,拥有Einstein度量的黎曼流形称为Einstein流形.Einstein流形的研究是微分几何的重要课题之一,其研究动力很大程度上是来自于Einstein的广义相对论. §3.3曲率147例3.3.6.3维Einstein流形.如果M3为Einstein流形,设其Ricci曲率为常数λ.任取标准正交基teu,记iRijkl“Rpei,ej,ek,elq,Rij“Ricpei,ejq.由Ricci曲率的定义,有R11“R1212`R1313,R22“R1212`R3232,R33“R1313`R2323.从上式中可解出11R1212“pR11`R22´R33q“λ,22由于teu是任取的,这表明M3的截面曲率实际上是常数.i以上讨论的曲率均涉及二阶求导.关于三阶求导,我们有命题3.3.2(第二Bianchi恒等式).对于p1,3q型的张量RXYZ,有p∇XRqYZ`p∇YRqZX`p∇ZRqXY“0.证明.任给向量场W,有p∇XRqYZW“∇XpRYZWq´RYZp∇XWq´R∇XY,ZW´RY,∇XZW,将上式中的X,Y,Z依次轮换,得到另外两个方程,将它们相加,并利用联络和曲率的性质即可得到证明.具体的计算有些繁琐,我们略去.下一节我们将给出另外一个证明.Bianchi恒等式对于p0,4q型的曲率张量也成立.事实上,因为∇RpX,Y,Z,W,Vq“∇VRpX,Y,Z,Wq“VpRpX,Y,Z,Wqq´Rp∇VX,Y,Z,Wq´RpX,∇VY,Z,Wq´RpX,Y,∇VZ,Wq´RpX,Y,Z,∇VWq“xVpRpX,YqZq,Wy`xRpX,YqZ,∇VWy´xRp∇VX,YqZ,Wy´xRpX,∇VYqZ,Wy´xRpX,Yq∇VZ,Wy´xRpX,YqZ,∇VWy“xp∇VRqXYZ,Wy,轮换上式中V,X,Y的位置,将所得等式相加,得∇RpX,Y,Z,W,Vq`∇RpY,V,Z,W,Xq`∇RpV,X,Z,W,Yq“0,(3.18)根据曲率张量的对称性,上式也可以改写为∇RpZ,W,X,Y,Vq`∇RpZ,W,Y,V,Xq`∇RpZ,W,V,X,Yq“0.(3.19) 148第三章流形的几何在局部坐标txiu下,如果∇R写为∇R“Rdxibdxjbdxkbdxlbdxh,ijkl,h则第二Bianchi恒等式成为Rijkl,h`Rijlh,k`Rijhk,l“0.(3.20)如果对数量曲率求协变导数,并利用上式,则有S“gijgklR“´gijgklR´gijgklRmkilj,mkijm,lkiml,j“gklR`gijRkm,lim,j“2gijR.mi,j如果Ricci张量是黎曼度量的倍数,即存在函数fpxq,使得Rij“fpxqgij,则易见fpxq“S{n,即SRic“g.n此时对上式求协变导数,得1Rmi,j“Sjgmi,n因此有ij2ij2Sm“2gRmi,j“gSjgmi“Sm,nn于是当ně3时∇S“0.这可总结为下面的结果.定理3.3.3(Shur).设M为连通n维流形,ně3.如果黎曼度量g的Ricci张量是g的倍数,则g是Einstein度量.最后,我们简单介绍一般张量场的二阶求导曲率算子.设X,Y为向量场,K为pr,sq型的张量场,令RXYK“∇Y∇XK´∇X∇YK`∇rX,YsK.(3.21)RXY称为由X,Y所定义的曲率算子,显然RXY“´RYX.命题3.3.4.设K1,K2为张量场,f为光滑函数,则p1qRXYpK1bK2q“pRXYK1qbK2`K1bpRXYK2q;p2qRpfXqYK“RXpfYqK“RXYpfKq“fRXYK.证明.p1q这只要利用协变求导与张量积运算之间的可交换性即可,略. §3.3曲率149p2q由定义,有RpfXqYK“∇Y∇fXK´∇fX∇YK`∇rfX,YsK“∇Ypf∇XKq´f∇X∇YK`∇frX,Ys´pYfqXK“pYfq∇XK`f∇Y∇XK´f∇X∇YK`f∇rX,YsK´pYfq∇XK“fRXYK.同理可得RXpfYqK“fRXYK.另一方面,曲率算子RXY可以写为RXY“∇rX,Ys´r∇X,∇Ys,由此不难验证关于K的函数线性性.我们知道,对向量场的二阶求导时,不同次序的导数之差体现在曲率上.对于一般的张量场,会出现完全类似的现象.命题3.3.5(Ricci恒等式).设K为张量场,则∇2Kp¨,X,Yq´∇2Kp¨,Y,Xq“pRKqp¨q.XY证明.首先,按协变导数(联络)的定义,可以验证∇2Kp¨,X,Yq“∇∇Kp¨q´∇Kp¨q.(3.22)YX∇YX于是交换X,Y的次序再相减就得到欲证等式.我们在局部坐标txiu下做一些计算.首先有pdxkq“∇kkRBBB∇Bdx´∇B∇BdxBxiBxjBxjBxiBxiBxj“∇kmkmBp´Γimdxq´∇Bp´ΓjmdxqBxjBxiBkmkmlBkmkml“´pBxjΓimqdx`ΓimΓjldx`pBxiΓjmqdx´ΓjmΓildxBkBkkmkml“pBxiΓjl´BxjΓil`ΓimΓjl´ΓjmΓilqdxkl“´Rdx.ijl如果张量场∇2K表示为∇2K“Ki1¨¨¨irBb¨¨¨bBbdxj1b¨¨¨bdxjsbdxkbdxl,j1¨¨¨js,klBxi1Bxir则由Ricci恒等式以及曲率算子RXY与张量积的可交换性可得ÿrÿsi1¨¨¨iri1¨¨¨iri1¨¨¨ip´1iip`1¨¨¨iripi1¨¨¨irjKj1¨¨¨js,kl´Kj1¨¨¨js,lk“Kj1¨¨¨jsRkli´Kj1¨¨¨jq´1jjq`1¨¨¨jsRkljq.p“1q“1(3.23) 150第三章流形的几何习题3.31.设f:pM,gqÑpN,hq为等距同构,证明f保持曲率不变,即R“f˚R.MN2.设p0,4q型的张量场S,T均满足曲率张量关于指标的对称性.证明,如果SpX,Y,X,Yq“TpX,Y,X,Yq,@X,YPΓpTMq则S”T.3.证明,黎曼流形pM,gq的截面曲率为常数c当且仅当曲率张量满足RpX,YqZ“cpxX,ZyY´xY,ZyXq.4.考虑Rn`1中的超曲面ˇÿnHnp1q“tpx1,¨¨¨,xn`1qPRn`1ˇpxiq2´pxn`1q2“´1,xn`1ą0u.i“1řn证明,当二阶协变张量场g“dxibdxi´dxn`1bdxn`1限制在Hnp1qn,1i“1上时是正定的黎曼度量,并计算截面曲率.5.设pM,gq为黎曼流形,f为M上的正光滑函数,则g¯“f2g也是M上的黎曼度量.求这两个黎曼度量的曲率张量之间的关系.6.在上一题的情况下,如果f为常数,说明Ricpgq“Ricpg¯q.7.设Z为pM,gq为Killing向量场,证明p1qx∇2ZpX,Yq,Wy“´x∇2ZpW,Yq,Xy;p2q∇2ZpX,Yq“RpZ,YqX.8.设∇为向量丛E上的联络.任给X,YPΓpTMq,定义曲率算子RpX,Yq:ΓpEqÑΓpEq,RpX,Yqs“∇Y∇Xs´∇X∇Ys`∇rX,Yss.证明RpX,Yqs关于X,Y以及截面s都是函数线性的. §3.4联络和曲率的计算151x3.4联络和曲率的计算x3.4.1活动标架法设∇为流形M上的仿射联络.如果teiu为TM的一组(局部)基,则存在1形式tωiu,使得jj∇ei“ejbωi,(3.24)tωju称为联络∇的联络形式.在局部坐标txiu下,如果取e“B,则由iiBxiBjBk∇“ΓbdxBxikiBxj知ωj“Γjdxk.iki设tωiu为teu的一组对偶基,由(X为向量场)i∇ωipeq“Xpωipeqq´ωip∇eq“´ωipXqXjjXjj知∇ωi“´ωipXqωj,因此Xj∇ωi“´ωjbωi.(3.25)j例如,当ω“dxi时,∇dxi“´Γidxjbdxk.kj以下假设∇为Levi-Civita联络,由于联络的挠率为零,故任给向量场X,Y,有dωpX,Yq“XpωpYqq´YpωpXqq´ωprX,Ysq“XpωpYqq´YpωpXqq´ωp∇XYq`ωp∇YXq“∇XωpYq´∇YωpXq“∇ωpY,Xq´∇ωpX,Yq,对ωi利用上式以及(3.25)得dωi“ωj^ωi“´ωi^ωj.(3.26)jj联络形式也可以用来计算曲率.事实上,由定义有RXYei“∇Y∇Xei´∇X∇Yei`∇rX,Yseijjj“∇YpωipXqejq´∇XpωipYqejq`ωiprX,Ysqejjjjjj“YpωipXqqej`ωipXq∇Yej´XpωipYqqej´ωipYq∇Xej`ωiprX,Ysqej“´dωjpX,Yqe`ωjpXqωkpYqe´ωjpYqωkpXqeijijkijkjkj“´dωipX,Yqej`pωi^ωkqpX,Yqej, 152第三章流形的几何这说明p´dωj`ωk^ωjqpX,Yq“ωjpReq,iikXYi或改写为jkj1jkl´dωi`ωi^ωk“Rkliω^ω,(3.27)2其中Rj“ωjpRpe,eqeq.(3.26)式和(3.27)式统称Cartan结构方程,它们是klikli非常有用的计算工具.(3.27)也常改写为dωi“´ωi^ωk`Ωi,(3.28)jkjj其中i1iklΩj“´Rkljω^ω,(3.29)2Ωi称为曲率形式.j当teiu为标准正交基时,黎曼度量g可以写成g“ω1bω1`¨¨¨`ωnbωn.(3.30)此时有0“dxei,ejy“x∇ei,ejy`xei,∇ejy“xebωk,ey`xe,ebωlykijiljji“ωi`ωj,即联络形式关于它的两个指标具有反称性.其次,当teiu为标准正交基时,下式也成立jRkli“xRpek,elqei,ejy“Rklij,此时曲率形式可写为i1kl1klΩj“´Rkljiω^ω“Rijklω^ω.22例3.4.1.曲面的曲率.设二维曲面M有黎曼度量g“ϕ2dubdu`ψ2dvbdv,其中tu,vu为局部坐标,ϕ,ψ为正的光滑函数.此时,e“ϕ´1B,e“ψ´1B为标准正交基,其对偶基1Bu2Bv为ω1“ϕdu,ω2“ψdv.由dω1“dϕ^du“ϕdv^du“´ψ´1ϕdu^ω2,vv以及dω2“dψ^dv“ψdu^dv“´ϕ´1ψdv^ω1,uu §3.4联络和曲率的计算153解出联络形式为ω1“ψ´1ϕdu´ϕ´1ψdv.2vu于是曲率形式为11ψuϕvΩ2“dω2“´rpqu`pqvsdu^dv,ϕψ这说明M2的截面曲率为1ψuϕvK“R1212“´rpqu`pqvs.ϕψϕψ这与古典微分几何中的结果是一致的.从结构方程可以得到Bianchi恒等式.例如,对(3.26)两边求外微分,并利用(3.27),得0“d2ωi“´dωi^ωj`ωi^dωjjj“´pΩi´ωi^ωkq^ωj´ωi^ωj^ωkjkjjkij1iklj“´Ωj^ω“Rkljω^ω^ω,2这表明iiiR`R`R“0,kljljkjkl这是第一Bianchi恒等式.为了获得第二Bianchi恒等式,我们先在标架teu和tωiu下计算pr,sq型张i量θ的协变导数:θi1¨¨¨ir“∇θpωi1,¨¨¨,ωir;e,¨¨¨,eqj1¨¨¨js,kekj1jsÿr“epθi1¨¨¨irq´θpωi1,¨¨¨,∇ωip,¨¨¨,ωir;e,¨¨¨,eqkj1¨¨¨jsekj1jsp“1ÿs´θpωi1,¨¨¨,ωir;e,¨¨¨,∇e,¨¨¨,eqj1ekjqjsq“1ÿrÿs“epθi1¨¨¨irq`θi1¨¨¨ip´1hip`1¨¨¨irωippeq´θi1¨¨¨irωhpeq,kj1¨¨¨jsj1¨¨¨jshkj1¨¨¨jq´1hjq`1¨¨¨jsjqkp“1q“1上式也可以改写为ÿrÿsθi1¨¨¨ir¨ωk“dθi1¨¨¨ir`θi1¨¨¨ip´1hip`1¨¨¨irωip´θi1¨¨¨irωh.(3.31)j1¨¨¨js,kj1¨¨¨jsj1¨¨¨jshj1¨¨¨jq´1hjq`1¨¨¨jsjqp“1q“1现在,如果对(3.27)两边求外微分就得到dΩi“dωi^ωk´ωi^dωk“Ωi^ωk´ωi^Ωk,jkjkjkjkj 154第三章流形的几何将(3.29)以及结构方程再代入上式并整理,得pdRi´Riωh´Riωh´Riωh`Rhωiq^ωk^ωl“0,kljhljkkhjlklhjkljh利用(3.31),上式可改写为Ri¨ωh^ωk^ωl“0,(3.32)klj,h这也就是第二Bianchi恒等式.以下继续给出结构方程的简单应用.例3.4.2.双曲空间的结构方程.在上半空间Hn中考虑黎曼度量g“x´2pdx1bdx1`¨¨¨`dxnbdxnq,取标准n正交标架te“xBu,其对偶标架为tωi“x´1dxiu.于是有inBxin´ωi^ωj“dωi“x´2dxi^dxn“ωi^ωn,jn以及´ωn^ωj“dωn“0.j从以上两式中解出联络形式为ωi“0pi,jănq,ωn“´ωi“ωipiănq.jin因此,当i,jăn时,Ωi“ωi^ωn“´ωi^ωj,jnj当iăn时Ωi“dωi“´dωi“´ωi^ωn,nn总之,曲率形式形如Ωi“´ωi^ωj,这再一次说明双曲空间的曲率恒为´1.j例3.4.3.黎曼度量的共形形变.设g为流形M上的黎曼度量.如果ρ为M上的光滑正函数,则g˜“ρ2g也是M上的黎曼度量,称为g的共形形变.如果tωiu为pM,gq的标准正交余切标架,则ω˜i“ρωi为pM,g˜q的标准正交余切标架,我们计算相应的结构方程如下:dω˜i“dρ^ωi`ρdωi“ρωj^ωi´ρωi^ωjjj“´ωi^ω˜j´ρ´1ρωi^ω˜j,jj从上式可解出g˜对应的联络形式ω˜i为jω˜i“ωi`ρ´1ρωi´ρ´1ρωj,jjji §3.4联络和曲率的计算155其中tρu由dρ“ρωi定义.继续计算g˜对应的曲率形式Ω˜i:iijΩ˜i“dω˜i`ω˜i^ω˜mjjmj“dωi`ωi^ωm`dplnρq^ωi`plnρqdωi´dplnρq^ωj´plnρqdωjjmjjjii`rplnρqωi´plnρqωms^ωm`ωi^rplnρqωm´plnρqωjsmijmjm`rplnρqωi´plnρqωms^rplnρqωm´plnρqωjsmijm“Ωi´|∇lnρ|2ωi^ωj`rplnρq´plnρqplnρqsωm^ωijjmmj´rplnρq´plnρqplnρqsωm^ωj,immi其中|∇lnρ|2“plnρqplnρq,而plnρq由下式定义:iiijplnρqωj“dplnρq´plnρqωk.ijiki从曲率形式可以得到g˜对应的曲率张量R˜的表示:ρ2R˜“R´|∇lnρ|2pδδ´δδq`rplnρq´plnρqplnρqspδδ´δδqijklijklikjliljkjmmjmkilmlik´rplnρqim´plnρqmplnρqispδmkδjl´δmlδjkq.g˜对应的Ricci曲率表示为(∆是g对应的Laplace算子)ρ2R˜“R`p2´nqrplnρq´plnρqplnρqsijijijij`p2´nq|∇lnρ|2δ´p∆lnρqδ,ijij而纯量曲率S˜表示为ρ2S˜“S`2p1´nq∆plnρq´pn´1qpn´2q|∇lnρ|2.当n“2时,令ρ“eu,则纯量曲率S˜和S之间的关系化为S˜“e´2upS´2∆uq,或改写为(K,K˜为截面曲率)∆u´K`Ke˜2u“0.(3.33)2当ně3时,令ρ“un´2,则纯量曲率S˜和S之间的关系化为´n`24pn´1qS˜“un´2pSu´∆uq,n´2或改写为n´2n´2n`2∆u´Su`Su˜n´2“0.(3.34)4pn´1q4pn´1q 156第三章流形的几何这些方程可以用来研究在流形上预定纯量曲率的问题.例如,Yamabe在1960年提出猜测:在紧致流形上,任何给定的黎曼度量均可作共形形变,使其纯量曲率为常数.这个猜测经过Aubin,Schoen等人的研究在1984年被最终证实了.当ně3时,考虑下式给出的Weyl张量,1Wijkl“Rijkl´pRikδjl´Rjkδil`Rjlδik´Rilδjkqn´2S`pδikδjl´δjkδilq.pn´1qpn´2qWeyl张量的特点是其任意两个指标缩并(求迹)均为零.当n“3时Weyl张量恒为零.对黎曼度量作共形形变时,Weyl张量的变化特别简单:ρ2W˜“W.ijklijkl因此,当黎曼度量(局部)共形于欧氏度量时,其Weyl张量恒为零,反之,当ně4时,Weyl张量恒为零意味着黎曼度量可局部共形形变到欧氏度量.为了处理n“3的情形,考虑Bak张量,11Bijk“pRij,k´Rik,jq´pδijS,k´δikS,jq.n´22pn´1qpn´2q当n“3时,ρ3B˜“B.可以证明,三维黎曼流形局部共形于欧氏空间当且仅ijkijk当Bak张量为零.x3.4.2正规坐标当我们在局部坐标系中计算联络以及与曲率相关的几何量时,不可避免地要遇到Chirstoffel系数及其导数.在某些坐标系中,这样的计算往往可以简化.下面我们就来构造这样的坐标.设p为流形M上任意固定的一点.在p附近选取局部坐标tuiu,使得uippq“0.在tuiu下的Christoffel系数记为Γ˜k.令ijxi“ui`1Γ˜ippqujuk,jk2则BxiB2xippq“δ,ppq“Γ˜ippq.BujijBujBukjk因此,txiu可以作为p附近的局部坐标.我们说明,在此坐标下的Chirstoffel系数Γk在p处均为零.iji事实上,对dxi“Bxduj求协变微分,得BujB2xiBxi∇dxi“dujbduk´Γ˜jdukbdul,BukBujBujkl §3.4联络和曲率的计算157上式在p处取值,得∇dxippq“0,因此Γjppq“0.这也意味着ikdgppq“0,dgijppq“0,dGppq“0,ij其中G“detpgijq.通过作线性变换,我们还可以要求gijppq“δij.在以上构造的局部坐标txiu中,由于在p处联络的系数均为零(联络形式在p处也为零),因此在p处协变导数就等于偏导数:Bθi1¨¨¨irθi1¨¨¨irppq“j1¨¨¨jsppq.j1¨¨¨js,hBxh曲率张量的表示也变得很简单:1Rijklppq“pBjBkgil`BiBlgjk´BjBlgik´BiBkgjlq,(3.35)2其中,为了简单起见,我们用记号B表示关于xi的偏导数.曲率张量的协变微分i可以写为:1Rijkl,hppq“pBhBjBkgil`BhBiBlgjk´BhBjBlgik´BhBiBkgjlq.(3.36)2例3.4.4.散度的局部表示.设X为向量场,在如上坐标下可表示为X“XiB,由于Bxi1?divX“?BpGXiq,iG于是在p处有divXppq“BpXiq,i这就回到了欧氏空间中的散度公式了.当然,上式只在p处成立.例3.4.5.Laplace算子的局部表示.设f为光滑函数,则1?∆f“?BpGgijBfq,ijG于是在p处有∆fppq“BiBif,这就回到了欧氏空间中的Laplace算子了.例3.4.6.外微分算子的表示. 158第三章流形的几何设teu为一组局部标架,tωiu为其对偶,则必有id“ωi^∇.(3.37)ei我们来证明上式.首先容易看出,上式右边不依赖于标架的选取.因此,我们可以在如上的局部坐标txiu下令d˜“dxi^∇,BBxi然后只要说明d“d˜即可.设η为r次微分形式,不妨设η“fdxi1^¨¨¨dxir,则(注意在p处∇dxi“0)dη˜ppq“pBfqdxj^dxi1^¨¨¨dxir“dη,j由于p可以任意选取,这说明(3.37)总成立.在实际的应用中,满足上述要求的局部坐标还可以如下构造.仍设pPM.我们知道,给定p处的切向量v,存在从p出发的惟一测地线σv,使得σ˙vp0q“v.测地线方程为二阶常微分方程组,根据常微分方程组关于初始条件的连续(光滑)依赖性,存在TpM中原点0的开邻域U0,使得当vPU0时,测地线σv的定义域包含r0,1s.定义映射expp:U0ÑM,expppvq“σvp1q,@vPU0.expp是光滑映射,称为p处的指数映射.显然,当t充分小时,exppptvq“σvptq,特别地,dexpppvq“σ˙vp0q“v,即expp在0PTpM处的切映射为恒同映射,这说明指数映射局部上为微分同胚.利用这一点,我们在p附近构造局部坐标.事实上,任取TpM的一组标准正交基teiu,p附近的任意一点q可以惟一地表示为q“exppx1e`¨¨¨xneq,p1n我们就将txiu作为q的坐标.这样就得到了p附近的局部坐标系txiu,称为p处的法坐标或正规坐标.ˇBˇ我们来研究正规坐标的性质.首先,按定义可得Bxiˇ“ei,因此pˇˇBˇBˇgijppq“xBxiˇ,Bxjˇy“δij.(3.38)pp §3.4联络和曲率的计算159其次,任给向量v“vie,测地线σptq“expptvq在局部坐标txiu中表示为ivpσ“pv1t,¨¨¨,vntq,v从而测地线方程成为Γkpσptqqvivj“0.(3.39)ijv特别地,在上式中令t“0,此时tviu可任取,从而立即得到Γkppq“0.(3.40)ij如果在(3.39)式两边乘以t2,则得到如下一般的恒等式Γkxixj“0.(3.41)ij由于σv为测地线,其切向量的长度不变,因此gpσptqqvivj“gppqvivj“vivi,ijvij在上式两边乘以t2,得如下恒等式gxixj“xixi.(3.42)ij从以上这些等式出发,我们再推导一个在正规坐标下很有用的等式.首先,以Chirstoffel系数的公式代入(3.41)可得1ijpBjgik`Bigjk´Bkgijqxx“0,2由指标i,j的对称性得1ijpBjgik´Bkgijqxx“0,2从而有ij1ijpBjgikqxx“pBkgijqxx21iji“Bkpgijxxq´gikx21iii“Bkpxxq´gikx2“xk´gxi.ik另一方面,由pBgqxixj“Bpgxiqxj´gxi代入上式得jikjikikBpgxiqxj“xk,jik这可以改写为Bpgxi´xkqxj“0,jik 160第三章流形的几何这说明,沿着从p出发的任意测地线σvptq,均有dikpgikx´xq“0,dt由于在p处gxi´xk“0,上式说明ikxk“gxi.(3.43)ik这个有用的等式称为Gauss引理.对(3.43)在p处求导可以得到gij的各阶导数之间的关系.例如,等式两边先后关于xi,xl以及xj求导,然后在p处取值,得到pBlBigjk`BiBjglk`BjBlgikqppq“0.(3.44)同理,继续求导可得pBiBjBkglm`BjBkBlgim`BkBlBigjm`BlBiBjgkmqppq“0.(3.45)高阶导数有完全类似的等式.例3.4.7.黎曼度量的Taylor展开.在正规坐标xi下,黎曼度量的分量g在p处可以作Taylor展开:ij1kl1klmgij“δij`BlBkgijppqxx`BmBlBkgijppqxxx`¨¨¨.(3.46)26下面我们用曲率来表示上式中的系数.首先,利用(3.44)可得pBjBkgli`BkBlgji`BlBjgkiqppq“0,pBiBkglj`BkBlgij`BlBigkjqppq“0,pBiBjglk`BjBlgik`BiBlgjkqppq“0,pBiBjgkl`BjBkgil`BkBigjlqppq“0.前两式的和减去后两式的和,得BkBlgijppq“BiBjgklppq.利用(3.35)以及上式得Rikjlppq`Riljkppq“pBiBlgjk´BkBlgijqppq`pBlBjgik´BkBlgijqppq“´3BkBlgijppq. §3.4联络和曲率的计算161同理,多次利用(3.36)以及(3.45)可以算出pRikjl,m`Riljk,m`Rikjm,l`Rimjk,l`Riljm,k`Rimjl,kqppq“pBmRikjl`BmRiljk`BlRikjm`BlRimjk`BkRiljm`BkRimjlqppq“´6BmBkBlgijppq,因此(3.46)可以改写为1kl1klmgij“δij´Rikjlppqxx´Rikjl,mppqxxx`¨¨¨.(3.47)36从而有1kl1klmG“detpgijq“1´Rklppqxx´Rkl,mppqxxx`¨¨¨.36如果在测地球上对体积形式积分,则得到测地球体积的渐近展开:nS24VolBrppq“ωnrr1´r`Oprqs,(3.48)6pn`2q其中ω是Rn中单位球体的体积.n习题3.41.设M为n维黎曼流形,如果存在一组(局部)1-形式tωiu,使得度量g可以表示为g“ω1bω1`¨¨¨`ωnbωn,则tωiu是一组标准正交基的对偶.2.设tωiu为余切标架场,tωiu为一组1形式,满足条件jωi`ωj“0,ωi^ω“0,jijjj证明ωi”0.3.用活动标架法证明等距同构保持曲率张量不变.4.设pM,gq,pN,hq为黎曼流形,计算pMˆN,g`hq的曲率,并说明,当X,Y分别与M,N相切时,平面spantX,Yu的截面曲率为零.5.设pM,gq,pN,hq为黎曼流形,ϕ为M上的正光滑函数,计算MˆN在度量g`ϕ2h下的曲率.6.设M2为曲面,g为M上的黎曼度量.设pPM,rą0.记Srppq“tqPM|dpp,qq“ru.当r充分小时Srppq是圆周,求其长度LpSrppqq的渐近展开. 162第三章流形的几何x3.5子流形几何x3.5.1第二基本形式设pM,¯g¯q为黎曼流形,M为M¯的子流形,其黎曼度量g由g¯诱导而来.记pM,¯g¯q的Levi-Civita联络为∇¯.任给M的切向量场X,Y,记∇XY为∇¯XY到M的切向投影,则∇XY定义了pM,gq的Levi-Civita联络.令IIpX,Yq“∇¯XY´∇XY,则II关于X,Y均为函数线性的,从而定义了从M的切空间到法空间的双线性映射,称为M的第二基本形式.黎曼度量g则称为M的第一基本形式.第二基本形式关于X,Y是对称的:IIpX,Yq´IIpX,Yq“p∇¯XY´∇¯YXq´p∇XY´∇YXq“rX,Ys´rX,Ys“0.设ν为M的法向量(即xν,Xy“0对任意切向量X成立),令IIνpX,Yq“xν,IIpX,Yqy,则IIν是M上的二阶对称协变张量场,称为关于法向ν的第二基本形式.按定义,上式还可以改写为IIνpX,Yq“xν,∇¯XYy“´x∇¯Xν,Yy,记AνpXq为∇¯Xν到M的切向的投影,则上式还可写为IIνpX,Yq“´xAνX,Yy,算子Aν称为关于法向ν的形状算子.如果M为超曲面(即dimM“dimM¯´1),ν为单位法向量场,则由1x∇¯Xν,νy“Xxν,νy“02知∇¯Xν本身就是切向量,此时AνpXq“∇¯νX.算子Aν的特征值称为主曲率(principalcurvature).例3.5.1.等值面的第二基本形式.设f:M¯ÑR为光滑函数,c为f的正则值,则M“f´1pcq为M¯的超曲面.取ν“gradf,则ν限制在M上时是法向量.任取M的切向量场X,Y,则有IIνpX,Yq“xν,∇¯XYy“xgradf,∇¯XYy“∇¯XYf“´YXf`∇¯XYf“´∇¯2fpX,Yq, §3.5子流形几何163这说明II“´∇¯2f.ν如果M的第二基本形式恒为零,则称M为M¯的全测地子流形.设M为全测地子流形,σ为M的一条测地线,则∇¯σ_σ˙“∇σ_σ˙“0,这说明σ也是M¯的测地线.反之,如果初始位置与M相切的M¯的测地线均完全含于M中,则M是全测地子流形.最简单的全测地子流形莫过于测地线了.一般维数的全测地子流形在大部分情况下并不存在.不过,等距同构有时能给出全测地子流形.命题3.5.1.设φ:M¯ÑM¯为pM,¯g¯q的等距同构,记M“tpPM¯|φppq“pu,即M为φ的不动点全体.则M的每个连通分支均为M¯的全测地子流形.证明.设pPM.记Vp“tvPTpM¯|φ˚ppvq“vu,则Vp为TpM¯的子空间.如果vPVp,设σ是从p出发的测地线,˙σp0q“v.于是φpσq也是从p出发的测地线,且它的初始切向量也是v.根据测地线的惟一性,必有φpσq“σ,这说明σĂM,因此expppVpqĂM.反之,因为指数映射局部上是微分同胚,任取M中靠近p的点q,在p附近有惟一的测地线γ连接p和q.由于φppq“p,φpqq“q,故φpγq也是这样的测地线,这说明φpγq“γ.因此γ˙p0qPVp,且qPexpppVpq.利用指数映射的局部微分同胚性质,以上论证就表明M的含有p的连通分支是M¯的正则子流形,维数为dimVp.同时,从以上论证还可以看出,初始位置与M相切的测地线必定总是含于M中,这说明M是全测地子流形.作为上述命题的推论,如果一个等距同构的不动点集是一条曲线,则该曲线必为测地线.由此很容易确定Rn,Sn以及Hn中的测地线.下面我们研究子流形M的曲率和外围流形M¯的曲率之间的关系.设X,Y,Z为M的切向量场.则有∇¯Y∇¯XZ“∇¯Yp∇XZ`IIpX,Zqq“∇Y∇XZ`IIpY,∇XZq`∇¯YpIIpX,Zqq, 164第三章流形的几何同理可得∇¯X∇¯YZ“∇X∇YZ`IIpX,∇YZq`∇¯XpIIpY,Zqq,再利用∇¯rX,YsZ“∇rX,YsZ`IIprX,Ys,Zq可得R¯pX,YqZ“RpX,YqZ`IIpY,∇XZq´IIpX,∇YZq`IIprX,Ys,Zq`∇¯YpIIpX,Zqq´∇¯XpIIpY,Zqq.(3.49)我们考虑上式在M的切向和法向的分量.先考虑切向.任取M的切向量场W,则x∇¯YpIIpX,Zqq,Wy“´xIIpX,Zq,∇¯YWy“´xIIpX,Zq,IIpY,Wqy,同理有x∇¯XpIIpY,Zqq,Wy“´xIIpY,Zq,IIpX,Wqy,代入(3.49)得R¯pX,Y,Z,Wq“RpX,Y,Z,Wq´xIIpX,Zq,IIpY,Wqy`xIIpY,Zq,IIpX,Wqy.(3.50)上式称为M的Gauss方程.考虑(3.49)在M的法向的分量,则有KR¯pX,YqZ“IIpY,∇XZq´IIpX,∇YZq`IIprX,Ys,Zq`K∇¯YpIIpX,Zqq´K∇¯XpIIpY,Zqq.(3.51)上式称为M的Codazzi方程.当M为超曲面时,Codazzi方程可以作一些简化.此时,取M的单位法向量场ν,则由IIpX,Yq“IIνpX,Yq¨ν可得∇¯YpIIpX,Zqq“YpIIνpX,Zqq¨ν`IIνpX,Zq∇¯Yν,同理可得∇¯XpIIpY,Zqq的分解.此时Codazzi方程可写为KR¯pX,YqZ“rp∇YIIνqpX,Zq´p∇XIIνqpY,Zqsν.特别地,当M¯为常曲率流形时,上式左端为零,这时p∇XIIνqpY,Zq关于X,Y,Z都是对称的.x3.5.2活动标架法下面我们运用结构方程来研究子流形.设M¯为n`p维流形,M是其n维子流形.我们规定,指标A,B,C等的取值范围从1至n`p,指标i,j,k等的取值范围从1至n,指标α,β,γ等的取值范围从n`1至n`p.在M¯上选取局部标准 §3.5子流形几何165正交标架teAu,使得当限制在M上时,teiu是M的局部正交标架,从而teαu为M的法丛的局部标架.设tωAu为teu的对偶余切标架.考虑M¯的结构方程AdωA“´ωA^ωB,ωA`ωB“0,BBAdωA“´ωA^ωC`Ω¯A,BCBBΩ¯A“1R¯ωC^ωD.BABCD2其中ωA和Ω¯A分别为M¯的联络形式和曲率形式.由于ωα限制在M上恒为零,BB因此M¯的结构方程的第一式限制在M上就得到了M的结构方程的第一式.在M上有0“dωα“´ωα^ωi.i从上式容易看出,ωα不含ωβ的分量.其ωj分量可计算如下:iωαpeq“x∇¯e,ey“xIIpe,eq,ey“IIpe,eq.ijejiαjiαeαji如果记hα“IIpe,eq,则上式表明jieαjiωα“hαωj,hα“hα.(3.52)iijijji将上式代入M¯的结构方程的第二式,计算出M的曲率形式Ωi为jΩi“´ωi^ωα`Ω¯i“hαhαωk^ωl`1R¯ωk^ωl,jαjjikjl2ijkl因此M的曲率为R“R¯`phαhα´hαhαq.(3.53)ijklijklikjliljk这也就是M的Gauss方程.同理可求得dωα“´ωα^ωγ`Ωα,βγββα1klΩβ“Rαβklω^ω,2其中R“R¯`phαhβ´hαhβq,(3.54)αβklαβklikjliljk上式称为M的Ricci方程.下面考虑Codazzi方程.记M的法从为TKM,它由M的所有法向量构成.我们可以在法丛上如下定义联络:设X为M的切向量场,ξ为法向量场,令∇ξ“p∇¯ξqK,XX 166第三章流形的几何则不难验证∇ξ定义了TKM上的联络.由X∇¯e“ωibe`ωβbeααiαβ可得∇¯e“´hαe`ωβpeqe.eiαijjαiβ因此∇e“p∇¯eqK“ωβpeqe,eiαeiααiβ这说明ωβ是法从联络的联络形式.α有了这些联络以后,我们可以对法从,切丛以及余切丛的张量积的截面求协变微分.例如,e为法从的局部截面,其协变微分∇e是TKMbT˚M的截面,定义αα为∇e“ebωβ.αβα再如,如果S“Sαebωibωjijα是TKMbT˚MbT˚M的截面,则其协变微分定义为∇S“Sαebωibωjbωk,ij,kα其中Sαωk“dSα´Sαωk´Sαωk`Sβωα.(3.55)ij,kijkjiikjijβ一般的情形可类似地定义协变微分.有了协变微分,M的Codazzi方程可以写为KR¯pX,YqZ“p∇YIIqpX,Zq´p∇XIIqpY,Zq.(3.56)在局部标架下,M的第二基本形式可写为II“hαebωibωj,ijα于是Codazzi方程也可写为R¯“hα´hα,(3.57)ijkαik,jjk,i它也可以通过对(3.52)两边求外微分,再利用结构方程得到. §3.5子流形几何167x3.5.3极小子流形设M为n维子流形,法向量1H“trIIn称为M的平均曲率向量.其中trII表示对第二基本形式的两个协变指标求trace.在前一小节的记号下,有1ÿnH“phαqe.iiαni“1设ν为单位法向量,记1Hν“trIIν,n称为ν方向的平均曲率.容易看出,平均曲率是主曲率的平均.平均曲率向量恒为零的子流形称为极小子流形.极小子流形是微分几何的重要研究对象之一,我们在这里只给出一些基本的事实和例子.例3.5.2.球面的平均曲率.考虑Rn`1中半径为c的球面Snpcq.此时ν“c´1⃗x为其单位外法向,如果X为切向量,则∇¯ν“c´1∇¯⃗x“c´1X.XX因此第二基本形式为IIpX,Yq“´c´1xX,Yy,ν平均曲率为H“´c´1.ν如果取单位内法向,则平均曲率为c´1.例3.5.3.Rn`1中的图像.设fpx1,¨¨¨,xnq为光滑函数,则xn`1“fpx1,¨¨¨,xnq定义了Rn`1中的超曲面,称为函数f的图像.我们来计算它的平均曲率.首先,第一基本形式可以表示为ÿng“dxibdxi`pBfdxiqbpBfdxjq“gdxibdxj,ijiji“1其中g“δ`BfBf,因此gij“δ´A´2BfBf,其中ijijijijijÿnA“r1`pBfq2s1{2“r1`|∇¯f|2s1{2.ii“1 168第三章流形的几何我们取单位法向量为´1BBν“ApBif´q,BxiBxn`1则∇¯ν“´BiAν`1BBf¨B.BijjBxiAABx因此BB1IIνpBxi,Bxjq“´ABiBjf,从而第二基本形式可表示为1ijIIν“´BiBjfdxbdx,A平局曲率为1ij11´1Hν“´gBiBjf“´BipABifq.nAn函数f的图像为极小超曲面当且仅当f满足以下方程˜¸ÿnBBfBxia“0.(3.58)Bxi1`|∇¯f|2i“1下面我们讨论欧氏空间中一般的极小子流形所满足的条件.设f:MkÑRn为浸入,M有诱导度量g“f˚g.如果用分量表示f,即0f“pf1,¨¨¨,fnq,则g“df1bdf1`¨¨¨`dfnbdfn.我们来计算M的平均曲率向量.因为这可以局部计算,我们不妨设f为嵌入,这样,当等同M与fpMq以后,f就可以看成是M的位置向量.特别地,对于M上的向量场X来说,X“Xf.取M的局部标准正交标架teiu,则1H“p∇¯eiei´∇eieiqk1“r∇¯eipeifq´p∇eieiqfsk1“reipeifq´p∇eieiqfsk1“∆f,k其中∆f“p∆f1,¨¨¨,∆fnq.于是我们有推论3.5.2.浸入子流形M是Rn的极小子流形当且仅当浸入映射的每一个分量均为调和函数.因为紧致无边流形上的调和函数必为常值函数,因而还有 §3.5子流形几何169推论3.5.3.欧氏空间中不存在紧致无边的极小子流形.接着我们考察球面的极小子流形.先设M¯ĂRn`1为嵌入子流形,f:MkÑM¯为浸入,M,M¯的度量均为诱导黎曼度量.M在M¯和Rn`1中的平均曲率向量分别记为H和H¯.命题3.5.4.H“JH¯“1J∆f,其中J表示向M¯的切向作投影.k证明.记∇0为Rn`1的联络,M和M¯的联络分别记为∇,∇¯.取M的局部标准正交标架teiu,则H¯“1p∇0e´∇eq,keiieii1H“p∇¯eiei´∇eieiq.k由J∇0“∇¯以及上式即知H“JH¯.如果取M¯“Snpcq为Rn`1中半径为c的球面,则f:MÑSnpcq为极小浸入当且仅当Jp∆fq“0,于是∆f为Snpcq的法向,从而存在函数λ:MÑR,使得∆f“λf.由|f|2“c2得0“∆|f|2“2x∆f,fy`2|∇f|2,于是ÿkÿkλc2“´|∇f|2“´xef,efy“´xe,ey“´k,iiiii“1i“1其中teiu是M的一组局部标准正交标架.这就得到如下推论推论3.5.5.如果f:MkÑSnpcq为等距极小浸入,则f满足条件k∆f“´f,c2即f的每个分量均为M的Laplace算子的特征函数,特征值为´k{c2.反之,设f:MÑRn`1为等距浸入,满足条件∆f“λf,其中λ为M上处处非零的函数.这说明,作为位置向量,f在M上是法向.因此,对M的任意切向量X,均有X|f|2“2xXf,fy“2xX,fy“0,从而|f|2“c2为常数,即fpMqĂSnpcq.这时M为Snpcq的极小子流形,且λ“´k{c2.总结一下,我们就得到了如下结果 170第三章流形的几何定理3.5.6(Takahashi).设f:MkÑRn`1为等距浸入.则下列几条是等价的:p1qfpMq为Snpcq的极小浸入子流形;p2q∆f“´kf;c2p3q∆f“λf,其中λ为M上处处非零的函数.这个定理可以用来构造球面极小子流形的许多例子.例3.5.4.Veronese曲面.?考虑映射f:S2p3qÑS4,其中1111221222fpx,y,zq“p?xy,?xz,?yz,?px´yq,px`y´2zqq.333236直接的计算表明,f为等距浸入.为了说明它还是极小浸入,我们要在球面上计算函数的Laplace.一般地,设ϕ为Rn`1上的光滑函数,我们来比较球面Laplace算子∆和Rn`1的Laplace算子∆¯作用于ϕ的区别.为此,取Snpcq的局部标准正交标架teu,则iÿn∆ϕ“peipeiϕq´∇eieiϕq.i“1取ν“c´1⃗x为单位外法向,则ÿn∆¯ϕ“peipeiϕq´∇¯eieiϕq`pνpνϕq´∇¯ννϕq.i“1于是∆ϕ“∆¯ϕ`nHϕ´pνpνϕq´∇¯ννϕqn1ij1“∆¯ϕ´νϕ´xBipxBjϕq`νϕcc2cn´1i1ij“∆¯ϕ´c2xBiϕ´c2xBipxBjϕq.利用上式很容易验证∆f“´2f,由Takahashi定理即知f为极小浸入.从上面的计算中可以看出,如果l为球面Snpcq上的线性函数,则n∆Snpcql“´2l,(3.59)c我们可以利用上式寻找一类乘积球面,使得它们是单位球面里的极小子流形.例3.5.5.Clifford极小超曲面. §3.5子流形几何171设Srpaq和Sspbq分别为半径a,b的球面,r`s“n.如果a2`b2“1,则乘积流形SrpaqˆSspbq是单位球面Sn`1的超曲面.记x“px,xqPSrpaqˆSspbq,12则rs∆x“p∆Srpaqx1,∆Sspbqx2q“´p2x1,2x2q.abSrpaqˆSspbq为极小超曲面当且仅当∆x“´nx,即r“na2,s“nb2.从上式解出aaa“r{n,b“s{n.aa这说明Srpr{nqˆSsps{nq为Sn`1的极小超曲面,其中r`s“n.例如,aaS1p1{2qˆS1p1{2q是S3中的极小曲面,称为Clifford环面.最后,我们指出极小子流形实际上是体积泛函的临界点.为此先引入光滑变分的概念.设M为紧致带边流形(边界可能为空集).定义3.5.1.设f:MÑM¯为浸入,f的一个光滑变分是指满足下列条件的光滑映射F:Mˆp´c,cqÑM¯:piq每一个映射ft“Fp¨,tq均为从M到M¯的浸入;piiqf0“f;ˇˇpiiiqftˇ“fˇ,@tPp´c,cq.BMBM设g¯“x,y为M¯上的黎曼度量,记g“gptq“f˚g¯,则tgu为M上的一族度ttt量,我们研究体积VolpM,gtq如何随t变化.为此,取pM,g0q的局部标准正交标架teu,其对偶标架为tωiu.于是ig“gptqωibωj,tij其中gijptq“gtpei,ejq“g¯pft˚ei,ft˚ejq.因此有żżaVolpM,gq“Ω“Gω1^¨¨¨^ωn,tttMM其中Gt“detpgijptqq.Mˆp´c,cq上的局部标架te,Bu在F下的像记为teptq,Vptqu.容易看出,iBtireiptq,Vptqs“0.我们如下计算体积关于t导数:żddaVolpM,gq“Gω1^¨¨¨^ωnttdtMdtż1´1{2d1n“GtGtω^¨¨¨^ωM2dtż1ij1“gptqgijptqΩt.M2 172第三章流形的几何记g¯的联络为∇¯,则进一步有1ij11ijgptqgijptq“gptqVptqxeiptq,ejptqy22“gijptqx∇¯eptq,eptqy“gijptqx∇¯Vptq,eptqyVptqijeiptqj“gijptqx∇¯JVptq,eptqy´trIIeiptqjgtKVptq“gijptqx∇JVptq,eptqy´trIIeiptqjgtKVptq“divgtpJVptqq´trgtIIKVptq,ˇ其中JVptq,KVptq分别表示向M的切向和法向作投影.注意到Vptqˇ“0,利BM用Stokes公式,最后得到如下的体积第一变分公式żdVolpM,gtq“´nxHt,VptqyΩt,(3.60)dtM其中Ht是pM,gtq的平均曲率.由此可见,如果pM,g0q为极小子流形,则ˇdˇˇVolpM,gtq“0.dtt“0我们将Vptq“Bft称为M的变分场.当Vp0q总是沿着M的法向时,称变分tfuBtt是法向变分,此时无须边界条件,(3.60)式对t“0仍成立.以上说明极小子流形是体积泛函的临界点.然而,如果想了解极小子流形的体积是否在变分下是最小的,就必须计算体积泛函的第二变分.我们先引进几个概念.在M的法从TKM上我们已经定义过联络∇.对于法向量场ξ,定义其Laplace为∆ξ“tr∇2ξ“∇∇ξ´∇ξ,eiei∇eiei定义沿ξ方向的Ricci曲率向量为ÿnRicpξq“KR¯pei,ξqei,i“1其中teiu是pM,g0q的局部标准正交标架.如果ζ为另一法向,则xRicpξq,ζy“xR¯pei,ξqei,ζy“xR¯pei,ζqei,ξy“xRicpζq,ξy.最后,定义TII˝IIpξq“IIξpei,ejqIIpei,ejq“xξ,IIpei,ejqyIIpei,ejq,容易验证这个定义与标架的选取无关,且TTxII˝IIpξq,ζy“xII˝IIpζq,ξy. §3.5子流形几何173设f:MÑM¯为极小浸入,tftu为法向变分,变分场在M上满足条件ˇˇνˇ“Vp0qˇ“0.BMBM我们来计算体积VolpM,gtq在t“0的二阶导数:2ˇżˇˇdˇdˇdˇ2ˇVolpM,gtq“´ˇxnHt,VptqyΩ0´xnH0,νyˇΩtdtt“0Mdtt“0dtt“0żˇdˇ“´ˇxnHt,VptqyΩ0,Mdtt“0其中ˇˇdˇdˇijˇxnHt,Vptqy“ˇxgptqp∇¯eiptqejptq´∇eiptqejptqq,KVptqydtt“0dtt“0dgijˇ“p0qIIνpei,ejq`x∇¯νp∇¯eiptqeiptq´∇eiptqeiptqq,νyˇt“0dt`xnH0,∇¯νKVptqydgijp0qˇ“IIνpei,ejq`x∇¯νp∇¯eiptqeiptq´∇eiptqeiptqq,νyˇt“0.dt利用gijp0q“δij得ddgijdgikij0“pgptqgkjptqq“p0q`p0q,dtdtdt于是有dgijdgˇp0q“´ijp0q“´Vptqxeptq,eptqyˇdtdtijt“0ˇˇ“´x∇¯νeiptq,ejyˇt“0´xei,∇¯νejptqyˇt“0“´x∇¯eiν,ejy´xei,∇¯ejνy“2IIνpei,ejq.当t“0时x∇¯ν∇¯eiptqeiptq,νy“xR¯pei,νqei,νy`x∇¯ei∇¯νeiptq,νy“xRicpνq,νy`x∇¯ei∇¯eiν,νy“xRicpνq,νy`x∇¯eip∇eiν`J∇¯eiνq,νy“xRicpνq,νy`x∇ei∇eiν,νy´xJ∇¯eiν,J∇¯eiνy“xRicpνq,νy`x∇ei∇eiν,νy´xIIνpei,ejqej,IIνpei,ekqeky“xRicpνq,νy`x∇ei∇eiν,νy´IIνpei,ejqIIνpei,ejq. 174第三章流形的几何此外x∇¯ν∇eiptqeiptq,KVptqy“´x∇eiei,∇¯νKVptqy“´x∇eiei,ejyx∇¯νKVptq,ejy“x∇eiei,ejyxν,∇¯νejy“x∇eiei,ejyxν,∇¯ejνy1“x∇eiei,ejyejxν,νy21“∇eieixν,νy“x∇∇eeiν,νy.2i将以上这些计算综合起来,最后得到体积第二变分公式2ˇżdˇT2ˇVolpM,gtq“´x∆ν`Ricpνq`II˝IIpνq,νyΩ0.(3.61)dtt“0M如果极小子流形体积的第二变分总是非负的,则称它是稳定的极小子流形.如果边界相同的子流形中M的体积最小,则当然M是稳定的极小子流形.例3.5.6.极小图像的稳定性.设f是定义在区域DĂRn上的光滑函数,f的图像记为M,它是Rn`1中的超曲面.设M是极小超曲面,则f满足方程(3.58).设N是DˆR中的另一超曲面,且BN“BM,我们来说明必有VolpNqěVolpMq.事实上,考虑DˆR中的向量场ν“p1`|∇¯f|2q´1{2pBf,¨¨¨,Bf,´1q,1nν限制在M上是单位法向量场.由(3.58)知divν“0.记Σ为Rn`1中由M及N围成的区域,则żż0“divνΩ“xν,⃗nyΩB,B其中⃗n为边界BΣ“M´N的单位法向.于是żżVolpMq“xν,⃗nyΩM“xν,⃗nyΩNżMNď|ν||n|ΩN“VolpNq.N这说明M体积最小.对于极小超曲面,其体积第二变分公式可以化简.假定M可定向,取其单位法向量场⃗n,则变分场ν可以表示为ν“ϕ⃗n,其中ϕ是M上的函数,且在边界BM上为零.对于M的切向量场X,由1x∇¯X⃗n,⃗ny“Xx⃗n,⃗ny“02 §3.5子流形几何175知∇X⃗n“0.因此∆ν“∇ei∇eipϕ⃗nq´∇∇eeipϕ⃗nq“p∆ϕq⃗n.i其次,xRicpνq,νy“ϕ2xR¯pe,⃗nqe,⃗ny“ϕ2Ricp⃗n,⃗nq.ii最后,ÿxII˝IITpνq,νy“ϕ2II2pe,eq“ϕ2|A|2,⃗niji,jř其中|A|2“II2pe,eq,|A|2也可表示为主曲率的平方和.总之,极小超曲面的体⃗niji,j积第二变分公式成为2ˇż`˘dˇ22ˇVolpM,gtq“´ϕ∆ϕ´ϕrRicp⃗n,⃗nq`|A|sΩdt2t“0Mż`˘“|∇ϕ|2´ϕ2rRicp⃗n,⃗nq`|A|2sΩ.M因此,M为稳定极小超曲面当且仅当对任何具有紧支集的光滑函数ϕ,下式成立:żżϕ2rRicp⃗n,⃗nq`|A|2sΩď|∇ϕ|2Ω,MM其中Ω为M的体积形式,Ric表示M¯的Ricci张量.特别地,Rn`1中的极小超曲面是稳定的当且仅当żżϕ2|A|2Ωď|∇ϕ|2Ω.MM我们知道,极小图像是体积最小的,因而也是稳定的.有名的Bernstein定理告诉我们,定义在整个平面上的极小图像必定是某个平面.这个定理的自然推广是去研究一般维数的极小图像.1965年,deGiorgi证明了3维的整体极小图像必定是线性的.1966年,Almgren证明了4维的情形.Simons在1967年解决了维数不超过7的情形.不过,当维数大于7时,Bombieri,deGiorgi和Giusti在1969年找到了非线性的整体极小图像.x3.5.4黎曼淹没设π:M¯ÑM为光滑淹没.令Vp“Kerπ˚p,@pPM¯.tVpu组成了TM¯的子从,记为V,称为垂直子从.设g¯,g分别为M¯,M上的黎曼度量,记Hp“KVp为Vp的正交补,tHpu组成的子从称为水平子从.如果对所有的p,ˇπ˚ˇH:HpÑTπppqMp均为保持内积的等距同构,则称π为黎曼淹没.以下我们主要研究pM,¯g¯q和pM,gq的一些几何量之间的联系.先看淹没的两条基本性质. 176第三章流形的几何•设X为M上的切向量场,则存在惟一的M¯上的向量场X¯,使得X¯PΓpHq,且π˚pX¯q“X.X¯称为X的水平提升.惟一性是显然的,下面考虑存在性.事实上,根据淹没的局部表示,在一定的局部坐标系中π可以写为πpx1,¨¨¨,xn`pq“px1,¨¨¨,xnq,其中dimM¯“n`p,dimM“n.我们仍然规定指标i,j,k等的取值范围从1到n,而α,β,γ等的取值范围为n`1到n`p.在此局部坐标系中,向量场X可表示为i1nBX“apx,¨¨¨,xq,Bxi也可将它视为M¯上的局部向量场.令ααβBbpxq“´g¯g¯pX,q,Bxβ记X¯“X`bαpxqB,则由bα的定义可知BxαBg¯pX,¯q“0,@β.Bxβ这说明X¯是水平向量场(即X¯PΓpHq).显然,π˚pX¯q“X.•设σ:ra,bsÑM为(分段)光滑曲线,则任给pPπ´1pσpaqq,存在惟一的(分段)光滑曲线σ¯:ra,bsÑM¯,使得σ¯paq“p,σ¯˙PHσ,πpσ¯q“σ.σ¯称为σ的水平提升.我们仍然在局部坐标中求解.记σptq“pσ1ptq,¨¨¨,σnptqq.令σ¯“pσ1ptq,¨¨¨,σnptq,τn`1ptq,¨¨¨,τn`pptqq,其中τα为待定函数.此时σ¯˙ptq“σ˙iBαBptq`τ˙ptq.BxiBxα条件σ¯˙PHσ等价于Bαg¯pσ,˙q`τ˙ptqg¯αβ“0,@β.Bxβ这是关于τ˙αptq的一阶线性常微分方程组,在给定初值的情况下,它的解是惟一存在的. §3.5子流形几何177以下我们用记号T,U,V等表示垂直向量场,X,Y,Z等表示水平向量场,X¯等表示水平提升.∇¯,∇分别表示M¯,M上的Levi-Civita联络.引理3.5.7.设X¯,Y¯分别为X,Y的水平提升,则rX,¯Y¯sv只依赖于X¯和Y¯p在p处的值.这里,上标v表示到Vp的正交垂直投影.证明.任取垂直向量场T,则有xrX,¯Y¯s,Ty“x∇¯XY¯´∇¯YX,T¯y“X¯xY,T¯y´xY,¯∇XTy´Y¯xX,T¯y`xX,¯∇YTy“xX,¯∇YTy´xY,¯∇XTy.由联络的性质即知引理的结论成立.注.我们也可以通过说明rX,¯Y¯sv关于X¯,Y¯函数线性来证明引理.引理3.5.8.设V为垂直向量场,X¯为X的水平提升,则rV,X¯s仍为垂直向量场.证明.由命题2.1.2知,π˚rV,X¯s“rπ˚V,π˚X¯s“r0,Xs“0,因此rV,X¯s为垂直向量场.引理3.5.9.设X¯,Y¯分别为X,Y的水平提升,则∇¯Y¯“∇Y`1rX,¯Y¯sv.XX2证明.我们分别考虑∇¯XY¯的垂直分量和水平分量.首先,由上述引理可知xrX,¯Y¯s,Z¯y“xrX,Ys,Zy,xrX,T¯s,Y¯y“0,其中T为垂直向量场.由定理3.2.4的证明可知,2x∇¯XY,T¯y“X¯xY,T¯y`Y¯xX,T¯y´TxX,¯Y¯y`xrX,¯Y¯s,Ty´xrX,T¯s,Y¯y´xrY,T¯s,X¯y.因为T为垂直向量场,故TxX,¯Y¯y“TxX,Yy“0.于是上式可写为2x∇¯XY,T¯y“xrX,¯Y¯s,Ty,这说明∇¯Y¯的垂直分量为1rX,¯Y¯sv.X2 178第三章流形的几何另一方面,2x∇¯XY,¯Z¯y“X¯xY,¯Z¯y`Y¯xX,¯Z¯y´Z¯xX,¯Y¯y`xrX,¯Y¯s,Z¯y´xrX,¯Z¯s,Y¯y´xrY,¯Z¯s,X¯y“2x∇XY,Zy“2x∇XY,Z¯y,这说明∇¯XY¯的水平分量为∇XY.注.由此引理可知,如果σ为M上的测地线,则其水平提升σ¯也为M¯的测地线.有了以上这些准备,我们可以计算曲率了.首先,x∇¯X∇¯YZ,¯W¯y“X¯x∇¯YZ,¯W¯y´x∇¯YZ,¯∇¯XW¯y1vv“Xx∇YZ,Wy´x∇YZ,∇XWy´xrY,¯Z¯s,rX,¯W¯sy41vv“x∇X∇YZ,Wy´xrY,¯Z¯s,rX,¯W¯sy.4其次,当T为垂直向量场时,x∇¯TX,¯Y¯y“x∇¯XT,Y¯y`xrT,X¯s,Y¯y“X¯xT,Y¯y´x∇¯XY,T¯y1v“´xrX,¯Y¯s,Ty.2于是有x∇¯rX,YsZ,¯W¯y“x∇¯rX,YshZ,¯W¯y`x∇¯rX,YsvZ,¯W¯y1vv“x∇rX,YsZ,Wy´xrZ,¯W¯s,rX,¯Y¯sy.2其中,上标h表示水平投影.最后得到曲率等式R¯pX,¯Y,¯Z,¯W¯q“RpX,Y,Z,Wq`1xrX,¯W¯sv,rY,¯Z¯svy41vv1vv´xrX,¯Z¯s,rY,¯W¯sy´xrX,¯Y¯s,rZ,¯W¯sy.42特别地,R¯pX,¯Y,¯X,¯Y¯q“RpX,Y,X,Yq´3|rX,¯Y¯sv|2.(3.62)4上面两式称为O’Neill公式.例3.5.7.复投影空间的度量.考虑2n`1维球面ˇnÿ`1S2n`1“tz“pz1,¨¨¨,zn`1qPCn`1ˇ|zi|2“1u,i“1 §3.5子流形几何179?记zi“xi`´1yi,则S2n`1上的黎曼度量为nÿ`1g¯“pdxibdxi`dyibdyiq.i“1按照定义,复投影空间CPn为CPn“S2n`1{„,其中z„w当且仅当存在λPS1,使得z“λw.任给单位复数µPS1,映射φ:S2n`1ÑS2n`1,φpzq“µzµµ是等距同构,因而在商空间CPn上存在黎曼度量g,使得商投影π:S2n`1ÑCPn,πpzq“rzs为黎曼淹没.任取zPS2n`1.则经过z的纤维为π´1przsq“tλz|λPS1u.我们来寻找0000纤维的切空间(垂直空间).为此,定义线性同构J:TCn`1ÑTCn`1如下:BBBBJpq“,Jpq“´.BxiByiByiBxi球面S2n`1的位置向量记为⃗z“xiB`yiB,则BxiByiiBiBJ⃗z“x´y,ByiBxi不难看出,J⃗z为纤维的单位切向量,它张成了垂直空间.设X¯,Y¯为水平向量场.则x∇¯XY,J⃗z¯y“´xY,¯∇¯XJ⃗zy“´xY,J¯X¯y“xX,J¯Y¯y.因此xrX,¯Y¯s,J⃗zy“2xX,J¯Y¯y.由rX,¯Y¯sv“xrX,¯Y¯s,J⃗zyJ⃗z以及O’Neill公式得X,J¯Y¯y2KCPnpX,Yq“1`3x,其中X,Y为CPn上任意两个单位正交切向量.这说明CPn的截面曲率介于1和4之间.习题3.5 180第三章流形的几何1.将本节内容和古典微分几何课程中的内容对照,看看有何不同.2.详细验证子流形上定义的算子∇XY是Levi-Civita联络.3.如果M,N分别是M¯,N¯的全测地子流形,则MˆN也是M¯ˆN¯的全测地子流形.4.用Gauss方程计算Rn`1半径为c的球面Snpcq的曲率.5.设f:M¯ÑR为光滑函数,c为正则值.计算水平集M“f´1pcq的平均曲率.6.设f:M¯ÑS1为光滑函数,c为正则值.研究子流形f´1pcq的曲率.7.设M为Rn`1pně3q中的连通超曲面,如果M的截面曲率为常数,则要么M是某个超平面,要么是某个n维球面.8.设f:pM,gqÑpN,hq为黎曼流形之间的光滑映射.令ż1˚Epfq“trgfh,2M称为f的能量.求能量泛函的变分,并导出临界点方程(满足临界点方程的映射称为调和映照).x3.6齐性空间本节继续提供黎曼流形的若干自然的例子,它们均与Lie群有关.x3.6.1Lie群和不变度量设G为光滑Lie群.我们知道,Lie群的左移变换和右移变换都是微分同胚.如果左移均为黎曼度量的等距同构,则称该度量是左不变的;如果右移均为黎曼度量的等距同构,则称该度量是右不变的.当黎曼度量既是左不变,又是右不变时,称它是双不变度量.命题3.6.1.Lie群G上总存在左(右)不变的黎曼度量.证明.在单位元e处的切空间TeG上任取内积x,ye.通过左移将此内积移至任意切空间,就得到了左不变的黎曼度量.具体来说,令xX,Yyg“xpLg´1q˚X,pLg´1q˚Yye,@X,YPTgG.于是x,yg为TgG上的内积,它光滑依赖于g,因此定义了G上的黎曼度量.任给hPG,则xpLhq˚X,pLhq˚Yyg“xpLg´1q˚pLhq˚X,pLg´1q˚pLhq˚Yy“xpLg´1hq˚X,pLg´1hq˚Yye“xX,Yyh´1g, §3.6齐性空间181这说明我们定义的黎曼度量是左不变的.右不变的度量可通过右移类似构造.注.设tXu是G上一组左不变向量场组成的基,它们的对偶基记为tωiu,则iřωibωi就是G上左不变的黎曼度量.i设gPG.考虑共轭作用´1Rg´1˝Lg:GÑG,hÞÑghg,这是群G的自同构,它保持单位元不变,故其切映射Adg为G的Lie代数g的一个自同构.显然,Adg1g2“Adg1Adg2,因此有群同态Ad:GÑAutpgq,它称为Lie群G的伴随表示.命题3.6.2.Lie群G上存在双不变度量当且仅当TeG上存在内积,使得Adg均保持此内积不变.证明.设x,y为双不变度量.则Rg´1˝Lg均为等距同构,从而在单位元处的切映射Adg保持TeG上的内积x,ye不变.反之,假设TeG上的内积x,ye在Adg下均保持不变.将此内积左移为左不变度量x,y.利用等式Lh˝pRg´1˝Lgq“Rg´1˝Lh˝Lg“Rg´1˝Lhg即知右移Rg´1也保持此度量不变,因此x,y为双不变度量.因为Ad为Lie群之间的群同态,因此它诱导了Lie代数之间的同态ad“Ad˚e:gÑglpgq.通常记adX“adpXq“Ad˚epXq,@XPg.例3.6.1.一般线性群的伴随表示.考虑Lie群G“GLpn,Rq.设CPglpn,Rq,则ˇdˇtC´1´1AdBpCq“ˇpBeBq“BCB.dtt“0因此,当DPglpn,Rq时ˇdˇtD´tDadDpCq“ˇpeCeq“rD,Cs.dtt“0完全类似地,对于一般的Lie群G,也有adXpYq“rX,Ys,@X,YPg.(3.63) 182第三章流形的几何设x,y为G上的左不变度量.如果X,Y均为左不变向量场,则xX,Yy为常数.因此Levi-Civita联络∇满足等式2x∇XY,Zy“xrX,Ys,Zy´xY,rX,Zsy´xX,rY,Zsy,其中X,Y,Z均为左不变向量场.上式可改写为1˚˚∇XY“trX,Ys´padXqpYq´padYqpXqu,(3.64)2其中A˚表示线性算子A的伴随算子.如果W也是左不变向量场,则由Yx∇XZ,Wy“0可得x∇Y∇XZ,Wy“´x∇XZ,∇YWy,因此有RpX,Y,Z,Wq“x∇XW,∇YZy´x∇XZ,∇YWy`x∇rX,YsZ,Wy.(3.65)特别地,利用(3.64)得RpX,Y,X,Yq“|padq˚pYq`padq˚pXq|2´xpadq˚pXq,padq˚pYqyXYXY3211´|rX,Ys|´xrrX,Ys,Ys,Xy`xrrX,Ys,Xs,Yy.(3.66)422如果x,y是双不变度量,则padq˚“´ad,因此(3.64)可简化为XX1∇XY“rX,Ys.(3.67)2特别地,∇XX“0,这说明左不变向量场的流线为测地线.此时曲率张量可写为111RpX,Y,Z,Wq“xrX,Ws,rY,Zsy´xrX,Zs,rY,Wsy´xrrX,Ys,Zs,Wy.442利用Jacobi恒等式,得xrrX,Ys,Zs,Wy“xrX,rY,Zss,Wy`xrY,rZ,Xss,Wy,再利用padq˚“´ad得XXxrrX,Ys,Zs,Wy“´xrY,Zs,rX,Wsy´xrZ,Xs,rY,Wsy.代入曲率张量的方程,最后有11RpX,Y,Z,Wq“xrX,Zs,rY,Wsy´xrX,Ws,rY,Zsy.(3.68)44特别地,12RpX,Y,X,Yq“|rX,Ys|,(3.69)4因此双不变度量的截面曲率都是非负的.下面我们研究双不变度量的存在性. §3.6齐性空间183命题3.6.3.在紧致李群G上总存在双不变度量.证明.在G上取一个右不变的体积形式ω,比如ω可取为某右不变度量的体积形式.再任取TeG上的内积x,ye,定义一个新内积x,y如下:żxX,Yy“xAdgpXq,AdgpYqyeωpgq.G任给hPG,有żxAdhpXq,AdhpYqy“xAdghpXq,AdghpYqyeωpgq.G因为右移是保持ω不变的微分同胚,故żż˚xAdghpXq,AdghpYqyeωpgq“xAdghpXq,AdghpYqyepRh´1qωpgqGżG“xAdghpXq,AdghpYqyeωpghqżG“xAdkpXq,AdkpYqyeωpkq,G这说明xAdhpXq,AdhpYqy“xX,Yy,因此内积x,y诱导的黎曼度量是G上的双不变度量.例3.6.2.双曲空间的Lie群模型.考虑二维Lie群#˜¸+ˇxyˇG“ˇxą0,yPR.01G的Lie代数为#˜¸+ˇabˇg“ˇa,bPR.00取其基为˜¸˜¸1001X“,Y“,0000则rX,Ys“XY´YX“Y.在G上定义左不变度量,使得tX,Yu为标准正交基,则Levi-Civita联络满足∇XX“∇XY“0,∇YX“´Y,∇YY“X.曲率算子计算为RpX,YqX“∇Y∇XX´∇X∇YX`∇rX,YsX“∇YX“´Y,这说明G的截面曲率恒为´1. 184第三章流形的几何例3.6.3.SOp3q与坍缩度量.我们知道,SOp3q的Lie代数为sop3q“tAPglp3q|A`AT“0u.在Lie代数中可取一组基X1,X2,X3使得rX1,X2s“2X3,rX2,X3s“2X1,rX3,X1s“2X2.取0ăεď1.在SOp3q上定义左不变度量g,使得tε´1X,X,Xu为标准正交ε123基.计算出Levi-Civita联络满足∇X“0,∇X“p2´ε2qX,∇X“pε2´2qX,X11X123X132∇X“´ε2X,∇X“0,∇X“X,X213X22X231∇X“ε2X,∇X“´X,∇X“pε2´2qX.X312X321X132曲率算子计算为RpX,XqX“ε4X,RpX,XqX“´ε2X,RpXXqX“0;12121221123RpX,XqX“0,RpX,XqX“p4´3ε2qX,RpXXqX“p3ε2´4qX;23123232332RpX,XqX“´ε4X,RpX,XqX“0,RpXXqX“ε2X.31133123131由此可见,g的截面曲率介于ε2与4´3ε2之间.当εÑ0时,pSOp3q,gq的体积εε趋于零.这一列度量称为SOp3q上的坍缩度量.x3.6.2齐性空间设G为连通Lie群,H为其闭子群.H在G中的左陪集的全体记为G{H,定义投影π:GÑG{H,πpgq“rgHs.我们在G{H上定义商拓扑,即U为G{H中的开集当且仅当π´1pUq为G中的开集.在此拓扑下π为开映射.G{H称为齐性空间.在商拓扑下,G{H是Hausdorff空间.事实上,设rσHs‰rτHs,则τ´1σRH.因为H为闭子群,且群的运算是连续的,故存在σ的开邻域V和τ的开邻域W,使得τ1´1σ1RH,@σ1PV,τ1PW.这说明πpVq,πpWq分别是rσHs,rτHs的不交开邻域.因为Lie群G是A2空间,故G{H也是A2空间.利用闭子群的结构,可以进一步说明G{H上存在惟一的微分结构,使得G{H为光滑流形,且π为光滑淹没;当H为正规子群时,G{H仍为Lie群. §3.6齐性空间185G上的左移Lg也可定义在G{H上:LgrσHs“rgσHs.左移Lg常简记为g.因此我们就得到了Lie群G在齐性空间G{H上的作用GˆG{HÑG{H,pg,rσHsqÞÑgrσHs“rgσHs.因为g1g´1rgHs“rg1Hs,故这个作用是可迁的.这是为什么将G{H称为齐性空间的原因.一般地，如果M为黎曼流形,其等距变换群IpMq作用于自身.如果此作用是可迁的,则M“IpMq{H,ˆ其中Hˆ为某一固定点的迷向子群.例3.6.4.球面与正交群.设Opnq为nˆn实正交矩阵组成的正交变换群.Opnq自然地作用于Rn,并且保持标准内积不变,从而保持向量的长度不变.特别地,我们就得到Opnq在单位球面Sn´1上的作用:OpnqˆSn´1ÑSn´1,pA,vqÞÑAv,其中vPSn´1看成单位长度的列向量.这个作用是可迁的:任给vPSn´1,将tvu11扩充为Rn的一组标准正交基tv,v,¨¨¨,vu.这n个列向量排成的n阶方阵记为12nA,这是正交矩阵,且Ae“v,e“p1,0,¨¨¨,0qT.111由此易见,任给v,wPSn´1,均存在正交矩阵BPOpnq,使得Bv“w.考虑e“p0,0,¨¨¨,0,1qTPSn´1.如果APOpnq保持e不动,则A必定形nn如˜¸B0A“,01其中BPOpn´1q.这说明e处的迷向子群为Opn´1q.因此,Sn´1可自然等同n于齐性空间Opnq{Opn´1q.同理可以说明Sn´1可自然等同于SOpnq{SOpn´1q.例3.6.5.复投影空间是齐性空间.设SUpnq为n阶特殊酉阵组成的特殊酉阵群.由于特殊酉变换保持Cn中向量的长度,我们可以得到SUpnq在S2n´1上的一个自然作用,这个作用在e处的迷n向子群为SUpn´1q.同上例类似,S2n´1可自然等同于齐性空间SUpnq{SUpn´1q. 186第三章流形的几何我们知道,CPn´1可以看成S2n´1之商.上述特殊酉群的作用保持等价关系不变,因此SUpnq也可自然作用于CPn´1,这也是一个可迁作用.设e“p0,0,¨¨¨,0,1qT,我们来求res处的迷向子群.设APSUpnq,则nnArens“rens当且仅当A形如˜¸B0A“,01{pdetBq其中BPUpn´1q.这说明CPn´1可自然等同于齐性空间SUpnq{Upn´1q.例3.6.6.作为齐性流形的双曲空间.在Rn`1中考虑2阶协变张量场ÿng“dxibdxi´dxn`1bdxn`1,n,1i“1它限制在超曲面ÿnHnp1q“tpx1,¨¨¨,xn`1qPRn`1|pxiq2´pxn`1q2“´1,xn`1ą0ui“1上得到一个正定的黎曼度量g.可以计算出pHnp1q,gq的截面曲率恒为´1.´1´1Rn`1中保持g不变的线性变换的全体组成了所谓的Lorentz群Opn`1,1q,n,1用矩阵来表示就是Opn`1,1q“tAPGLpn`1,Rq|ATKA“Ku,其中K为如下n`1阶方阵˜¸In0K“.0´1设A“paqPOpn`1,1q.由ATKA“K知pdetAq2“1,从而detA“˘1.ij此外还有ÿnpaq2´paq2“´1,in`1n`1n`1i“1这说明an`1n`1ě1或an`1,n`1ď´1.利用这些事实可以说明Opn`1,1q有4个连通分支,其中包含单位元的连通分支为G“tAPOpn`1,1q|detA“1,an`1n`1ě1u.G在Rn`1上的自然作用保持Hnp1q不变,因此可视为作用在Hnp1q上.这是一个可迁的作用.如果APG保持ePHnp1q不变,则A形如n`1˜¸B0A“,01 §3.6齐性空间187其中BPSOpnq.这说明Hnp1q可自然等同于齐性空间G{SOpnq.下面我们讨论G{H上的黎曼度量,使得G的作用均为等距,这样的度量称为G-不变度量,或简称不变度量.需要注意的是,一般来说此时G不等于IpG{Hq.并非所有的齐性空间上均存在不变度量.记h为H的Lie代数,则TrHsG{H可等同于g{h.不变度量在g{h上定义了内积x,y.我们来说明,此内积在AdH下不变.事实上,任给hPH,XPg,hetXH“hetXh´1H.由于Adh以及adh保持h不变,故它们可自然作用于g{h.在上式中关于t求导,得pLhq˚pXq“πpAdhpXqq,其中π:gÑg{h为商投影.当Lh为等距同构时,上式表明Adh保持内积x,y不变.当G有效且等距作用于G{H时,G可视为IpG{Hq的子群.此时,H为Hˆ的子群,Hˆ为正交群的闭子群,因而是紧致的.利用这一点,我们可以在G上构造左不变度量,使得该度量在H的右作用下不变.这个度量限制在H上是双不变的.h的正交补记为p,则g“h‘p,p上的内积由G{H上的黎曼度量给出.这说明,π:GÑG{H为黎曼淹没,而上式就是切空间的垂直和水平分解.利用黎曼淹没的O’Neill公式以及前一小节Lie群左不变度量的曲率公式,得到G{H的如下曲率公式RpX,Y,X,Yq“|padq˚pYq`padq˚pXq|2´xpadq˚pXq,padq˚pYqyXYXY3211´|rX,Ysp|´xrrX,Ys,Ys,Xy`xrrX,Ys,Xs,Yy.(3.70)422其中X,YPp,我们将X与π˚pXq等同.如果G上的度量还是双不变的,由前一小节的计算公式可得122RpX,Y,X,Yq“|rX,Ysh|`|rX,Ysp|,(3.71)4特别地,此时截面是非负的.当G上的度量为双不变度量时,称G{H为正规齐性空间.正规齐性空间提供了非负曲率流形的许多自然的例子. 188第三章流形的几何x3.6.3对称空间设pM,gq为黎曼流形,如果任给mPM,均存在m的某个开邻域中的等距同构Im,使得m是该邻域中惟一的不动点,且Im˝Im“id为恒同映射,则称pM,gq为局部对称空间.如果Im均可延拓为M上的整体等距同构,则称pM,gq为对称空间.例3.6.7.Rn,Sn,Hn均为对称空间.对于Rn,考虑关于原点的反射I:RnÑRn,Ipxq“´x,则I为等距同构,且I2“id.原点是惟一的不动点.由于pRn,gq的等距同构群可迁地作用在Rn上,0故Rn关于每一点都是对称的.对于Sn,任取xPSn,考虑映射0I:SnÑSn,Ipxq“´x`2xx,xyx,x0x000则I为等距同构,它有两个不动点x,´x,且I2“id.x000x0对于Hn,考虑Poincar´e圆盘模型,则关于原点的反射是等距同构,它以原点为惟一的不动点.与Rn类似,由于Hn的等距同构群可迁地作用于自身,故Hn关于任意一点都是对称的.下面我们研究(局部)对称空间的性质.命题3.6.4.设I是以m为孤立不动点的(局部)等距同构,如果I2“id,mm则pImq˚m“´id.证明.由I2“id知pIq2“id.因此,线性映射I的特征值为1或´1.我mm˚m˚m们来说明1不是特征值.不然的话,存在非零切向量vPTmM,使得pImq˚mpvq“v.因为Im为等距同构,因此这说明Im保持从m出发,以v为初始切向量的测地线不变.这与m为孤立不动点相矛盾.任给wPTmM,由于pImq˚mrw`pImq˚mws“w`pImq˚mw,根据刚才的讨论即知w`pImq˚mw“0.即pImq˚m“´id.从命题的证明可以看到,Im将经过m的测地线反向,即Impexpptwqq“expp´twq.如果在以m为中心的正规坐标txiu中考虑,则I可表示为mIpx1,¨¨¨,xnq“´px1,¨¨¨,xnq,m即I如同Rn中围绕原点的反射一样.m §3.6齐性空间189命题3.6.5.pM,gq为局部对称空间当且仅当其曲率张量是平行的,即∇R“0.证明.(必要性)任给mPM,因为Im是保持m不动的等距同构,故在m处成立pIq˚p∇Rq“∇R.即mp∇RqpX,Y,Z,W,Vq“p∇RqppImq˚mX,pImq˚mY,pImq˚mZ,pImq˚mW,pImq˚mVq“p∇Rqp´X,´Y,´Z,´W,´Vq“´p∇RqpX,Y,Z,W,Vq,这说明在m处成立∇R“0.(充分性)任给mPM,在以m为中心的正规坐标邻域中考虑反射Ipx1,¨¨¨,xnq“´px1,¨¨¨,xnq,m我们只要证明Im为(局部)等距同构即可.a先作一些准备工作.记r“px1q2`¨¨¨`pxnq2,则r是到m的距离函数,根据Gauss引理,可记xiBr“gradr“Bi.r距离函数r的水平集为测地球面,其单位法向量就是Br.记IIBr为测地球面沿该法向的第二基本形式.设X,Y是与测地球面相切的切向量场,则pLBrgqpX,Yq“BrpgpX,Yqq´gprBr,Xs,Yq´gpX,rBr,Ysq“gp∇BrX,Yq`gpX,∇BrYq´gprBr,Xs,Yq´gpX,rBr,Ysq“gp∇XBr,Yq`gpX,∇YBrq“´2IIBrpX,Yq,即LBrg“´2IIBr.(3.72)2令IIBrpX,Yq“gp∇XBr,∇YBrq,利用∇BrBr“0我们进一步计算如下:p∇BrIIBrqpX,Yq“BrpIIBrpX,Yqq´IIBrp∇BrX,Yq´IIBrpX,∇BrYq“´Brgp∇XBr,Yq`gp∇∇BrXBr,Yq`gp∇XBr,∇BrYq“´gp∇Br∇XBr,Yq`gp∇∇BrXBr,Yq“´gp∇Br∇XBr,Yq`gp∇rBr,XsBr,Yq`gp∇∇XBrBr,Yq“gpRpBr,XqBr,Yq`gp∇YBr,∇XBrq2“RpBr,X,Br,Yq`IIBrpX,Yq, 190第三章流形的几何即2∇BrIIBr“RpBr,¨,Br,¨q`IIBr.(3.73)同样的计算可以给出2LBrIIBr“RpBr,¨,Br,¨q´IIBr.(3.74)记g¯“pIq˚g,相应的曲率张量记为R¯“pIq˚R.由∇R“0知,如果X,Ymm是沿着经过m的测地线平行的向量场,则RpBr,X,Br,Yq沿测地线不变.特别地,对任意与测地球面相切的切向量场X,Y,均有R¯pBr,X,Br,Yq“RpBr,X,Br,Yq.此外,由xi1xi∇XBr“∇XpBiq“X`∇XBirrr可知,在m附近成立1IIBr“´g`Oprq.r在度量g¯下,测地球面的第二基本形式记为IIBr,则它也满足上式以及方程(3.73),(3.74).由常微分方程解的惟一知IIBr“IIBr.于是,由(3.72)知LBrpg¯´gq“0,这说明g¯´g沿经过m的测地线不变.由于g¯´g在m处为零,故g¯“g.这就证明了Im为等距同构.注.(3.73)式常称为黎曼流形上的Riccati方程,这是微分几何中很有用的工具.下面我们讨论对称空间.设pM,gq为对称空间,如果γ:ra,bsÑM为测地线,则Iγpbq˝σ也是测地线,它们连接起来以后也还是测地线.这说明M上的测地线均可无限延长,由Hopf-Rinow定理(见[4])可知M上任意两点均p,q可用最短测地线γpq连接,取γpq的中点m,则Imppq“q.这说明等距同构群IpMq在M上的作用是可迁的.因此,M是齐性空间.设M为连通对称空间.记M“G{H,其中G“IpMq,H“Gm为m处的迷向子群.定义σ:GÑG,σpgq“Im˝g˝Im,则σ为G的自同构,且σ2“id.记K“tgPG|σpgq“gu,则K为G的闭子群.当hPH时,hpmq“m,因此σphqpmq“m,且σphq˚m“pImq˚m˝h˚m˝pImq˚m“h˚m. §3.6齐性空间191由M连通可知σphq“h.这说明HĂK.记K(H)的含有单位元的连通分支为K0(H0),根据以上论述可知H0ĂK0.我们来说明K0ĂH,从而K0“H0.设kPK,则kpmq“Im˝kpmq.因为m为Im的孤立不动点,故存在G的含单位元的开邻域U,使得当kPKXU时kpmq“m,即KXUĂH.因为K0可由KXU生成,故K0ĂH.反之,设σ:GÑG为Lie群G的一个自同构,σ2“id.σ的不动点全体仍记为K.由σpgkq“σpgqσpkq“σpgqk可知σ诱导了G{K上的微分同胚.如果这个微分同胚保持G{K上的G-不变度量x,y,则pG{K,x,yq为对称空间,它在rKs处的反射等距同构由σ给出.如果记G的Lie代数为g,注意到σ是g的自同构,且σ2“id.K的Lie˚e˚e代数为k,则k“tXPg|σ˚epXq“Xu.定义m“tXPg|σ˚epXq“´Xu,则由σ2“id易见g有线性空间的直和分解˚eg“m‘k,(3.75)并且关于Lie代数运算满足rk,ksĂk,rm,msĂk,rk,msĂm.例如,当X1,X2Pm时,由σ˚erX1,X2s“rσ˚epX1q,σ˚epX2qs“r´X1,´X2s“rX1,X2s知rX1,X2sPk.利用这些分解,我们来计算M“G{K的曲率张量.当X,Y,Z,WPm时,由rX,ZsPk,故xpadq˚pYq,Zy“xY,rX,Zsy“0,X这说明padq˚pYqPk.另一方面,当TPk时,因为K在G上的右作用为等距,因X此xrT,Xs,Yy`xX,rT,Ysy“xadTpXq,Yy`xX,adTpYqy“0,即xT,padq˚Yy`xT,padq˚pXqy“0,XY 192第三章流形的几何这表明padq˚pYq`padq˚pXq“0.由(3.64)即知XY1∇¯XY“rX,Ys,2其中∇¯为G的联络.此外,再利用rX,YsPk以及Levi-Civita联络的表示可得2x∇¯rX,YsZ,Wy“xrrX,Ys,Zs,Wy´xZ,rrX,Ys,Ws´xrX,Ys,rZ,Wsy“2xrrX,Ys,Zs,Wy´xrX,Ys,rZ,Wsy.由(3.65)可得11R¯pX,Y,Z,Wq“xrX,Ws,rY,Zsy´xrX,Zs,rY,Wsy441´xrX,Ys,rZ,Wsy`xrrX,Ys,Zs,Wy.2根据O’Neill公式,M的曲率张量R满足等式1R¯pX,Y,Z,Wq“RpX,Y,Z,Wq`xrX,Ws,rY,Zsy411´xrX,Zs,rY,Wsy´xrX,Ys,rZ,Wsy,42这说明RpX,Y,Z,Wq“xrrX,Ys,Zs,Wy,RpX,YqZ“rrX,Ys,Zs.(3.76)例3.6.8.复投影空间是对称空间.考虑Lie群G“SUpn`1q.它的一个自同构定义为˜¸˜¸In0In0σ:SUpn`1qÑSUpn`1q,AÞÑA,0´10´1SUpn`1q关于σ的不动点子群为#˜¸+ˇB0ˇK“ˇBPUpnq.01{pdetBqSUpn`1q的Lie代数supn`1q在σ作用下的分解为supn`1q“m‘k,其中,#˜¸+#˜¸+˚ˇˇ0´zˇnB0ˇm“ˇzPC,k“ˇBPupnq.z00´trB在supn`1q中考虑内积xA,Ay“´1trpAAq,它决定了SUpn`1q上的双不变12212度量,使得CPn“SUpn`1q{Upnq“G{K成为对称空间. §3.6齐性空间193下面我们计算曲率.首先有«˜¸˜¸ff0´z˚0´w˚,z0w0˜¸˜¸˜¸˜¸0´z˚0´w˚0´w˚0´z˚“´z0w0w0z0˜¸w˚z´z˚w0“,0wz˚´zw˚其次««˜¸˜¸ff˜¸ff0´z˚0´w˚0´z˚,,z0w0z0˜¸0z˚pwz˚´zw˚q´pw˚z´z˚wqz˚“.pwz˚´zw˚qz´zpw˚z´z˚wq0为了方便起见,我们将m与Cn等同,其内积由xz,wy“1pzw˚`wz˚q给出.2由(3.76)式得Rpz,wqz“pwz˚´zw˚qz´zpw˚z´z˚wq.当z,w为单位正交向量时,Rpz,wqz“3wz˚z`w,因此Rpz,w,z,wq“xRpz,wqz,wy“1´3pzw˚q2,由此得到CPn的截面曲率介于1到4之间.例3.6.9.Grassmann流形.考虑Lie群G“SOpk`lq,它的一个自同构定义为˜¸˜¸Ik0Ik0σ:SOpk`lqÑSOpk`lq,AÞÑA,0´Il0´IlSOpk`lq关于σ的不动点子群为#˜¸+ˇB10ˇK“ˇB1POpkq,B2POplq,detB1“detB2..0B2K的含单位元的连通分支K0“SOpkqˆSOplq.齐性流形SOpk`lq{SOpkqˆSOplq可以看成Rk`l中定向k维子向量空间的全体,称为Grassmann流形,记为Gr˜pRk`lq.当k“1时它就是球面Sl.k 194第三章流形的几何SOpk`lq的Lie代数在σ作用下的分解为sopk`lq“m‘sopkq‘soplq,其中#˜¸+ˇ0Bˇm“ˇBPMkˆl.´BT0在sopk`lq考虑内积xA,Ay“´1trpAAq,它决定了SOpk`lq上的双不变度12212量,使得SOpk`lq{SOpkqˆSOplq成为对称空间.根据(3.71)可知,当X,YPm时,RpX,Y,X,Yq“|rX,Ys|2.如果我们将m与Mkˆl等同,则由«˜¸˜¸ff0A0B,´AT0´BT0˜¸˜¸˜¸˜¸0A0B0B0A“´´AT0´BT0´BT0´AT0˜¸BAT´ABT0“0BTA´ATB得1TT2TT2RpA,B,A,Bq“r|BA´AB|`|BA´AB|s.2当k“1或l“1时,从上式容易算出截面曲率恒为1,这也就是单位球面的截面曲率.上面的这些例子可以推广.一般地,考虑Lie代数g,定义双线性型如下BpX,Yq“trpadXadYq,@X,YPg.显然,B为对称双线性形,称为Killing形式.当X,Y,ZPg时BprX,Ys,Zq“trrpadXadY´adYadXqadZs“trpadYadZadX´adYadXadZq“trpadYadrZ,Xsq“BpY,rZ,Xsq,这可以改写为BpadXpYq,Zq“´BpY,adXpZqq,即adX关于B斜对称.如果σ:gÑg为Lie代数的自同构,则由rσpXq,Ys“rσpXq,σ˝σ´1pYqs“σprX,σ´1pYqsq §3.6齐性空间195知ad“σ˝ad˝σ´1,因此σpXqXBpσpXq,σpYqq“BpX,Yq.当B非退化时,称g为半单Lie代数.半单Lie代数的分类见[12].当Lie群的Lie代数为半单Lie代数时,该Lie群也称为半单的.我们知道,紧致Lie群上存在双不变度量.在此度量下,adX均为斜对称矩阵,此时Killing形式是半负定的.另一方面,如果B是负定的,则´B就定义了G上的一个双不变度量.通过计算曲率可以说明此时G必然是紧致的.设G为紧致半单Lie群,σ为自同构,且σ2“id.g在σ下可以分解为g“m‘k,此时´B定义了一个内积,在此内积下,m与k正交.´B诱导了G上的双不变度量,使得G{K成为对称空间,其曲率满足RpX,Y,X,Yq“|rX,Ys|2.设G为非紧半单Lie群,可以证明,g可以分解为m‘k,其中k为(紧)子代数,且rk,ksĂk,rm,msĂk,rk,msĂm.此时,B在k上是负定的,在m上是正定的,它诱导了G{K上的对称度量.其曲率满足RpX,Y,X,Yq“xrrX,Ys,Xs,Yy“BprrX,Ys,Xs,Yq“´BprX,Ys,rX,Ysq“´|rX,Ys|2.习题3.61.证明,在双不变度量下,Lie群的曲率张量满足等式1RpX,YqZ“rrX,Ys,Zs.42.试说明,紧致连通Lie群的指数映射是满射.3.证明,作为齐性空间,CPn为Einstein流形.4.说明正规齐性空间G{H中的测地线是Lie群G中单参数子群的投影.5.证明,M为局部对称空间当且仅当沿任意测地线,平行切平面的截面曲率不变. 196第三章流形的几何6.在正规坐标系中证明下面的等式2LBrIIBr“RpBr,¨,Br,¨q´IIBr.7.证明adrX,Ys“radX,adYs.8.证明紧致Lie群为对称空间,并计算其曲率.9.说明Opk,lq{OpkqˆOplq为对称空间,并计算其曲率.10.说明SLpn,Rq{SOpnq为对称空间,并计算其曲率.x3.7Gauss-Bonnet公式x3.8Chern-Weil理论 第四章流形与上同调本章主要利用微分形式来对流形的拓扑作初步的研究,我们将研究deRham上同调的基本性质.x4.1Poincare引理x4.2同伦不变性x4.3Hodge定理x4.4进一步的例子x4.5示性类和指标公式定义Euler示性类,证明Hopf指标定理.定义Thom类,研究它的基本性质.Morse理论?x4.6层的上同调197 198第四章流形与上同调 第五章流形上的椭圆算子本章介绍流形上的微分算子,其中我们将研究椭圆算子的重要性质,特别是Laplace算子,我们也给出Hodge定理的证明.x5.1Sobolev空间x5.2Laplace算子x5.3Hodge定理的证明x5.4向量丛上的椭圆算子x5.5Dirac算子x5.6Atiyah-Singer指标公式199 200第五章流形上的椭圆算子 附录附录AWhitney嵌入定理附录B流形上的常微分方程附录CMorse理论简介201 202附录C 参考文献[1]陈省身,陈维桓,微分几何讲义(第二版),北京大学出版社,北京,2001.[2]徐森林,薛春华,流形,高等教育出版社,北京,1991.[3]伍鸿熙,陈维桓,黎曼几何选讲,北京大学出版社,北京,1993.[4]伍鸿熙,虞言林,沈纯理,黎曼几何初步,北京大学出版社,北京,1989.[5]詹汉生,微分流形导引,北京大学出版社,北京,1987.[6]W.M.Boothby,IntroductiontoDifferentiableManifoldsandRiemannianGeometry,AcademicPress,NewYork,1986.[7]R.BottandL.W.Tu,DifferentialFormsinAlgebraicTopology,Springer-Verlag,1982,1999.[8]V.GuilleminandA.Pollack,DifferentialTopology,Prentice-HallInc.,NewJersey,1974.[9]S.Helgason,DifferentialGeometryandSymmetricSpaces,AcademicPress,NewYork,1962.[10]J.Milnor,TopologyfromtheDifferentiableViewpoint,PrincetonUniversity,Prince-ton,1997.[11]F.W.Warner,FoundationsofDiferentiableManifoldsandLieGroups,GTM94,Springer-Verlag,1983.[12]R.O.Wells,DifferentialAnalysisonComplexManifolds,GTM65,Springer-Verlag,1980.203
此文档下载收益归作者所有
