2017年江苏省常州市华罗庚中学高三下学期4月调研数学试卷

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1、2017年江苏省常州市华罗庚中学高三下学期4月调研数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1.已知集合P=xx<1，Q=xx2−2<0,x∈Z，则P∩Q= ．2.已知m∈R，复数m−2i1+i是纯虚数（其中i是虚数单位），则实数m= ．3.函数fx=lg−x2+3x+10的定义域为 ．4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为 ．S←1i←1WhileS<11  S←S+i  i←i+2EndWhilePrinti5.若同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之差的绝对值为3的概率是 ．6.某地政府调查

2、了工薪阶层1000人的月工资收入，并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样方法从调查的1000人中抽出100人作电话询访，则30,35（百元）月工资收入段应抽出 人．7.已知实数x，y满足约束条件2x−y+1≥0,x≤1,x−y≤0,则z=3x−2y的最小值是 ．8.如图，在三棱锥A−BCD中，E是AC中点，F在线段AD上，且FD=3AF，则三棱锥A−BEF的体积与四棱锥B−ECDF的体积的比值为 ．9.在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y−

3、3=0被圆x2+y2−4x+2y+1=0截得的弦长为 ．10.已知sinπ3+α=35，π6<α<2π3，则cosα= ．第15页（共15页）11.已知函数fx=2−lnx,x>0x+22,x≤0，若函数y=fx+b（其中b∈R）恰有3个零点，则b的取值范围是 ．12.已知等腰直角三角形BCD中，斜边BD长为22，E为边CD上的点，F为边BC上的点，且满足：DE=λDC，BF=13λBC，若BE⋅DF=−103，则实数λ= ．13.已知正项数列an满足a1=1，数列bn为等比数列，且an+1=bn

4、⋅an，若b112=2，则a22= ．14.已知正实数x，y满足xyx+3y=x−2y，那么y的最大值为 ．二、解答题（共10小题；共130分）15.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足：3a=3ccosB+bsinC．（1）求∠C的值；（2）若c=23，求2a+b的最大值．16.如图，在四棱锥A−BCED中，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为棱EA的中点，CE=2BD．（1）求证：DM∥平面ABC；（2）求证：平面BDM⊥平面ECA．17.平面直

5、角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，且点3,12在椭圆C上，椭圆C的左顶点为A．（1）求椭圆C的方程；（2）过点A作直线l与椭圆C交于另一点B．若直线l交y轴于点C，且OC=BC，求直线l的斜率．18.某湿地公园有一边长为4百米的正方形水域ABCD，如图，EF是其中轴线，水域正中央有一半径为1百米的圆形岛屿M，小岛上种植有各种花卉．现欲在线段AF上某点P处（AP的长度不超过1百米）开始建造一直线观光木桥与小岛边缘相切（不计木桥宽度），与BC相交于Q点．

6、过Q点继续建造直线木桥NQ与小岛边缘相切，NQ与中轴线EF交于N点，N点与E点也以木桥直线相连．第15页（共15页）（1）当AP=1百米时，求木桥PQ的长度（单位：百米）；（2）问是否存在常数m，使得mQN+NE为定值?如果存在，请求出常数m，并给出定值，如果不存在，请说明理由．19.已知函数fx=−x2+mlnxm∈R．（1）求函数fx的单调区间；（2）若m=2时，函数fx与gx=x−axa∈R有相同极值点．①求实数a的值；②若对于∀x1,x2∈1e,5（e为自然对数的底数），不等式fx1−gx

7、2t+1≤1恒成立，求实数t的取值范围．20.在数列an中，a1=3，an=an−1s+tn，bn=an+2，n=2,3,⋯（1）若s=2，tn=n时，求数列an的通项公式；（2）若s=1，tn=2时，求a2，a3，判断数列an的单调性并证明；（3）在（2）的条件下，是否存在常数M，对任意n≥2，有b2b3⋯bn≤M?若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由．21.已知矩阵A=33cd，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=11，属于特征值1的一个特征向量为α2=3−2．求矩阵A，并写出A的逆

8、矩阵．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l过点P3,0，斜率为−3，曲线C:ρ=2cos2θ+5sin2θ．（1）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求∣PA∣⋅∣PB∣的值．23.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，⋯，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，在每一次摸球时袋中每个球被取出