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1、2017年浙江省杭州市建人高复学校高三下学期人教A版数学第四次月考试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.设i是虚数单位，复数1−2i的虚部是 A.−2B.2C.−2iD.2i2.已知全集U=xx>0，M=xx>1，则∁UM= A.xx≤1B.x013.在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+3，a4=2S3+3，则公比q= A.2B.3C.4D.54.如图，函数fx=Asin2x+φA>0,∣φ∣<π2的图象过点0,3，则fx的图象的一个对称中心是 A.
2、−π3,0B.−π6,0C.π6,0D.π4,05.设z=x+y，其中x，y满足x+2y≥0,2x−y≤0,0≤y≤m,若z的最大值为12，则z的最小值为 A.−8B.−6C.6D.86.直线x−2y−3=0与圆C:x−22+y+32=9交于E，F两点，则△ECF的面积为 A.32B.25C.355D.347.在1+x5+1+x6+1+x7的展开式中，含x4项的系数是等差数列an=3n−5的 A.第2项B.第11项C.第20项D.第24项8.下列说法正确的是 A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1
3、，则a2≤1”B.an为等比数列，则“a11是∣a+b∣>1的充分而不必要条件D.“tanα≠3”必要不充分条件是“α≠π3”第9页（共9页）9.过双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点F2c,0作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=−4cx于点P，其中O为坐标原点，若OM=12OF2+OP，则双曲线的离心率为 A.42−27B.42+27C.1+32D.1+5210.已知fx=∣xex∣有
4、四个实数根，gx=f2x+tfxt∈R，若方程gx=−1有四个实数根，则t的取值范围为 A.−∞,−e2+1eB.e2+1e,+∞C.−e2+1e,−2D.2,e2+1e二、填空题（共7小题；共35分）11.已知sinα+π3=13，则cosπ6−α= ；cosπ3−2α ．12.若函数fx=−1+lognx+1经过的定点F（与n无关）恰为抛物线y=ax2的焦点，则点F的坐标是 ；a= ．13.设正实数a，b满足a+b=1，则a2+b2最小值是 ，a+b最大值是 ．14.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为
5、，体积为 ．15.一个袋中装有10个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ= ．16.已知Acosα,3sinα，B2cosβ,3sinβ，C−1,0是平面上三个不同的点，且满足关系CA=λBC，则实数λ的取值范围是 ．17.设函数fx=x2−2ax+15−2a的两个零点分别为x1，x2，且在区间x1,x2上恰好有两个正整数，则实数a的取值范围 ．三、解答题（共5小题；共65分）18.已知函数fx=c
6、os2x−π6+sin2x．（1）求函数fx的最小正周期；第9页（共9页）（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2a−ccosB=bcosC，求fA2的取值范围．19.如图PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90∘，AB=AD=12CD=a，PD=2a．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值．20.已知函数fx=lnax+1+x3−x2−ax．（1）若x=23为y=fx的极值点，求实数a的值；
7、（2）若a=−1时，方程f1−x−1−x3=bx有实根，求实数b的取值范围．21.设x,y∈R，向量i，j分别为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量a=x+3i+yj，b=x−3i+yj，且a+b=4．（1）求点Mx,y的轨迹C的方程；（2）设椭圆E:x216+y24=1，P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，试证：△OAB的面积为定值．22.已知数列中，a1=1，a2=14，且an+1=n−1ann−ann=2,3,4,⋯．（1）求数列an的通项公式；（2）求证：（ⅰ
8、）对一切n∈N*，都有1an+12>1an2；（ⅱ）对一切n∈N*，有a12+a22+⋯+an2<76．第9页（共9页）答案第一部分1.A【解析】复数1−2i的虚部是−2．2.B3.B4.B【解析】由函数图象可知：A=2，由于图象过点0,3，可得：2sinφ=3，即sinφ=32，由于∣φ∣<π2，解得：φ=π3，即有：fx=2sin2x+π3．由2x+π3
