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《2017版高考数学(北师大版,理科)一轮复习第五章 平面向量第五章 第4讲》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足·=x2,则点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析 =(-2-x,-y),=(3-x,-y),∴·=(-2-x)(3-x)+y2=x2,∴y2=x+6.答案 D2.在△ABC中,(+)·=
2、
3、2,则△ABC的形状一定是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析 由(+)·=
4、
5、2,得·(+-)=0,即·(++)=0,2·=0,∴⊥,∴A=90°.又根据已知条件不能得到
6、
7、=
8、
9、,故△ABC一定是直角三
10、角形.答案 C3.(2016·延安调研)在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,则·=( )A.2B.2C.-2D.-2解析 由余弦定理得cosA===-,所以·=
11、
12、·
13、
14、cosA=2×2×=-2,故选D.答案 D4.已知
15、a
16、=2
17、b
18、,
19、b
20、≠0,且关于x的方程x2+
21、a
22、x-a·b=0有两相等实根,则向量a与b的夹角是( )A.-B.-C.D.解析 由已知可得Δ=
23、a
24、2+4a·b=0,即4
25、b
26、2+4×2
27、b
28、2cosθ=0,∴cosθ=-,又∵0≤θ≤π,∴θ=.答案 D5.(2015·杭州质量检测)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的
29、圆心).若=+,则∠BAC的度数等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析 取BC的中点D,连接AD,则+=2.由题意得3=2,∴AD为BC的中线且O为重心.又O为外心,∴△ABC为正三角形,∴∠BAC=60°,故选C.答案 C二、填空题6.(2016·广州综合测试)在△ABC中,若·=·=2,则边AB的长等于________.解析 由题意知·+·=4,即·(+)=4,即·=4,∴
30、
31、=2.答案 27.(2016·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动,则·的最大值为________.
32、解析 以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则C(1,1),M,设E(x,0),x∈[0,1],则·=(1-x,1)·=(1-x)2+,x∈[0,1]时,(1-x)2+单调递减,当x=0时,·取得最大值.答案 8.(2016·景德镇模拟)已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,-1),则
33、2a-b
34、的最大值与最小值的和为________.解析 由题意可得a·b=cosθ-sinθ=2cos,则
35、2a-b
36、===∈[0,4],所以
37、2a-b
38、的最大值与最小值的和为4.答案 4三、解答题9.已知a=(cosα,sin
39、α),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.(1)若
40、a-b
41、=,求证:a⊥b;(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.(1)证明 由题意得
42、a-b
43、2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.又因为a2=b2=
44、a
45、2=
46、b
47、2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b.(2)解 因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),所以由此得,cosα=cos(π-β).由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sinα+sinβ=1,得sinα=sinβ=.又α>β,所以α=,β
48、=.10.(2015·襄阳测试)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),
49、
50、=1,且∠AOC=x,其中O为坐标原点.(1)若x=π,设点D为线段OA上的动点,求
51、+
52、的最小值;(2)若x∈,向量m=,n=(1-cosx,sinx-2cosx),求m·n的最小值及对应的x值.解 (1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题意知C,所以+=,所以
53、+
54、2=-t+t2+=t2-t+1=+(0≤t≤1),所以当t=时,
55、+
56、最小,为.(2)由题意得C(cosx,sinx),m==(cosx+1,sinx),则m·n=1-cos2x+si
57、n2x-2sinxcosx=1-cos2x-sin2x=1-sin,因为x∈,所以≤2x+≤,所以当2x+=,即x=时,sin取得最大值1.所以m·n的最小值为1-,此时x=.能力提升题组(建议用时:25分钟)11.(2015·衡水中学一调)已知
58、a
59、=2
60、b
61、≠0,且关于x的函数f(x)=x3+
62、a
63、x2+a·bx在R上有极值,则向量a与b的夹角的范围是( )A.B.C.D.解析 设a与b的夹角为θ.∵f(x)=x3+
64、a
65、x2+a·bx.∴f′(x)=x2+
66、a
67、x+a·b.∵函数f(x)在R上有极值,∴方程x2+
68、a
69、x+a·b=0有两个不同的
70、实数根,即Δ=
71、a
72、2-4a·b>0,∴a·b<,又∵
73、a
74、=2
75、b
76、≠0,∴cosθ=<=,