随机过程与随机场习题

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1、1.设有随机过程，，其中为常数，且，和是随机变量，且相互统计独立，他们的概率密度为即和是正态分布随机变量。若把写成的形式。（1）求，问V和是否统计独立；（2）画出的典型样本函数；（3）求的一维概率密度函数。解：由题意（1）其中由于相互独立，故其联合概率密度为随机变量变换概率密度公式，可得到的联合概率密度：其中则所以可知二者统计独立。（3）高斯随机过程变量的特征函数为高斯随机变量的特征函数因此得特征函数分别为又因为，故得特征函数为所以的概率密度为其特征函数的傅里叶反变换：2.设随机过程，其中V是在（0,1）是均匀分布的随机变量，求过程的均值和自相关函数。解：由已知，随机变量V的概率密度函

2、数为则3.设随机过程，式中A，B为两个互不相关的随机变量，且有，求过程的均值，相关函数，协方差函数和方差。解：由已知，得均值方差：相关函数协方差函数：4.论述正交，不相关，独立的条件及关系。解：独立：正交：不相关：（A）独立则必定不相关，而不相关却不一定互相独立，只有是高斯时独立和不相关才等价。（B）正交和不相关没有必然关系，只有当一个随机变量的统计平均等于零时，正交和不相关等价。独立－－－－－－－－－－－－－>不相关<－－－－－－－－－－－－－均值为零的高斯随机对象有一期望为零不相关<－－－－－－－－>正交5.设随机信号，式中a，均为正的常数，为正态随机变量，其概率密度为讨论的平稳性

3、。解：根据宽平稳的条件，因为相关函数：6.用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机，称为半二元传输信号，求此信号的均值和自相关函数。[此题不很会]解：由题意，设Y为服从两点分布的随机变量；g(t)如图所示，周期为T的矩形波。-1g(t)t2T3TT1则半二元传输信号可表示为：，则根据数字特征的定义有7.设两个连续时间的随机相位信号其中为常数，在上均匀分布，求互协方差函数。解：由题意知X的均值：Y的均值：互协方差函数：因为，则8.设随机过程的均值与相关函数为，试求的均值和协方差。解：由题意得Y的均值：Y的自相关函数：则Y的协方差函数：9.设有正弦波过程，其中振幅A，角频率为常数，相位是在

4、上服从均匀分布的随机变量，求的均值与相关函数，确定是平稳过程。解：由题意知均值：相关函数：由平稳过程的定义可知，是平稳过程。10.设使一周期为T的函数，是在内服从均匀分布的随机变量，则称是随机相位周期过程，是一个平稳过程，证明：随机相位周期过程是各态历经的。证明：由题意，此随机相位周期过程的周期为，则X的均值：自相关函数：而11.讨论遍历和平稳之间的关系解：遍历过程必须是平稳的，但只有在一定条件下的平稳过程，才具有各态历经性。12.设随机过程，其中A，B是均值为零，方差为的相互独立的正态随机变量。问：的均值和均方值是否具有各态历经性？若，是在内服从均匀分布的随机变量，此时是否是各态历经

5、的？解：由题意因为则均方收敛于0。………………没完！13.已知平稳过程的谱密度为求的均方值。解：由题意因为则则15.已经平稳过程的相关函数为求谱密度。解：由题意因为则根据卷积定理的逆定理得16.设随机过程，其中A为常数，和事相互独立的随机变量，且在区间内服从均匀分布，的一维概率密度为偶函数，及，证明：的谱密度是。解：由题意的概率密度函数为：则谱密度为故命题得正。17.设是一个马尔可夫链，其状态空间，转移概率矩阵为求：（1）；（2）。解：由题意根据全概率公式和马尔可夫链的性质二步转移概率则18.一维随机游动19.设是具有三个状态0,1,2的齐次马尔可夫链，一步转移概率矩阵为初始分布。试求

6、：（1）（2）（3）解：由题意先求出两步转移概率20.已知，如果，求。解：21.设随机微分方程为其中是常数，是均值为零的均方连续的二阶矩过程，求解的均值函数和协方差函数。解：由题意的给方程两边求均值，方程改写为解此微分方程得:代入初始条件，则由题意在求协方差函数之前，现要求X，Y得协方差函数，对方程两边同乘，方程改写为解此微分方程的解此微分方程得22.设有随机起点的自由落体运动方程其中表示时刻t的物体位置，是服从的随机变量。求解微分方程并讨论解的概率特性。解：由题意，得解此微分方程得故均值：相关函数：所以协方差函数：23.RC积分电路的输出电压与输入电压的关系由方程描述。其中的均值，相

7、关函数，已知初始条件，求输出电压及其均方值函数和相关函数。解：由题意微分方程的解是则其均值函数为相关函数为24.研究线性振动，其运动方程为有随机初始条件圆频率假定是确定的常数，已知与的联合密度函数为，分析随机线性振动的统计特性。解：由题意令故令【其实就是解微分方程，然后将与两式合成一个矩阵表示】，