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1、习题一1.某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？2.设随机变量X的概率密度为f（x）＝求：（1）常数A;(2)分布函数F（x）；（3）随机变量Y＝lnX的分布函数及概率分布。3.设随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)=Asin(x+y),0x,y求：(1)常数A；（2）数学期望EX，EY；（3）方差DX，DY；(4)协方差及相关系数。4.设随机变量服从指数分布求特征函数,并求数学期望和方差。5.设随机变量
2、X与Y相互独立，且分别服从参数为1和2的泊松分布，试用特征函数求Z=X＋Y随机变量的概率分布。6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。7．设（X，Y）的分布密度为（1）（2）问X，Y是否相互独立？8.设（X，Y）的联合分布密度为XY—12—1010问：（
3、1），取何值时X，Y不相关；（2），取何值时相互独立。习题二１．设有两个随机变量X、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为和，定义如下随机过程：，试求的均值函数和相关函数。２．从t=0开始每隔秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻t，规定随机变量 X(t)=试求：（1）F（；），F（）（2）F（，1；，）。３．袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量试求这个随机过程的一维分布函数族。４．设在时间区间内来到某商店的顾客数X(t)是参数λ的泊松过程。为第n个顾
4、客来到的时刻，求的分布函数。5.设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车通过的概率。6.令表示时间内（单位：分）顾客到达某商店的人数，设是泊松过程。根据历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时30人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于4分钟的概率。7.一质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔1秒以概率p向右移动一格（1单位长），或以概率q=1—p向左移动一格，以X（n）表示质点在第n秒至n+1秒之间的位置（坐标），则随机过程由于质点随机游
5、动的独立性，它是一个独立增量过程。求X（n）的概率分布及增量X（t+）—X（t）的概率分布。8.求随机过程的一维概率密度，其中为常数，~。9.设复随机过程Z（t）=，0，其中（1）是相互独立且服从N(0，)的随机变量，(1是常数，试求复随机过程Z（t）的均值函数与自相关函数。10.设为一个独立增量过程，且X（0）=0，证明X(t)是个马氏过程。11.设随机过程，，其中，是相互独立的标准正态分布变量，试证是一个正态过程。12.设，，其中S、V、A为相互独立的正态分布变量，试证是一个正态过程。习题三1.一质点
6、在区间[0,4]中的0,1,2,3,4上作随机游动,移动的规则是:在0点以概率1向右移动一个单位,在1,2,3点上各以概率1/3向左,向右移动一个单位或留在原处,试求转移概率矩阵.2.一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是：质点总是以概率p顺时针游动一格，以概率q=1-p逆时针游动一格。试求移动概率矩阵。1.一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：以概率p从i移动到i-1，以概率q从i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，试求转移概率矩阵。2.
7、波利亚（polya）罐子模型波利亚（polya）罐子模型可描述如下：一个罐子装有r格红球，l个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进a个同颜色的球。持续地进行这一实验过程，设X表示第n次试验结束时罐中实有红球的数目：X=i，ir，I={0，1，2，···，}不论在时刻n时如何转移到i的，系统在时刻n+1时，必转移到状态i+a或i，因此，{X，n0}是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。3.设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一
8、个球，然后放回一个不同颜色的球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k，试用马尔可夫链描述这个模型(称为爱伦菲斯特模型)，并求转移概率矩阵。6．设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为1，2，3。在不同季节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为初始分布行矩阵为，试求并指出经过两个季节水库蓄满的概率。7．一个开关有两个状态：开、关，分别记为1，2。设又设开关现在开着时，经过单位时间后为开或闭的概率
