二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论(三稿)

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1、二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论幸　克　坚　　　　　　（遵义师范学院　贵州　遵义　５６３００２）摘　要：非数学专业《常微分方程》中，“二阶常系数线性微分方程”一般是作为一个单独的模块来讲授。但在非数学专业使用的不少《高等数学》教材中，特解的介绍常常比较突然和不够完整，使学生不易于理解和接受。本文是针对上述问题，在对非数学专业学生的教学中，引导学生就特解的求法所进行的分析和讨论。关键词：常系数线性微分方程特解讨论中图分类号：O171文献标识码：E文章编号：1009-3583（2004）03-00　　　　　　　　　　　OnSpecialSolutionto二阶常系数Linear非

2、齐次DifferentialCoefficientEquationXinKejian(ZunyiNormalCollegeZunyiGuizhou563002)Abstract:In“DifferentialCoefficientEquation”fornon-mathematicsmajors,二阶常系数lineardifferentialcoefficientequationisgenerallytaughtasanindividualmodule.However,inthetextbook“AdvancedMathematics”,introductiontospecialsol

3、utionsisoftensuddenandincomplete,whichisnoteasyforstudentstounderstand.Thisessayistoguidestudentstoanalyzespecialsolutionsontheabove-mentionedproblem.Keywords:常系数lineardifferentialcoefficientequationspecialsolutionsdebate一、问题的提出“微分方程”中的“常系数线性微分方程”的求解理论，在数学专业的《常微分方程》教材中已得到较完美的解决，但由于专业所限，非数学专业《高等数

4、学》内容中《常微分方程》不可能系统介绍，往往只是将“二阶常系数线性微分方程”作为一个单独的模块来讲授。一般是先求出二阶常系数线性齐次微分方程的通解，然后，找出非齐次方程：（1）的一个特解，最后按照“叠加原理”将这个特解与相应的齐次方程的通解相加，就得到非齐次方程的通解。这两个环节比较而言，难点在第二步——求非齐次方程的特解。虽然非数学专业的《高等数学》侧重于应用而不在于推导，但鉴于数学教育的目的不单纯是为了介绍数学知识点作为工具，而应潜移默化的进行逻辑思维的训练。所以，知识点的介绍和引入也应该遵循引入自然和易于理解接受的原则。而见诸于教材市场以及各种渠道的非数学专业使用的《高等数学》教

5、材以及各种教案、教学辅导之类材料中，特解的引入常常比较突然并且不够完整，知识点较为零散，让学生无法理解和接受，难以形成清晰完整收稿日期：2004-11-15作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学哲学和数学史研究的印象。如①一篇高等数学教案中一段为：二阶常系数非齐次线形微分方程常见的两种形式及其解为：“1、型如果，则二阶常系数非齐次线形微分方程（1）具有形如（4）的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按不是特征方程的根、是特征方

6、程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2。上述结论可推广到n阶常系数非齐次线形微分方程，但要注意（4）式中的是特征方程含根的重复次数（即若不是特征方程的根，取为0，若是特征方程的重根，取为）2、型如果，则二阶常系数非齐次线性微分方程（1）的特解可设为，（5）其中、是次多项式，={,}，而按不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取0或1。上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（5）式中的是特征方程中含根的重复次数。”结论来得相当突然，学生根本无法理解，只能机械的“接受”和死记硬背。又如笔者使用的这本教材②中也仅从一个十分具体的例子：例1、求方程(2)(3)(4)的特解

7、来引出。很突然地用：“我们设想方程（2）具有一次式形式的特解：…；显然，一次式不是方程（3）的解，设想它的特解为：…；显然，不是方程（4）的解，设想它的特解为：”，最后又说：“情况是这样的：方程（2）对应的特征方程无零根；方程（3）对应的特征方程以零为单根；方程（4）对应的特征方程以零为重根”。之后就依据这一具体例子，给“二阶常系数线性微分方程”的整个求解问题作了结论，显得比较玄乎和片面。这样取材和讲解，很容易产生下列疑问：①仅用一个系数这么简