数学直觉思维在解题中的应用

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分类号G633.6论文编号201040431016本科生毕业论文数学直觉思维在解题中的应用姓名：院系：年级专业：指导教师：2014年5月诚信承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担.作者签名：日期：关于学位论文使用授权的声明本人完全了解兴义民族师范学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学院保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兴义民族师范学院可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文和汇编本学位论文.(保密论文在解密后应遵守此规定)作者签名：导师签名：日期：目录 摘要IAbstractII第一章绪论1第二章直觉思维的认识和发展22.1直觉思维的概念22.2直觉思维的特点22.3培养直觉思维的目的32.4解数学题时直觉思维的产生的主观和客观条件3第三章解题时直觉思维的体现43.1通过观察及猜想产生数学直觉思维43.2猜想及设想凸显直觉思维的重要性53.3类比题型和做题经验架起直觉思维的桥梁7第四章结论9参考文献10致谢11 摘要直觉思维是指不受某种固定的逻辑规则约束而直接领悟事物本质的一种思维形式，是人们在解决问题中的直观感觉。从传统教育模式和思维教育发展两方面来反映直觉思维在解题中的应用，了解直觉思维的概念，直觉思维的特点，以及在拥有大量理论知识的基础上，运用观察、假设、猜想、设想、类比或经验等方法产生直觉思维。认识当今教育现状，倡导培养直觉思维能力。以例题来反映解题时直觉的产生，并且对比一般逻辑思维和直觉思维在解题中存在的差异。直觉思维能力也是数学思维品质在解题中的具体展现，它并不是与生俱来的能力，而是可以通过后天的培养训练来逐步提高的。数学直觉思维的产生需以扎实的数学基础知识为前提，再对题目运用观察、猜想、类比相似的题型或自己的做题经验等方法形成的。它不是以一种单一的思维模式而存在，而是与一般逻辑思维能力相辅相成的。所以培养学生直觉思维能力的发展对教育现状下提高学生的思维品质和解题能力起着至关重要的作用。关键词：直觉思维逻辑思维思维品质中学数学应用11 AbstractIntuitivethinkingisnotboundbyafixedlogicruleaformofthinkingwhichdirectlygrasptheessenceofthings,isthepeopleinsolvingproblemsofintuitivefeeling.Applicationsfromthetraditionaleducationmodeofthinkingandthedevelopmentofeducationtwoaspectstoreflecttheintuitionthinkinginsolvingproblems,tounderstandtheconceptofintuitionthinking,intuitivethinking,andinpossessionofalargeonthebasisoftheoreticalknowledge,useobservation,hypothesis,guess,imagine,analogyandexperienceintuitionthinkingmethod.Understandingofcurrenteducationsituation,advocatingthecultivationofintuitionthinking.Withtheexampletoreflectthesenseofintuition,andthedifferencescomparedwiththegenerallogicthinkingandintuitivethinkinginproblemsolving.Showtheintuitionthinkingabilityandthequalityofmathematicalthinkingintheproblemsolving,itisnotinnateability,butcanimprovegraduallyacquiredthroughtraining.Intuitionalthoughtofmathematicsknowledgerequiredtoproduceasolidmathematicalfoundationforthepremise,thenthequestionsusingtheobservation,guess,questionsanalogysimilarortheirpracticeexperienceandmethodofformation.Itisnotbyasinglemodeofthinkingandexistence,butwiththegenerallogicalthinkingabilitycomplementary.Developmentsostudentsintuitivethinkingabilityplaysacrucialroleintheeducationsituationtoimprovestudents'qualityofthinkingandproblemsolvingability.Keywords:Intuition-thinkingLogical-thinkingThinking-qualityMiddle-school-mathematics-application11 兴义民族师范学院本科毕业论文第一章绪论从数学教育发展与培养学生的思维、创新能力中存在的问题进行分析。我国传统数学教学中侧重对与学生对逻辑思维能力的培养，大多数教育模式习惯照本宣科，按部就班，相对死板的教学模式阻碍了学生思维的发展。虽然传统的教学模式在基础知识和基本技能方面取得了世界公认的成就，但是在数学教育方面却没有取得应有的发展.思维培养是现代教育中的一大问题。现今研究的学者白金在“数学直觉与合情推理对数学教学的意义及作用”以及学者万瑛在“直觉思维的心理机制及其在教育中的发展和培养”中都阐述到直觉思维是以获得的知识和累积的经验为前提产生的。而学者杨情在“直觉在数学解题中的应用”以及学者王婷在“谈直觉思维在数学解题中的应用”中都以例题的形式阐述解题时直觉思维产生的方法。而本文就是在这样的现状下进行研究的，主要研究应试教育下的学生在解题时用到怎样的方法去产生直觉思维解出题目。而在数学教育发展中，能直观反映数学直觉思维能力的就是解题效率。所以以不同类型的例题为例，综合分析例题的解析并进行对比来说明直觉思维能力在解题中的重要性。而侧面则反映了在运用已有知识解题后，需不断对题目进行知识点的延展，以达到拓展知识面来提高直觉思维能力。研究解决了直觉思维的产生需要有大量的知识积累，其次在分析问题时能运用假设、猜想、类比等方法就可以使直觉得以产生。但是未解决的是教育的发展问题和学生总体直觉思维能力提高的问题。教育模式要得以发展离不开培养学生直觉思维能力，所以在教学中需要以丰富学生的知识面、培养观察能力、激发学生兴趣与营造良好的学习氛围来培养直觉思维能力。11 兴义民族师范学院本科毕业论文第二章直觉思维的认识和发展2.1直觉思维的概念直觉思维，是指对一个问题未经逐步分析，仅依据问题的内因和自己感知迅速地对问题答案作出判断、猜想，或者在问题百思不得其解之后，突然对问题又有“灵感”和“顿悟”，甚至对未来事物的结果有“预感”“预言”等都是直觉思维的体现。直觉思维也是一种心理现象，它在创造性思维活动的关键阶段起着极为重要的作用。直觉思维是完全可以有意识加以训练和培养的。直觉思维的性质主要表现在创新，由思维活动方式判断、猜想、类比等决定其创新性质。2.2直觉思维的特点（1）简约性。丰富的知识储备和想象力直接对事物或问题作出敏锐而迅速的猜想和判断，省去了重复对“框架”问题的分析推理的中间环节。以高度省略、简化、浓缩的方式，对待问题的本质。（2）自由性和灵活性。灵活的思维是自由衍生的,是不被束缚的。直觉思维不受逻辑推理规则的严格约束，也不陷入思维定势的陷阱。它让自己的思路自由大胆的想象，开拓思维新领域，找出解决问题的方法。（3）创造性。直觉思维是一种创造性思维，它在思维方式和伟大的发明创造中堪称画龙点睛之笔；例如阿基米德在浴室找到了辨别王冠真假的方法。它能在无意间观察发掘一切有用信息，加以猜想合情推理之后得到了重大发现。美国著名数学家G·波利亚在《数学与猜想》中提到“为了取得真正的成就，必须学会合情推理，即是数学猜想，数学猜想是一种直觉思维，利用它不仅可以预测解决现有问题的思路，而且可以提出有价值的问题。”可见直觉思维带给了世界相当巨大的创造性价值。（4）不可靠性。创造出新事物被认定时才会有公认的理论学说，而创造思维大多数判断、猜想都是基于储备知识之外的，难免会出现对事物问题的判断错误和猜想偏差，所以在直觉思维中不可靠性是必然存在的，需不断的收集大量事实论据来辨别直觉思维得出结论的正确性。11 兴义民族师范学院本科毕业论文2.3培养直觉思维的目的注重对直觉思维能力的培养，可以促使学生形成良好的认知结构和思维品质。良好的认知结构是数学直觉思维的基础。同时，新旧知识之间必然相互联系，形成一定的结构体系，减轻学生机械学习的负担。思维的敏捷性、深刻性、灵活性，可以使学生更快更好的把握问题的本质，迅速识别条件、结论的内在联系。可见培养数学直觉思维可以优化学生思维品质。直觉思维能力的提高直接带动创新精神的发展，所以在平时的数学教学工作中，改变以前某些束缚学生数学直觉思维发展的教学方式，给学生数学直觉思维发展创造更大的空间。并且在解数学题时能大大的提高解题的速度与效率。2.4解数学题时直觉思维的产生的主观和客观条件在直觉思维中直觉不是“从天而降”的，直觉思维是在知识经验的基础上形成和进行的，是以理论知识为基础加以思维的想象力衍生出来的，因此才造就了诸多人类伟大的发现。然而有时直觉臆想得出来的结论，并没有站在理论知识的基础上，此时的直觉如同虚幻的空谈一般。因此，知识经验的储备直接对直觉思维判断的正误有着直接影响，所以在解数学题时能产生直觉思维的主观条件是数学理论基础知识和广阔的思维。但也可以说是“从天而降”的，高斯在发现一个算术定理的证明时曾经说：“终于在两天以前我成功了……像闪电一样，谜一下子解开了。我自己说不清楚是什么导线把我原先的知识和使我成功的东西连接了起来。”不难看出直觉的获得是有一定的偶然性的。法拉第曾经说过：“没有观察，就没有科学。科学发现诞生于仔细的观察之中。”敏锐的观察力是数学直觉思维这栋“高楼”的地基，观察是信息输入的通道，是思想探索的大门，是解数学题目的出发点。在解数学题时学生都是先从题目或图形中获取信息和数据，而积累了大量数学知识的一些学生却对题目加以猜想和类比类似题型来进行判断分析，从而产生直觉思维迅速准确的解出题目。就以自身数学理论基础知识为前提，直觉偶然性的通过观察、猜想、类比等方法而在思维中产生，再回到已有理论基础知识层面上，通过合情推理得到有理论依据的结论。所以解题时直觉思维产生的客观条件就是偶然性，也就是在通过观察、猜想、类比等方法才得以产生的。11 兴义民族师范学院本科毕业论文第三章解题时直觉思维的体现3.1通过观察及猜想产生数学直觉思维爱因斯坦说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力可以概括世界的一切”所以在教学模式中引导学生通过对事物的观察进行设想、猜想并且再给与合情的推理，从而培养学生思维能力。这些在数学题目中就有所体现。例1：已知定圆F1：，定圆F2：，动圆M与定圆F1、F2都外切.求动圆圆心M的轨迹方程.解：依圆的方程.得F1，=1；再由得F2，=4.作出图像如图：设动圆M的半径为R.连接MF1，MF2.则有，于是依定义得M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，.故M点方程为解析：此题审题过后第一反应就是将圆的一般方程化为标准方程，写出圆心坐标和半径，发现圆心坐标对称，再结合问题求外切圆M的轨迹，此时就应该立即猜想到可能利用圆锥曲线知识来解题。根据圆的标准方程作出图像(数形结合意识)11 兴义民族师范学院本科毕业论文，观察图像后发现，若动圆M与两定圆外切，则动圆可能在两圆的上、中、下的位置，根据定圆半径的不同，此时可以断定M的轨迹是双曲线的左支。这样就论证了之前用圆锥曲线知识来解题的猜想的正确性。所以大致作出图像，连接MF1，MF2后利用双曲线有关性质知识解出题目。例2（北京高考）如图，正四棱柱-的底面边长为1，与底面成角，则到底面的距离为（）解析：此题目容易在观察图形和答案上迷惑学生，学生读题不清晰不仔细会误认为正四棱柱的各边都等于1而导致选到答案B.仔细审题后发现是底面边长为1，而与底面成角，而到底面的距离就是所求的棱长，所以猜想肯定不会是1.由可算出棱长为，故选D.一些看似简单的题目是具有一定迷惑性的，而直觉观察后应猜想到这并不是一个简单的数学题，而进一步思考给出条件并结合自身已有知识加以论证，从而跳出题目所设的陷阱解出题目.3.2猜想及设想凸显直觉思维的重要性大胆的猜想是直觉思维中的一种重要的思维形式。数学教育家布鲁纳曾说过：“机灵的猜测，丰富的设想和大胆迅速地作出实验性结论，这些都是从事任何一项工作的思想家常用的方法。”所以在教学以及解题时，面对数学问题应鼓励学生大胆的提出猜想，无疑能满足学生探索新问题的心里渴望。例1：已知点A（2，-1），B（5，3），若直线L：与线段AB相交，求K的取值范围.11 兴义民族师范学院本科毕业论文解法1：由两点式得AB的方程为，联立方程组从而，因此，解得.解法2：由方程L：可知，直线恒过P（0，1），连接AB两点，标出P点作出图像，再连接PA，PB，从而，由图像可知，直线L的斜率应满足.解析：在解法1中，读题后加以逻辑推理自然会利用两点式求出AB的直线方程，再以给出直线L联立方程后，根据AB点的横坐标的范围求出K的取值范围.然而在解法2中，观察题目给出的直线L，由直觉可看出直线恒过点（0，1）并设为P点，而题目所求的K值可看成求斜率K的取值范围，即猜想作出图像是否可直观得出结果，根据P、A、B三点相互连接得到直线AB、PA、PB大致作出图像，看图发现直线L中K的取值范围就在直线AB之间，即是求出PA、PB的斜率，所以利用斜率公式即可求解出K得取值范围.相比之下，解法2体现了直觉思维解题的效率，更简单、直观的反映出问题的本质.例2：已知，且，求的最小值.解：，为定值9，和有最小值=6，当且仅当，即时，取等号.又，所以当时，取得最小值16.11 兴义民族师范学院本科毕业论文解析：此题目直观解读后若审题模糊易掉进题设“陷阱”就会以来试着配出含的等式，再由等式从找到不等式，但结果却是“栽了果树不能结果”.审题后得到都为正数，要求的最小值.提到求最值“一正、二定、三相等”思维应该迅速联想到利用基本不等式，“积为定值，和有最小值；和为定值，积有最大值”要求和的最小值，猜想应该存在一组积为定值，如何应用题目给出的条件来配凑出一组积为定值是关键.直觉若不建立在理论知识上就会让思维跳进题设陷阱.而拥有扎实的基础知识分析题目后由直觉产生的思路更加的清晰准确，之后运用猜想的方法进一步论证思路的正确性，从而解出题目.3.3类比题型和做题经验架起直觉思维的桥梁在解题中，类比推理是能带动学生思维的方式，学生在对两个同类似的题目进行思考时的思路是相关联的。类比作为直觉的一种相似性、迁移性的推理方法，它把两个知识点不同而形式相同的问题建构起来，就像康德所说：“每当理解缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”所以在解决一些数学问题时，往往会得益于类比推理。例1：设为等差数列的前n项和，若，公差，，求出k的值是多少？解法1：解法2：解析：相比两种解法不难看出解法2的计算更简单准确.在审题之后逻辑思维会以为解题关键.已知首相和公差，即可根据等差数列的前n项和公式将k+2项和k项带入解出未知数k.而这题直接套用前n项和公式计算量大较为复杂.此时做题经验产生直觉，在看到后会判断出11 兴义民族师范学院本科毕业论文直接将k+2项和k项带等差数列的通项公式，即减小了计算量，从而得出答案.可见直觉思维能力明显的提高了解题的速度和解题效率.例2：设M是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积是多少？解法1：由已知…………………①又,…………②①-②，得解法2：解析：同样可以看出以经验类题型来诠释数学直觉思维能力解题的效率。方法1根据椭圆的性质和余弦定理的联立一步一步的求解，但是计算过于繁琐.知识储备量和做题经验告诉我们直接利用椭圆的焦点三角形的面积公式来求解，一步得出结果，提高了解题的效率.以上从三个方面综合凸显直觉思维能力在解题中的效率。以不同的思维方式都能产生同样的直觉效果，在同一类型的题目中显然直觉思维解题时相当迅速和高效。相比这些题目后，反映出扎实的基础知识是解题的力量之源。因为从不同思维方式产生直觉思维时，知识占据了主导地位，没有知识做正确的向导，就不会产生直觉思维。俗话说：“读万卷书，不如行万里路。”而“行万里路”最终也是去寻找书中学不到的东西。解题也是如此，书中的知识是有限的，拓展题目后运用到的知识有时是书中没有提及的，所以再做每一类题,甚至到每一个题所蕴涵的知识点是学生在做11 兴义民族师范学院本科毕业论文题以后必须要清楚的弄懂的，要从一个知识点反映到一个类型的题目中，再从这类题型的题目回到同一个知识点，形成这样的循环之后，也就扩大了自身的知识面，将扎实的数学知识握在了手中，也就能在解题时能迅速利用直觉思维高效的解题。这也是相比一般逻辑思维解题得到正确答案的一条捷径。而当今应试教育现状培养学生直觉思维能力的发展也是相当重要的，主观方面不仅可以提升学生的自学能力和知识素养，还可以培养学生的创新意识。客观方面体现出培养直觉思维能力可以提升学生的学习成绩，迅速的解题减小学业负担，最终还能让他们考上理想的大学。第四章结论直觉思维的产生建立在知识的储备之上，在解题时应灵活巧妙的运用到直觉思维。因为在当今教育现状尤其是数学老师们的眼中做题的速度与效率就是抵达成功彼岸的船票，但很多学生并不知道这些“船票”怎么去拿到自己的手中。所以在教学中最重要的就是改变以前某些束缚学生数学直觉思维发展的教学方式，给学生直觉思维能力发展创造更大的空间。首先让学生懂得直觉思维是一个怎样的概念，系统的让学生思维上形成认知，这样不仅提高了学生的自学能力还可以拓展他们的思维领域。其次是在解题时要让学生意识到直觉思维的产生是讲究方法的，它是在以扎实的数学基础知识为前提，再对题目运用观察、猜想、类比相似的题型或自己的做题经验等方法形成的.最后做题时能多以反复的思考问题来拓展知识点，以致扩大知识面，让自己的思维模式上升到直觉思维的领域，这样在解题时就能充分利用直觉思维能力提高解题效率。数学直觉思维和逻辑思维并不是对立的，在逻辑思维中蕴涵着直觉思维，而直觉思维又是以逻辑思维为前提而萌生的.德国著名数学家彭加勒指出：“逻辑是证明的工具，直觉的发现的工具。”直觉思维是以知识经验为基础的，而许多知识经验又是人们以前逻辑思维活动的结果，从这个角度来看，直觉思维与逻辑思维存在互补的关系，直觉离不开逻辑，逻辑也离不开直觉，二者相辅相成。所以数学直觉思维能力的提高，依赖于对数学知识和数学经验两方面的积累。系统的让学生理解直觉思维能力后，在教学中可以有意识地对学生进行一些不完全归纳推理、类比推理等的训练，使学生能够根据教学上的情景获得一些数学直觉的发现，从而尝到成功的喜悦提高学习数学的兴趣，大幅度提高学生直觉思维能力的总体水平，让学生由做题的量变上升到思维品质的质变。所以在这个无限循环的解题模式中要学会去提高数学直觉思维能力，面对解大量的数学题时就会显得游刃有余，提高解题速度和解题效率。11 兴义民族师范学院本科毕业论文参考文献[1]白金.数学直觉与合情推理对数学教学的意义及作用.林区教学[J].2010第6期.[2]万瑛.直觉思维的心理机制及其在教育中的发展和培养.教学与管理[J]2006第10期.[3]王海坤，葛莉.数学直觉与合情推理对数学教学的意义.数学通报[J].2005第1期.[4]吴成强.例谈数学直觉思维在解题中的应用.上海中学数学[J].2012第z1期.[5]夏道明.如何增强数学教学中的直觉效果.科学大众[J].2006第9期.[6]杨情.直觉思维在数学解题中的应用.科教文汇[J].2011第3期.[7]王婷.谈直觉思维在数学解题中的应用.高中数学教与学[J].2011第17期.[8]林农.直觉思维在中学数学中的应用.数学教育研究[J].2010.第1期.[9]冯善状.直觉思维在数学解题中的应用.中学生数理化[J].2011.第3期.[10]许凤.直觉思维在数学学习中的重要性.山西财经大学学报[J].2012.第1期11 兴义民族师范学院本科毕业论文致谢本次论文设计完成是在我的导师王美娜老师的细心指导下进行的。在每次设计遇到问题时老师不辞辛苦的讲解才使得我的设计顺利的进行。从设计的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，占用了王老师很多宝贵时间和精力，在此向导师王美娜老师表示衷心地感谢！导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使我受益终生！还要感谢和我的几位同学，是你们在我平时设计中和我一起探讨问题，并指出我设计上的误区，使我能及时的发现问题把设计顺利的进行下去，没有你们的帮助我不可能这样顺利地结稿，在此表示深深的谢意。11