中考数学压轴题 二次函数动点问题(七)

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1、2012中考数学压轴题二次函数动点问题（七）1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（2，0），C

2、（0，－2）∴解得∴二次函数的解析式y＝－x2＋3x－2．（2）当△EDB∽△AOC时，有＝或＝∵AO＝1，CO＝2，BD＝m－2．当＝时，得＝，∴ED＝．∵点E在第四象限，∴E1（m，）．13当＝时，得＝，∴ED＝2m－4．∵点E在第四象限，∴E2（m，4－2m）．（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF＝AB＝1，点F的横坐标为m－1．当点E1的坐标为（m，）时，点F1的坐标为（m－1，）．∵点F1在抛物线的图象上，∴＝－(m－1)2＋3(m－1)－2．∴2m2－11m＋14＝0，解得m1＝，m2＝2（不合题意，舍去）．∴F1（，－）．∴S□ABEF＝1×

3、＝．当点E2的坐标为（m，4－2m）时，点F2的坐标为（m－1，4－2m）．∵点F2在抛物线的图象上，∴4－2m＝－(m－1)2＋3(m－1)－2．∴m2－7m＋10＝0，解得m1＝5，m2＝2（不合题意，舍去）．∴F2（4，－6）．∴S□ABEF＝1×6＝6．注：其它解法可参照评分标准给分．2.已知：t1，t2是方程t2＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与之间的

4、函数关系式，并写出自变量的取值范围；13（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由t2＋2t－24＝0，解得t1＝－6，t2＝4．∵t1＜t2，∴A（－6，0），B（0，4）．∵抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B两点∴解得∴这个抛物线的解析式为y＝x2＋x＋4．（2）∵点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，∴y＜0，即－y＞0．又∵S＝2S△APO＝2××

5、OA

6、·

7、y

8、＝

9、OA

10、·

11、y

12、＝6

13、y

14、∴S＝－6y＝－6(x2＋x＋4)＝－4(x2＋7x＋6)＝－4(x＋)

15、2＋25．令y＝0，则x2＋x＋4＝0，解得x1＝－6，x2＝－1．∴抛物线与x轴的交点坐标为（－6，0）、（－1，0）∴x的取值范围为－6＜x＜－1．（3）当S＝24时，得－4(x＋)2＋25＝24，解得：x1＝－4，x2＝－3．代入抛物线的解析式得：y1＝y2＝－4．∴点P的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）．当点P为（－3，－4）时，满足PO＝PA，此时，□OPAQ是菱形．当点P为（－4，－4）时，不满足PO＝PA，此时，□OPAQ不是菱形．要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线y＝x2＋x＋4上，故

16、不存在这样的点P，使□OPAQ为正方形．133.如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（－，），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为D（0，）∴可设抛物线

17、的解析式为y＝ax2＋．∵B（－，）在抛物线上∴a(－)2＋＝，∴a＝．∴抛物线的解析式为y＝x2＋．（2）∵B（－，），C（1，0）∴BC＝＝又B′C＝BC，OA＝，∴B′C＝OA．∵AC＝＝＝2∴AB＝＝＝1又AB′＝AB，OC＝1，∴AB′＝OC．∴四边形AOCB′是矩形．∵B′C＝，OC＝1∴点B′的坐标为（1，）将x＝1代入y＝x2＋得y＝∴点B′在抛物线上．（3）存在，理由如下：13设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则解