二元函数的连续性

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1、§3二元函数的连续性(一)教学目的：掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质．(二)教学内容：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致连续性．基本要求：(1)掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质．(2)较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点．(三)教学建议：(1)有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元连续函数的定理引出．对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习题——————————

2、————————————一．二元函数的连续概念由一元函数连续概念引入.定义（用“”定义二元函数连续）设函数为定义在点集上的二元函数，（它或者是D的聚点，或者是D的孤立点），若对，使得当时，都有则称关于集合D在点连续，简称点连续。若函数上任何点都连续，则称上的连续函数。由连续定义，若是D的孤立点，则必定是关于集合D的连续点；若是D的聚点，则关于集合D在连续等价于如果是D的聚点，而上式不成立，则称关于集合D在不连续（或间断点）。特别时，称是的可去间断点。例其中是固定实数。在直线上因此在原点沿着任意直线是连续的。定义（全增量）设，则称为函数在点的全增量

3、。如果在全增量中取，则称相应的函数增量为偏增量。记作定义（用增量定义连续性）.设函数为定义在点集上的二元函数，当时，都有则称在点连续。例证明函数在点沿任何方向都连续,但并不连续.f=0f=0ky=x2y=kx证当时，时，取时因此函数在点沿任何方向都连续。但显然函数在点极限不存在，所以不连续。二元连续与单元连续的关系:二元连续则对任意单元连续，反之不然。yx1zy比如函数在原点处显然不连续，但因此在原点处对分别都连续。1.连续函数的性质:和一元函数一样，二元函数也有下面性质：四则运算性质（请仿照一元函数给出叙述）局部有界性局部保号性定理16.7（复

4、合函数连续性）设函数和在平面上点的某邻域内有定义，并且在点连续；函数在平面上点的某邻域内有定义，并且在连续，其中，，则复合函数在点连续。证明由函数在连续，对任意，存在，当，时，有又由在连续，对上述的存在，当，时综合上述两步，当，时，有因此，复合函数在点连续。二.有界闭区域上连续函数的性质:有界性与最值性定理16.8若函数在有界闭区域上连续，则在D上有界，切能取得最大、最小值。定理16.9(一致连续性)若函数在有界闭区域上连续，则在D上一致连续。定理16.10(介值性)设函数在区域上连续，若为D中任意两点，且，则对任何满足不等式的实数，必存在点，使

5、得。P1P2