尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》（第9版）课后习题详解

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1、尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》（第9版）课后习题详解第1篇　引　言第1章　经济模型本章没有课后习题。本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。第2章　最优化的数学表达1．假设。（1）计算偏导数，。（2）求出上述偏导数在，处的值。（3）写出的全微分。（4）计算时的值——这意味着当保持不变时，与的替代关系是什么？（5）验证：当，时，。（6）当保持时，且偏离，时，和的变化率是多少？（7）更一般的，当时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？解：（1）对于函数，其关于和的偏导数分别为：，（2）当，时，（1）中的偏

2、微分值分别为：，（3）的全微分为：（4）当时，由（3）可知：，从而可以解得：。（5）将，代入的表达式，可得：。（6）由（4）可得，在，处，当保持不变，即时，有：（7）当时，该函数变为：，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由（4）可知，该等高线在（，）处的斜率为：。2．假定公司的总收益取决于产量（），即总收益函数为：；总成本也取决于产量（）：。（1）为了使利润（）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。解：（1）由已知可得该公司的利润函数为：利润

3、最大化的一阶条件为：从而可以解得利润最大化的产量为：；相应的最大化的利润为：。（2）在处，利润最大化的二阶条件为：，因而满足利润最大化的二阶条件。（3）在处，边际收益为：；边际成本为：；因而有，即“边际收益等于边际成本”准则满足。3．假设。如果与的和是1，求此约束下的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。解：（1）代入消元法由可得：，将其代入可得：。从而有：，可以解得：。从而，。（2）拉格朗日乘数法的最大值问题为：构造拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：，因而有：。4．对偶函数为：利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。解：设最小化问题的拉格朗日函数为：一阶

4、条件为：从而有：，，从而可以解得：。5．以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间（）的函数：其中，是由重力所决定的常数。（1）小球处于最高处的时间如何取决于参数？（2）利用你在（1）问中的答案来描述：随着参数的变化，小球的最大高度如何变化。（3）利用包络定理直接给出（2）问中的答案。（4）在地球上，，但是这个值在某些地区会有差异。如果两个地方重力加速度的差异为0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？解：（1）对高度函数关于时间求导数可得：从而可以解得使高度最大的时间为：，从而可知小球处于最高处的时间与参数成反比例关系。（2）将代入高度函数中可得：从而有：，

5、即：随着的增大，最大高度将变小。（3）由包络定理可知：取决于，因为取决于。因而有：。（4）当时，最大高度为：；当时，最大高度为：；因而两地最大高度的差异为：。6．制作一个油轮模型的一个简单的方法是，首先选择一块宽为英尺、长为英尺的长方形钢板，接着在每个角处减去一个边长为英尺的正方形，然后叠起剩余的四边做成一个无盖的托盘。（如图2-1所示，去掉阴影部分的四个边长为的正方形，然后叠起）图2-1油轮模型的制作（1）验证：该托盘可装油的体积为：（2）应该如何选择，才能使给定下的最大？（3）是否存在一个使得所装油的体积最大？（4）假设一个造船商受到限制，只能用1000000平方英尺的钢板来建造

6、一个油轮。该约束条件可以用方程来表示（因为可以将去掉的钢板做退回处理）。如何将该受约束的最大化问题的解与（2）和（3）问中的解进行比较？解：（1）如图2-1所示，长方形四个角处去掉一个边长为的正方形后叠起来的托盘是一个长方体，该长方体的长为（），宽为（），高为，因而其体积为：（2）由体积函数为，体积最大化的一阶条件为：从而可以解得：，即：，。二阶条件为：，只有当时，才有。即只有当才能使给定下的最大。（3）当时，。因而当增大时，随之增大，没有极限。因此，不存在一个使得所装油的体积最大。（4）受约束的最优化问题为：设拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以利用拉格朗日乘数法求得最优的、。显然

7、，该受约束的最大化问题的解将有别于（2）和（3）中求解出来的解。7．考虑如下受约束的最优化问题：其中是一个可以被赋予任何特定值的常数。（1）验证：如果，则此问题可以视为仅包括一个等式约束的问题的求解。（2）验证：当时，此问题的解要求。（3）如果此问题的解须为非负，则当时，最优解是什么？（4）当时，此问题的解是什么？通过将此解与（1）问中的解比较，你可以得出什么结论？（注意：此问题涉及“拟线性函数”。这样的函数提供了消费者理论中的某些类型的消费行为的重要例子